Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề mở đầu về phương trình, tài liệu bao gồm 18 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tài liệu gồm có.

I. lý thuyết

II. Bài tập minh hoạ

MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH

A. BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN

1. Phương trình một ẩn

Ví dụ 1: Ta gọi các hệ thức:

2x + 3 = x – 2 là một phương trình với ẩn số x.

3y – 2 = y là một phương trình với ẩn số y.

…

Từ đó ta có được định nghĩa về phương trình một ẩn:

Một biểu thức x có dạng:

A(x) = B(x)

Trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x, gọi là phương trình một ẩn

Chú ý:

Hệ thức x = m (với m là một số nào đó) cũng là một phương trình. Phương trình này chỉ rõ ràng m là nghiệm duy nhất của nó.

Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, …, nhưng cũng có thể không có nghiệm nào hoặc vô số nghiệm. Phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2: Hãy cho ví dụ về:

a) Phương trình với ẩn y

b) Phương trình với ẩn u.

Giải

Ta lần lượt có:

Phương trình với ẩn y là 3y – 4 = 0.

Phương trình với ẩn u là 1 – 4u = u + 1

Ví dụ 3: Khi x = 6, tính giá trị mỗi vế của phương trình: 2x + 5 = 3(x – 1) + 2

Giải

Với x = 6 thì:

VT = 2x + 5 = 2.6 + 5 = 17;

VP = 3(x – 1) + 2 = 3(6 – 1) + 2 = 17.

Nhận xét: Ta thấy hai vế của phương trình cùng nhận một giá trị khi x = 6. Ta nói x = 6 là một nghiệm của phương trình

Ví dụ 4: Cho phương trình 2(x + 1) – 7 = 3 – x.

a. x = -2 có thoả mãn phương trình không?
b. x = 2 có là một nghiệm của phương trình không?

Giải

a. Thay x = -2 và phương trình, ta được:

\(\begin{array}{l}2\left( { - 2 + 1} \right) - 7 = 3 - \left( { - 2} \right)\\ \Leftrightarrow  - 2 - 7 = 3 + 2 \Leftrightarrow  - 9 = 5\end{array}\)

=> sai

Vậy x = -2 không thoả mãn phương trình.

b. Thay x = 2 vào phương trình, ta được:

\(\begin{array}{l}2\left( {2 + 1} \right) - 7 = 3 - 2\\ \Leftrightarrow 6 - 7 = 3 - 2 \Leftrightarrow  - 1 = 1\end{array}\)

=> sai

Vậy x = 2 không là nghiệm của phương trình.

2. Giải phương trình.

Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó và thường được kí hiệu bởi S.

Ví dụ 5: Hãy điền vào chỗ trống (…):

a. Phương trình x = 2 có tập nghiệm là S = …

b. Phương trình vô nghiệm có tập nghiệm là S = …

Giải

Ta lần lượt có:

Phương trình x = 2 có tập nghiệm là S = {2}.

Phương trình vô nghiệm có tập nghiệm là S = \(\emptyset \).

Khi bài toán yêu cuầ giải một phương trình, ta phải tìm tất cả các nghiệm (hay tìm tập nghiệm) của phương trình đó.

3. Phương trình tương đương

Định nghĩa: Hai phương trình có cùng một tập nghiệm là hai phương trình tương đương.

Ví dụ 6: Hai phương trình sau có tương đương không? Vì sao?

x – 2 = 0                          (1)

x + 1 = 3                          (2)

Giải

Giải phương trình (1), ta được:

\(x = 2 \Rightarrow {S_1} = \left\{ 2 \right\}\).

Giải phương trình (2), ta được:

\(x = 2 \Rightarrow {S_2} = \left\{ 2 \right\}\)

Vậy, ta thấy S₁ = S₂, do đó hai phương trình đã cho tương đương với nhau.

Nhận xét:

1. Như vậy, để xét tính tương đương của hai phương trình đã cho, trong lời giải trên chúng ta đi giải từng phương trình rồi thực hiện phép so sánh hai tập nghiệm, và ở đây S₁ = S₂ nên chúng ta kết luận “Hai phương trình tương đương”.

2. Nếu S₁ = S₂ = \(\emptyset \) thì hai phương trình cũng tương đương, do đó “Hai phương trình vô nghiệm cũng tương đương với nhau”.

Ví dụ 7: Hai phương trình sau có tương đương không? Vì sao?

x + 1 = 2                          (1)

x² – 8x + 15 = 0               (2)

Giải

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Giải phương trình (1), ta được:

\(x = 1 \Rightarrow {S_1} = \left\{ 1 \right\}\).

Giải phương trình (1), ta được:

\({x^2} - 8x + 15 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 8x + 16} \right) - 1 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 4 - 1} \right)\left( {x - 4 + 1} \right) = 0\\\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x = 5\)hoặc \(x = 3 \Rightarrow {S_2} = \left\{ {5,3} \right\}\)

Vậy, ta thấy \({S_1} \ne {S_2}\) do đó hai phương trình không tương đương.

Cách 2: Giải phương trình (1), ta được:

\(x = 1 \Rightarrow {S_1} = \left\{ 1 \right\}\).

Thay x = 1 và phương trình (2), ta được:

\({1^2} - 8.1 + 15 = 0 \Leftrightarrow 8 = 0\), mâu thuẫn

Tức là, x = 1 không phải là nghiệm của (2).

Vậy, hai phương trình không tương đương.

Nhận xét:

1. Như vậy, để xét tính tương đương của hai phương trình đã cho, trong lời giải trên chúng ta đi giải phương trình (1) rồi nhận xét rằng x = 1 không phải là nghiệm của phương trình (2), từ đó kết luận “Hai phương trình tương đương”. Sở dĩ chúng ta lựa chọn hướng làm như vậy là bởi vì việc giải phương trình (2) là khó khăn.

2. Như vậy, để chứng tỏ hai phương trình không tương đương, ta có thể lựa chọn một trong hai cách:

Cách 1: Tìm tập hợp nghiệm của mỗi phương trình, rồi đưa ra nhận xét về hai tập hợp này.

Cách 2: Chỉ ra một giá trị của ẩn là nghiệm của phương trình này nhưng không là nghiệm của phương trình kia.

B. Bài tập minh hoạ cơ bản

Dạng toán 1: Giải phương trình

Ví dụ 1: Với mỗi phương trình sau, hãy nhận xét xem x = -1 có là nghiệm của nó không?
a. 4x – 1 = 3x – 2

b) x + 1 = 2(x – 3)

c) 2(x + 1) + 3 = 2 – x.

Hướng dẫn: Kiểm nghiệm bằng cách thay x = -1 vào mỗi phương trình và khi đó:

Nếu đẳng thức đúng thì kết luận x = -1 là một nghiệm của phương trình.

Nếu đẳng thức sai thì kết luận x = -1 không là nghiệm của phương trình.

Giải

a. Thay x = -1 vào phương trình ta được:

\(4\left( { - 1} \right) - 1 = 3\left( { - 1} \right) - 2 \Leftrightarrow  - 5 =  - 5\) (luôn đúng).

Vậy, ta thấy x = -1 là một nghiệm của phương trình.

b. Thay x = -1 và phương trình ta được:
\(\left( { - 1} \right) + 1 = 2\left( { - 1 - 3} \right) \Leftrightarrow 0 =  - 8\) (mâu thuẫn)

Vây, ta thấy x = -1 không phải là nghiệm của phương trình.

c. Thay x = -1 và phương trình ta được:

\(2( - 1 + 1) + 3 = 2 - \left( { - 1} \right) \Leftrightarrow 3 = 3\) (luôn đúng)

Vậy, ta thấy x = -1 là một nghiệm của phương trình.

Ví dụ 2: Trong các giá trị t = -1, t = 0 và t = 1, giá trị nào là nghiệm của phương trình?

\({\left( {t + 2} \right)^2} = 3t + 4\)

Hướng dẫn: Thay lần lượt các giá trị t vào phương trình.

Giải

Ta lần lượt:

Với t = -1 thì phương trình có dạng:

\(\begin{array}{l}{\left( { - 1 + 2} \right)^2} = 3\left( { - 1} \right) + 4\\ \Leftrightarrow {1^2} =  - 3 + 4 \Leftrightarrow 1 = 1\end{array}\)

=> đúng

Vậy, ta thấy t = -1 là một nghiệm của phương trình.

Với t = 0 thì phương trình có dạng:

\({2^2} = 3.0 + 4 \Leftrightarrow 4 = 4\), đúng.

Vậy, ta thấy t = 0 là một nghiệm của phương trình.

Với t = 1 thì phương trình có dạng:

\(\begin{array}{l}{\left( {1 + 2} \right)^2} = 3.1 + 4\\ \Leftrightarrow {3^2} = 3 + 7 \Leftrightarrow 9 = 7\end{array}\)

=>sai

Vậy, t = 1 không phải là nghiệm của phương trình.

Ví dụ 3: Xét phương trình x + 1 = 1 + x. ta thấy mọi số đều là nghiệm của nó. Người ta nói “Phương trình này nghiệm đúng với mọi x”. Hãy cho biết tập nghiệm của phương trình đó.

Hướng dẫn: Hãy nhớ chúng ta đang xét bài toán trên tập số nào?

Giải

Tập nghiệm của phương trình là \(S = \mathbb{R}\) hoặc \(S = \left\{ {x\left| {x \in \mathbb{R}} \right.} \right\}\).

Ví dụ 4: Giải phương trình: x² – 4 = 5

Hướng dẫn: thực hiện phương pháp chuyển vế hoặc chuyển về dạng tích.

Giải

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:

\({x^2} - 4 = 5 \Leftrightarrow {x^2} = 9 = {3^2}\)

\( \Leftrightarrow x = 3\)hoặc \(x =  - 3\)

Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 3 hoặc x = -3.

Cách 2: Biến đổi phương trình như sau:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 4 = 5 \Leftrightarrow {x^2} - 9 = 0\\ \Leftrightarrow (x - 3)(x + 3) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\) hoặc \(x =  - 3\)

Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 3 hoặc x = -3.

Nhận xét: Qua lời giải trên ta nhận thấy:

1. Phương trình:

x² = a² ó \(x =  \pm a\)

2. Phương trình:

A.B = 0 ó A = 0 hoặc B = 0

 hoặc viết \(\left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)

Ví dụ 5: Tìm tập hợp nghiệm của các phương trình sau:

a. \(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = {x^2} - 4\)

b. \(\frac{1}{{x - 1}} = 0\)

c. \(\left| x \right| =  - \frac{1}{2}\)

d. \(2x + 2 = 2x + 3\)

Hướng dẫn: Sử dụng các phép đánh giá khác nhau cho mỗi phương trình

Giải

a. Biến đổi tương đương phương trình về dạng:

\(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = {x^2} - 4 \Leftrightarrow {x^2} - 4 = {x^2} - 4\), luôn đúng với mọi x.

Vậy, phương trình có tập hợp nghiệm \(S = \mathbb{R}\).

b. Nhận xét rằng:

\(VT \ne 0\), với mọi \(x \ne 1\)

Do đó phương trình vô nghiệm.

Vậy, phương trình có tập hợp nghiệm \(S = \emptyset \).

c. Nhận xét rằng:

\(VT = \left| x \right| \ge 0\), với mọi x; \(VP =  - \frac{1}{2}\), luôn âm. Do đó phương trình vô nghiệm.

Vậy, phương trình có tập hợp nghiệm \(S = \emptyset \).