Tailieumoi.vn xin giới thiệu bộ đề thi giữa kì 1 môn Toán lớp 11 sách Chân trời sáng tạo năm 2024 – 2024. Tài liệu gồm 4 đề thi có ma trận chuẩn bám sát chương trình học và đáp án chi tiết, được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên THPT dày dặn kinh nghiệm sẽ giúp các em ôn tập kiến thức và rèn luyện kĩ năng nhằm đạt điểm cao trong bài thi Giữa học kì 1 Toán 11. Mời các bạn cùng đón xem:

Chỉ từ 150k mua trọn bộ Đề thi giữa học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo bản word có lời giải chi tiết (chỉ từ 20k cho 1 đề thi lẻ bất kì):

B1: Gửi phí vào tài khoản 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)

B2: Nhắn tin tới zalo Vietjack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận tài liệu.

Xem thử tài liệu tại đây: Link tài liệu

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án năm 2024

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 1

Phòng Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Giữa kì 1 - Chân trời sáng tạo

Năm học 2024 - 2025

Môn: Toán lớp 11

Thời gian làm bài: phút

(Đề số 1)

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (7,0 điểm)

Hãy khoanh tròn vào phương án đúng duy nhất trong mỗi câu dưới đây.

Câu 1. Đổi số đo của góc $\alpha =30°$ sang rađian.

A. $\alpha =\frac{\pi }{2}.$

B. $\alpha =\frac{\pi }{4}.$

C. $\alpha =\frac{\pi }{6}.$

D. $\alpha =\frac{\pi }{3}.$

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$cho đường tròn lượng giác như hình vẽ bên dưới. Hỏi góc lượng giác nào sau đây có số đo là $90°?$

A. $\left(OA,O{B}^{\text{'}}\right).$

B. $\left(OA,OA\right).$

C. $\left(OA,OB\right).$

D. $\left(OA,O{A}^{\text{'}}\right).$

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ trên đường tròn lượng giác gọi điểm M là điểm biểu diễn của góc $\alpha =\frac{\pi }{6}.$ Lấy điểm N đối xứng với M qua gốc tọa độ. Hỏi N là điểm biểu diễn của góc có số đo bằng bao nhiêu?

A. $\frac{7\pi }{6}.$

B. $\frac{5\pi }{6}.$

C. $-\frac{\pi }{6}.$

D. $\frac{4\pi }{3}.$

Câu 4. Cho $\alpha$ thuộc góc phần phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\sin \alpha >0$

B. $\cos \alpha <0$.

C. $\tan \alpha <0$.

D. $\cot \alpha <0$.

Câu 5. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. $-1\le \sin \alpha \le 1;-1\le \cos \alpha \le 1$.

B. $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }(\cos \alpha \ne 0)$.

C. $\tan \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }(\sin \alpha \ne 0)$.

D. ${\sin }^2\left(2024\alpha \right)+{\cos }^2\left(2024\alpha \right)=2024$.

Câu 6.Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$ và $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$. Tính $\tan \alpha$.

A. $\tan \alpha =-\frac{3}{\sqrt{5}}$.

B. $\tan \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}$.

C. $\tan \alpha =-\frac{4}{\sqrt{5}}$.

D. $\tan \alpha =-\frac{2}{\sqrt{5}}.$

Câu 7.Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\sin \left(2024a\right)=2024\sin a\cos a$.

B. $\sin \left(2024a\right)=2024\sin \left(1012a\right)\cos \left(1012a\right)$.

C. $\sin \left(2024a\right)=2\sin a\cos a$.

D. $\sin \left(2024a\right)=2\sin \left(1012a\right)\cos \left(1012a\right)$

Câu 8.Cho các đẳng thức sau:

1) $\cos x-\sin x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.

2) $\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.

3) $\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$.

4) $\cos x-\sin x=\sqrt{2}\sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$.

Có bao nhiêu đẳng thức dưới đây là đồng nhất thức?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 9. Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\cos 2\alpha =\frac{2}{3}$. Tính $P={\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha$.

A. $P=1$.

B. $P=\frac{17}{81}$.

C. $P=\frac{7}{9}$.

D. $P=\frac{9}{7}$.

Câu 10. Tìm tập xác định D của hàm số $y=\frac{1+\sin x}{\cos x-1}.$

A. $\text{D}=ℝ.$

B. $\text{D}=ℝ\backslash \left(\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right).$

C. $\text{D}=ℝ\backslash \left(k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right).$

D. $\text{D}=ℝ\backslash \left(k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right).$

Câu 11. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y=\cos \frac{2x}{3}.$

B. $y=\sin \frac{2x}{3}.$

C. $y=\cos \frac{3x}{2}.$

D. $y=\sin \frac{3x}{2}.$

Câu 12. Hàm số $y=5+4\sin 2x\cos 2x$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Câu 13. Trong các phương trình sau, phương trình tương đương với phương trình $x^2-1=0$ là

A. $x-1=0$.

B. $2x^2=2$.

C. $x^2-2=0$.

D. $x^2+1=0$.

Câu 14. Tất cả nghiệm của phương trình $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ là

A. $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

B. $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

C. $x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

D. $x=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Câu 15. Tất cả nghiệm của phương trình $\tan \left(30°-3x\right)=\tan 75°$ là

A. $x=45°+k180°,k\in \mathbb{Z}$.

B. $x=-15°+k60°,k\in \mathbb{Z}$.

C. $x=-15°+k180°,k\in \mathbb{Z}$.

D. $x=-15°-k60°,k\in \mathbb{Z}$

Câu 16. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình lượng giác $\cos 2x=\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ là

A. $-\frac{\pi }{9}$.

B. $-\frac{5\pi }{3}$

C. $-\frac{7\pi }{9}$.

D. $-\frac{13\pi }{9}$.

Câu 17. Cho dãy số $\left(u_n\right)$ là dãy số tự nhiên lẻ theo thứ tự tăng dần và $u_1=3$. Năm số hạng đầu của dãy số $\left(u_n\right)$ là:

A. $1;3;5;7;9$.

B. $1;2;3;4;5$.

C. $3;5;7;9;11$.

D. $0;1;3;5;7.$

Câu 18. Trong các dãy số sau, dãy số nào không là dãy số bị chặn?

A.$\left(a_n\right)$ với $a_n=3^n$.

B. $\left(u_n\right)$ với $u_n=\sin \left(n\frac{\pi }{2}\right)$

C.$\left(b_n\right):2;4;6;8;10$

D.$\left(v_n\right)$ với $v_n=\frac{1}{n+1}$.

Câu 19. Cho dãy số$\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{n+a}{n}$, a là số thực. Tìm một giá trị của a để $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.

A. $-\frac{1}{2}$.

B. 1.

C. 0.

D. $a=-1$.

Câu 20. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?

A.$u_n=-4n+9$.

B.$u_n=-2n+19$.

C.$u_n=-2n-21$.

D.$u_n=-2^n+15$.

Câu 21. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?

A. $u_n=7-3n$.

B. $u_n=7-3^n$.

C. $u_n=\frac{7}{3^n}$.

D. $u_n=7.3^n$.

Câu 22. Cho hai số -3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai d=2. Tìm n.

A. n=12

B. n=13.

C. n=14.

D. n=15.

Câu 23. T$2x-1;x;2x+1$ìm n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng $S_n=n^2+4n$ với $n\in \mathbb{N}*$. Tìm số hạng tổng quát $u_n$ của cấp số cộng đã cho.

A.$u_n=2n+3$.

B.$u_n=3n+2$.

C.$u_n=5.3^{n-1}$.

D.$u_n=5.{\left(\frac{8}{5}\right)}^{n-1}.$

Câu 24. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

A. $2;4;8;16;\mathrm{...}$

B.$1;-1;1;-1;\mathrm{...}$

C. $1^2;2^2;3^2;4^2;\mathrm{...}$.

D.$a;a^3;a^5;a^7;\mathrm{...}(a\ne 0)$

Câu 25. Dãy số $1;2;4;8;16;32;\mathrm{...}$ là cấp số nhânvới

A. Công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 1.

B.Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 1.

C.Công bội là 4 và số hạng đầu tiên là 2.

D.Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 2.

Câu 26. Tìm tất cả giá trị của $x$ để ba số $2x-1;x;2x+1$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

A.$x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.

B.$x=\pm \frac{1}{3}$.

C.$x=\pm \sqrt{3}$.

D.$x=\pm 3$

Câu 27. Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có tổng n số hạng đầu tiên là $S_n=\frac{3^n-1}{3^{n-1}}$. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân đã cho.

A.$u_5=\frac{2}{3^4}$ .

B.$u_5=\frac{1}{3^5}$.

C.$u_5=3^5$

D.$u_5=\frac{5}{3^5}$.

Câu 28. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.

B.Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.

C.Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.

D.Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.

Câu 29. Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?

A. Ba điểm phân biệt.

B.Một điểm và một đường thẳng.

C.Hai đường thẳng cắt nhau.

D.Bốn điểm phân biệt.

Câu 30. Cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$, cho 4 điểm $A,B,C,D$ trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Điểm S không thuộc mặt phẳng $\left(\alpha \right)$. Có mấy mặt phẳng tạo bởi S và 2 trong 4 điểm nói trên?

A.4.

B.8.

C.5.

D.6.

Câu 31. Cho bốn điểm $A,B,C,D$ không đồng phẳng. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Trên đoạn $BD$ lấy điểm P sao cho $BP=2PD$. Giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $\left(MNP\right)$ là giao điểm của

A. CD và NP.

B. CD và MN.

C. CD và MP.

D.CD và AP.

Câu 32. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác.

B.Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không có điểm chung.

C.Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.

D.Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.

Câu 33. Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt $a,b,c$ trong đó $a\text{//}b$. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu $a\text{//}b$ thì $b\text{//}c$.

B.Nếu c cắt a thì c cắt b.

C.Nếu $A\in a$ và $B\in b$ thì ba đường thẳng $a,b,AB$ cùng ở trên một mặt phẳng.

D.Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua a và b.

Câu 34. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(SAD\right)$ và $\left(SBC\right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. d qua S và song song với BC.

B. d qua S và song song với DC.

C. d qua S và song song với AB.

D. d qua S và song song với BD.

Câu 35. Gọi G là trọng tâm tứ diện $ABCD$. Gọi $A^{\text{'}}$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Tính tỉ số $\frac{GA}{G{A}^{\text{'}}}$

A.2.

B.3.

C.$\frac{1}{3}$

D.$\frac{1}{2}$

II. Tự luận (3,0 điểm)

Bài 1. (1,0 điểm) Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2017 được cho bởi một hàm số $y=4\sin \left(\frac{\pi }{178}\left(t-60\right)\right)+10$ với $t\in \mathbb{Z}$ và $0<t\le 365$. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

Bài 2. (1,0 điểm) Một du khách vào chuồng đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 20000 đồng, mỗi lần sau đặt gấp đôi lần cọc trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi du khách trên thắng hay thua bao nhiêu?

Bài 3. (1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và N là trung điểm của cạnh SA.

a) Tìm giao điểm của AC và mặt phẳng (SBD)

b) Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (NBC). Thiết diện là hình gì?

-------------- HẾT --------------

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 01

I. Bảng đáp án trắc nghiệm

1. C	2. C	3. A	4. A	5. D	6. B	7. D
8. B	9. C	10. D	11. A	12. C	13. B	14. D
15. D	16. A	17. C	18. D	19. B	20. D	21. A
22. A	23. A	24. C	25. B	26. A	27. A	28. C
29. C	30. D	31. A	32. D	33. B	34. A	35. B

II. Hướng dẫn giải chi tiết tự luận

Bài 1. (1,0 điểm)

Mà $k\in \mathbb{Z}$ nên $k=0$.

Với k = 0 rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2017 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày hoặc dựa vào dữ kiện $0<t\le 365$ thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày).

Bài 2. (1,0 điểm)

Du khách thu trong 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là:

S₉ = u₁ + u₂ + ... + u₉ = $\frac{u_1\left(1-p^9\right)}{1-p}$ = 10 220 000 (đồng)

Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ 10 là:

u₁₀ = u₁p⁹ = 10 240 000 (đồng)

Ta có u₁₀ - S₉ = 10 240 000 - 10 220 000 = 20 000 > 0 nên du khách thắng 20 000 đồng.

Bài 3. (1,0 điểm)

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}O\in AC\\ O\in ND\subset \left(SBD\right)\end{array}\right.$.

Vậy O là giao điểm của AC và mặt phẳng (SBD).

b) Ta có:

Vậy thiết diện là hình thang MNCD.

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 2

Phòng Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Giữa kì 1 - Chân trời sáng tạo

Năm học 2024 - 2025

Môn: Toán lớp 11

Thời gian làm bài: phút

(Đề số 2)

Phần trắc nghiệm (5 điểm)

Câu 1: Cho góc lượng giác (Ov, Ow) có số đo là $\frac{4\pi }{5}$, góc lượng giác (Ou, Ow) có số đo là $\frac{7\pi }{5}$. Số đo góc lượng giác (Ou, Ov) là:

Câu 2: Cho $\cos x=\frac{-1}{3}$ với $\frac{\pi }{2}<x<\pi$. Chọn đáp án đúng:

Câu 3: Cho $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{4}$. Khi đó:

Câu 4: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ với tập xác định là D, hàm số $y=f\left(x\right)$ là hàm số lẻ nếu:

Câu 5: Trong Địa lí, phép chiếu hình trụ được sử dụng để vẽ một bản đồ phẳng như trong hình vẽ. Trên bản đồ phẳng lấy đường xích đạo làm trục hoành và kinh tuyến $0^0$ làm trục tung. Khi đó tung độ của một điểm có vĩ độ ${\phi }^0\left(-90<\phi <90\right)$ được cho bởi hàm số $y=20\tan \left(\frac{\pi }{180}\phi \right)\left(cm\right)$. Sử dụng đồ thị hàm số tang, hãy cho biết những điểm ở vĩ độ nào nằm cách xích đạo không quá 20cm trên bản đồ.

 

D. vĩ độ $-{30}^0$ đến ${30}^0$

Câu 6: Sử dụng máy tính cầm tay để giải phương trình $\tan x-6=0$ với kết quả là radian (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn) là:

D. $x\approx 1,406+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên m sao cho phương trình $2{\sin }^{2}x-\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=m$ có nghiệm?

A. 1	B. 2
C. 3	D. 4

Câu 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là: $\frac{1}{4};\frac{1}{4^2};\frac{1}{4^3};\frac{1}{4^4};\frac{1}{4^5};...$ Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. $u_n=\frac{1}{4^{n+2}}$	B. $u_n=\frac{1}{4^{n+1}}$
C. $u_n=\frac{1}{4^n}$	D. $u_n=\frac{1}{4^{n-1}}$

Câu 9: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{na+3}{n+1}$. Với giá trị nào của a thì $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng:

A. $a=3$	B. $a<3$
C.  $a<4$	D. $a>3$

Câu 10: Trong các dãy số sau, dãy nào không là cấp số cộng?

A. $3;1;-1;-3;-5$	B. $5;2;-1;-4;-7$
C. $2;4;6;8;10$	D. $1;2;3;5;8$

Câu 11: Cho cấp số cộng có $u_2=2017,u_5=1945$. Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là:

A. $u_n=-24n+2065$	B. $u_n=24n-2065$
C. $u_n=-12n+2065$	D. $u_n=12n-2065$

Câu 12: Sinh nhật lần thứ 20 của An vào ngày 01 tháng 5 năm 2018 dương lịch. An muốn mua một món quà để làm quà sinh nhật cho chính mình nên An quyết định nuôi lợn đất. An bắt đầu bỏ vào lợn 1 000 đồng vào ngày 01 tháng 02 năm 2018. Trong các ngày tiếp theo, ngày sau An bỏ tiền vào lợn đất nhiều hơn ngày trước đó 2000 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật mình, An có bao nhiêu tiền để mua quà (ngày nuôi lợn đất tình từ ngày 01 tháng 02 năm 2018 đến hết ngày 30 tháng 04 năm 2018)?

A. 7 925 000 đồng	B. 7 921 000 đồng
C.  7 920 000 đồng	D. 6 920 000 đồng

Câu 13: Dãy số $\left(u_n\right)$ nào sau đây là dãy số giảm?

A. $1;2;3;4;5;...$	B. $1;-1;2;-2;...$
C. $-1;-2;-3;-4;-5;...$	D. Cả A, B, C đều sai

Câu 14: Hình chóp tứ giác thì có mặt bên là hình gì?

A. Hình tam giác	B. Hình tứ giác
C. Hình ngũ giác	D. Cả A, B, C đều sai

Câu 15: Với ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng và cùng đi qua một điểm O, ta xác định được bao nhiêu mặt phẳng?

A. 1 mặt phẳng	B. 2 mặt phẳng
C. 3 mặt phẳng	D. 4 mặt phẳng

Câu 16: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Gọi P là điểm thuộc cạnh AD sao cho $AP=2DP$. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (BCD) là:

D. Cả A, B, C đều sai.

Câu 17: Hai đường thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung thì hai đường thẳng đó:

A. Chéo nhau	B. Song song
C. Cắt nhau	D. Trùng nhau

Câu 18: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi G, H lần lượt là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD và ABEF. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Câu 19: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD. I là giao điểm của MN và PQ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $MI=\frac{2}{3}MN$	B. $MI=\frac{1}{3}MN$
C. $MI=\frac{2}{3}MN$	D. $MI=\frac{1}{2}MN$

Câu 20: Cho tam giác ABC cân tại A. Biết độ dài cạnh đáy BC, đường cao AH và cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $q^2=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$	B. $q^2=\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$
C. $q^2=\frac{\sqrt{2}+1}{4}$	D. $q^2=\frac{2\sqrt{2}-1}{4}$

Phần tự luận (5 điểm)

Bài 1. (1,5 điểm)

1) Giải các phương trình sau:

a) $\cot \left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{4}\right)=1$

b) $\sin x+\sin 2x=0$

2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=1+2{\sin }^{2}x-3{\cos }^{2}x$

3) Cho phương trình: $\left(1-m\right){\tan }^{2}x-\frac{2}{\cos x}+1+3m=0$. Tìm m để phương trình có nhiều hơn một nghiệm trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$.

Bài 2. (1,5 điểm)

a) Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ với $u_1=\frac{1}{3}$ và $u_1+u_2+u_3=-1$. Tìm công thức số hạng tổng quát $u_n$ của cấp số cộng đó.

b) Cho dãy số có các số hạng đầu là 4; 8; 12; 16; 20; 24;… Tìm số hạng tổng quát của dãy số đó.

Bài 3. (1,0 điểm) Cho hình chóp S. ABCD. Gọi O là một điểm nằm trong tam giác SCD. Xác định giao điểm của đường thẳng BO và mặt phẳng (SAC).

Bài 4. (1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng cắt bốn cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại các điểm M, N, P, Q.

a) Chứng minh rằng các đường thẳng MN, PQ, AC đôi một song song hoặc đồng quy.

b) Chứng minh rằng các đường thẳng MQ, NP, BD đôi một song song hoặc đồng quy.

-------- Hết --------

ĐÁP ÁN

Phần trắc nghiệm (5 điểm)

Câu 1: B	Câu 2: C	Câu 3: D	Câu 4: A	Câu 5: A
Câu 6: B	Câu 7: D	Câu 8: C	Câu 9: D	Câu 10: D
Câu 11: A	Câu 12: B	Câu 13: C	Câu 14: A	Câu 15: C
Câu 16: B	Câu 17: B	Câu 18: A	Câu 19: D	Câu 20: A

Câu 1: 

Theo hệ thức Chasles ta có: $\left(Ou,Ov\right)=\left(Ou,O\mathrm{w}\right)-\left(Ov,O\mathrm{w}\right)+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$$=\frac{7\pi }{5}-\frac{4\pi }{5}=\frac{3\pi }{5}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Đáp án B

Câu 2: 

Vì $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ nên $\sin x>0$

Ta có:

 $$\begin{gathered} {\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1 \\ \Rightarrow \sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x} \\ =\sqrt{1-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3} \end{gathered}$$

Do đó, $\sin x+\cos x=\frac{-1}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$

Đáp án C

Câu 3: 

Ta có: 

$$\begin{gathered} \sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{4} \\ \Rightarrow {\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)}^2=\frac{1}{16} \\ \Rightarrow {\sin }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha =\frac{1}{16} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \sin 2\alpha =\frac{1}{16}-\left({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha \right) \\ =\frac{1}{16}-1=\frac{-15}{16} \end{gathered}$$

Đáp án D

Câu 4: 

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ với tập xác định là D, hàm số $y=f\left(x\right)$ là hàm số chẵn nếu $\mathrm{\forall }x\in D$ nếu $\mathrm{\forall }x\in D$ thì $-x\in D$ và $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$

Đáp án A

Câu 5: 

 

Vì điểm nằm cách xích đạo không quá 20cm trên bản đồ nên ta có: $-20\le y\le 20$

Khi đó $-20\le 20\tan \left(\frac{\pi }{180}\phi \right)\le 20$ hay $-1\le \tan \left(\frac{\pi }{180}\phi \right)\le 1$

Ta có: $-90<\phi <90$ khi và chỉ khi $-\frac{\pi }{2}<\frac{\pi }{180}\phi <\frac{\pi }{2}$

Xét đồ thị hàm số $y=\tan x$ trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$:

Ta thấy $-1\le \tan \left(\frac{\pi }{180}\phi \right)\le 1$ khi và chỉ khi $-\frac{\pi }{4}\le \frac{\pi }{180}\phi \le \frac{\pi }{4}$ hay $-45<\phi <45$. Vậy trên bản đồ, các điểm cách xích đạo không quá 20cm nằm ở vĩ độ $-{45}^0$ đến ${45}^0$.

Đáp án A

Câu 6: 

Ta có: $\tan x-6=0\iff \tan x=6$

Sau khi chuyển máy tính sang chế độ “radian”. Bấm liên tiếp:

 

Ta được kết quả gần đúng là 1,406.

Vậy phương trình $\tan x-6=0$ có các nghiệm là $x\approx 1,406+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Đáp án B

Câu 7: 

$$\begin{gathered} 2{\sin }^{2}x-\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=m \\ \iff 2.\frac{1-\cos 2x}{2}-\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\left(1+\cos 2x\right)=m \end{gathered}$$

$\iff \sin 2x+3\cos 2x=-2m+1$ (*)

Phương trình (*) có nghiệm khi: 

$$\begin{gathered} {\left(1-2m\right)}^2\le 1+9 \\ \iff 4m^2-4m-9\le 0 \\ \iff \frac{1-\sqrt{10}}{2}\le m\le \frac{1+\sqrt{10}}{2} \end{gathered}$$

Mà m là số nguyên nên $m\in \left\{-1;0;1;2\right\}$. Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn bài toán

Đáp án D

Câu 8: 

$u_1=\frac{1}{4^1};u_2=\frac{1}{4^2};u_3=\frac{1}{4^3};u_4=\frac{1}{4^4};u_5=\frac{1}{4^5};...$ nên ta dự đoán số hạng tổng quát của dãy số là $u_n=\frac{1}{4^n}$

Đáp án C

Câu 9: 

Ta có: $u_{n+1}=\frac{\left(n+1\right)a+3}{n+1+1}=\frac{na+a+3}{n+2}$

Xét: 

$$\begin{gathered} u_{n+1}-u_n=\frac{na+a+3}{n+2}-\frac{na+3}{n+1} \\ =\frac{\left(na+a+3\right)\left(n+1\right)-\left(na+3\right)\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\frac{n^{2}a+na+3n+na+a+3-n^{2}a-3n-2na-6}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)} \\ =\frac{a-3}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)} \end{gathered}$$

Để $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng thì $u_{n+1}-u_n>0$ với mọi $n\in \mathbb{N}\ast$, tức là $\frac{a-3}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}>0$ với mọi $n\in \mathbb{N}\ast$

Mà $\left(n+1\right)\left(n+2\right)>0$ với mọi $n\in \mathbb{N}\ast$ nên $\frac{a-3}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}>0\iff a-3>0\iff a>3$

Vậy $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng khi $a>3$

Đáp án D

Câu 10: 

Xét dãy số: $1;2;3;5;8$ ta thấy, $2=1+1,3=2+1,5=3+2$ nên dãy số $1;2;3;5;8$ không phải cấp số cộng

Các dãy số còn lại, kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi nên các dãy số là cấp số cộng.

Đáp án D

Câu 11: 

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{u}_2=2017\\ u_5=1945\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1+d=2017\\ u_1+4d=1945\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}3d=-72\\ u_1+d=2017\end{array}\iff \{\begin{array}{l}d=-24\\ u_1=2041\end{array} \end{gathered}$$

Do đó, $u_n=2041+\left(n-1\right)\left(-24\right)=-24n+2065$

Đáp án A

Câu 12: 

Số tiền nuôi lợn của An mỗi ngày lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu $u_1=1000$, công sai $d=2000$. Cấp số cộng này gồm có 89 số hạng.

Tổng số tiền An nhét vào lợn đất là: $S=\frac{\left[2.1000+\left(89-1\right)2000\right]89}{2}=7921000$ (đồng)

Đáp án B

Câu 13: 

Vì $-5<-4<-3<-2<-1$ nên dãy số $-1;-2;-3;-4;-5;...$ là dãy số giảm

Đáp án C

Câu 14: 

Hình chóp tứ giác thì có mặt bên là hình tam giác.

Đáp án A

Câu 15: 

Ta xác định được 3 mặt phẳng là: mp (a, b), mp (b, c), mp (c, a). Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án C

Câu 16: 

 

Trong mặt phẳng (ABD), gọi E là giao điểm của MP và BD. Khi đó, $E\in \left(MNP\right)\cap \left(BCD\right)$

Trong mặt phẳng (ACD), gọi F là giao điểm của NP và CD. Khi đó, $F\in \left(MNP\right)\cap \left(BCD\right)$

Vậy EF là giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (BCD)

Đáp án B

Câu 17: 

Hai đường thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung thì hai đường thẳng đó song song với nhau.

Đáp án B

Câu 18: 

 

Vì G, H lần lượt là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD và ABEF nên G là trung điểm của AC và BD; H là trung điểm của AE vả BF.

Tam giác ACE có G, H lần lượt là trung điểm của AC và AE nên GH là đường trung bình của tam giác ACE. Do đó, GH//CE và $GH=\frac{1}{2}CE$.

Tam giác BDF có G, H lần lượt là trung điểm của BD và BF nên GH là đường trung bình của tam giác BDF. Do đó, GH//DF, $GH=\frac{1}{2}DF$.

Suy ra, CE//DF, $CE=DF$. Vậy tứ giác CEFD là hình bình hành.

Đáp án A

Câu 19: 

 

Vì M, P lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MP là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, MP//AC, $MP=\frac{1}{2}AC$

Vì N, Q lần lượt là trung điểm của CD, AD nên NQ là đường trung bình của tam giác ADC. Do đó, NQ//AC, $NQ=\frac{1}{2}AC$

Do đó, MP//NQ, $MP=NQ$, suy ra tứ giác MPNQ là hình bình hành. Vậy $MI=\frac{1}{2}MN$

Đáp án D

Câu 20: 

 

Vì BC, AH, AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có: $AH=BC.q,AB=AH.q=BC.q^2$, suy ra $\{\begin{array}{l}A{H}^2=BC.AB\\ \frac{AB}{BC}=q^2\end{array}$

Vì tam giác ABC cân tại A nên AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên $BH=\frac{BC}{2}$

Áp định lí Pythagore vào tam giác ABH vuông tại H có:

$A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2=A{B}^2-\frac{B{C}^2}{4}\Rightarrow 4{\left(\frac{AB}{BC}\right)}^2-4\frac{AB}{BC}-1=0$

$\Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$ (do $\frac{AB}{BC}>0$)

Vậy $q^2=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$

Đáp án A

Phần tự luận (5 điểm)

Bài 1. (1,5 điểm)

1)

a) $\cot \left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{4}\right)=1\iff \cot \left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{4}\right)=\cot \frac{\pi }{4}\iff \frac{1}{2}x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\iff x=k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: $x=k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

b) 

$$\begin{gathered} \sin x+\sin 2x=0 \\ \iff 2\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}=0 \\ \iff [\begin{array}{l}\sin \frac{3x}{2}=0\\ \cos \frac{x}{2}=0\end{array} \\ \iff [\begin{array}{l}\frac{3x}{2}=k\pi \\ \frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right) \\ \iff [\begin{array}{l}x=\frac{2k\pi }{3}\\ x=\pi +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right) \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: $x=\frac{2k\pi }{3};x=\pi +k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

2) Ta có: $y=1+2{\sin }^{2}x-3{\cos }^{2}x=1+2{\sin }^{2}x-3\left(1-{\sin }^{2}x\right)=-2+5{\sin }^{2}x$

Vì $0\le {\sin }^{2}x\le 1\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\Rightarrow -2\le -2+5{\sin }^{2}x\le 3\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

Do đó:

+ Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3, đạt được khi ${\sin }^{2}x=1\iff {\cos }^{2}x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

+ Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $-2$, đạt được khi ${\sin }^{2}x=0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

3) Điều kiện: $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\left(1-m\right){\tan }^{2}x-\frac{2}{\cos x}+1+3m=0$$\iff \left(1-m\right){\sin }^{2}x-2\cos x+\left(1+3m\right){\cos }^{2}x=0$

$\iff 1-m-{\cos }^{2}x+m{\cos }^{2}x-2\cos x+{\cos }^{2}x+3m{\cos }^{2}x=0$

$\iff 4m{\cos }^{2}x-2\cos x+1-m=0\iff m\left(4{\cos }^{2}x-1\right)-\left(2\cos x-1\right)=0$

$\iff \left(2\cos x-1\right)\left(2m\cos x+m-1\right)=0\iff [\begin{array}{l}\cos x=\frac{1}{2}\\ 2m\cos x=1-m\end{array}$

Xét $\cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$, do $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ nên ta có một nghiệm là $x=\frac{\pi }{3}$

Do đó, để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình $2m\cos x=1-m$ phải có nghiệm $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ . Điều này xảy ra khi $m\ne 0$ và $\cos x=\frac{1-m}{2m}\in \left(0;1\right)\mathrm{\setminus }\left\{\frac{1}{2}\right\}$

$\iff \{\begin{array}{l}m\ne 0\\ 0<\frac{1-m}{2m}<1\\ \frac{1-m}{2m}\ne \frac{1}{2}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\ne 0\\ \frac{1}{3}<m<1\\ m\ne \frac{1}{2}\end{array}\iff m\in \left(\frac{1}{3};1\right)\mathrm{\setminus }\left\{\frac{1}{2}\right\}$

Bài 2. (1,5 điểm)

a) Ta có: $u_1+u_2+u_3=-1\Rightarrow u_1+d+u_1+2d=-1-\frac{1}{3}=\frac{-4}{3}$$\Rightarrow 2.\frac{1}{3}+3d=\frac{-4}{3}\Rightarrow d=\frac{-2}{3}$

Do đó, số hạng tổng quát của cấp số cộng là: $u_n=\frac{1}{3}+\left(n-1\right)\left(\frac{-2}{3}\right)=-\frac{2}{3}n+1$

b) Ta có: $u_1=4=4.1,u_2=8=4.2,u_3=12=4.3,u_4=16=4.4,u_5=20=4.5,u_6=24=4.6$

Vậy công thức của số hạng tổng quát là: $u_n=4n$

Bài 3. (1,0 điểm) 

 

Trong mặt phẳng (SCD), gọi M là giao điểm của SO và CD.

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi N là giao điểm của BM và AC.

Khi đó, N thuộc mặt phẳng SBO.

Trong mặt phẳng (SBO), gọi P là giao điểm của SN và BO.

Vì P thuộc BO và $P\in SN\subset \left(SAC\right)$

Do đó, P là giao điểm của BO và mặt phẳng (SAC).

Bài 4. (1,0 điểm) 

 

a) Ta có: $\left(ABC\right)\cap \left(ACD\right)=AC,\left(ABC\right)\cap \left(MNPQ\right)=MN,\left(ACD\right)\cap \left(MNPQ\right)=PQ$

Khi đó, ba mặt phẳng (ABC), (ACD), (MNPQ) đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến AC, MN, PQ. Áp dụng định lí về ba đường giao tuyến cho ba mặt phẳng trên, suy ra ba đường thẳng MN, PQ, AC đôi một song song hoặc đồng quy.

b) Ta có: $\left(ABD\right)\cap \left(BCD\right)=BD,\left(ABD\right)\cap \left(MNPQ\right)=MQ,\left(BCD\right)\cap \left(MNPQ\right)=NP$

Khi đó, ba mặt phẳng (ABD), (BCD), (MNPQ) đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến BD, NP, MQ. Áp dụng định lí về ba đường giao tuyến cho ba mặt phẳng trên, suy ra ba đường thẳng MQ, NP, BD đôi một song song hoặc đồng quy.