Bài tập phương trình tích Toán 8 có đáp án (8 trắc nghiệm, 20 tự luận)
Lớp 8Toán

Bài tập phương trình tích Toán 8 có đáp án (8 trắc nghiệm, 20 tự luận)

Trả lời nhanh

Để giải phương trình lớp 8 dạng tích, em đưa phương trình về dạng A(x)·B(x) = 0 (vế phải bằng 0, vế trái phân tích thành nhân tử), rồi giải từng phương trình A(x) = 0 hoặc B(x) = 0. Tập nghiệm của phương trình ban đầu là tập hợp tất cả nghiệm vừa tìm được. Ví dụ: (x + 2)(x − 3) = 0 có nghiệm x = −2 và x = 3.

1. Nhắc lại kiến thức cần nhớ

Phương trình tích dựa trên một tính chất quen thuộc: một tích bằng 0 khi và chỉ khi có ít nhất một thừa số bằng 0.

  • A(x)·B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0.
  • Với ba thừa số: A(x)·B(x)·C(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 hoặc C(x) = 0.
  • Thừa số là hằng số khác 0 (ví dụ −4) thì không bao giờ bằng 0, nên không cho nghiệm.
  • Thừa số vô nghiệm như x2 + 9 hay x2 + 1 cũng không cho nghiệm, vì x2 ≥ 0.

Cần ôn kĩ phần lý thuyết thì xem thêm tóm tắt tại Lý thuyết Phương trình tích Toán 8 hoặc bài Giải SGK Toán 8 Bài 4: Phương trình tích.

2. Quy trình 4 bước giải phương trình tích

  1. Chuyển vế để vế phải bằng 0.
  2. Phân tích vế trái thành nhân tử (đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, dùng hằng đẳng thức, tách hạng tử).
  3. Cho từng nhân tử bằng 0 và giải các phương trình bậc nhất đơn giản.
  4. Kết luận tập nghiệm S, ghi rõ các nghiệm khác nhau.

Mẹo nhớ: “Đưa về 0 – tách thành tích – mỗi thừa số một phương trình”. Điều tối kị là chia hai vế cho một biểu thức chứa x, vì có thể làm mất nghiệm (xem mục lỗi sai bên dưới).

3. Sáu dạng bài thường gặp kèm ví dụ mẫu

Dạng 1. Phương trình đã ở dạng tích

Ví dụ. Giải (2x + 1)(3 − x)(x2 + 4) = 0.

Ta có 2x + 1 = 0 ⇒ x = −1/2; 3 − x = 0 ⇒ x = 3; x2 + 4 = 0 vô nghiệm vì x2 + 4 ≥ 4 > 0. Vậy S = {−1/2; 3}.

Dạng 2. Đặt nhân tử chung

Ví dụ. Giải 3x2 − 12x = 0.

3x(x − 4) = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = 4. Vậy S = {0; 4}.

Ví dụ khó hơn. Giải (x + 2)(x − 3) = (x + 2)(2x − 1).

Chuyển vế: (x + 2)[(x − 3) − (2x − 1)] = 0 ⇔ (x + 2)(−x − 2) = 0 ⇔ −(x + 2)2 = 0 ⇔ x = −2. Phương trình có nghiệm kép x = −2, tập nghiệm S = {−2}.

Dạng 3. Dùng hằng đẳng thức

Ví dụ. Giải (3x − 1)2 − (x + 5)2 = 0.

Áp dụng a2 − b2 = (a − b)(a + b): (3x − 1 − x − 5)(3x − 1 + x + 5) = 0 ⇔ (2x − 6)(4x + 4) = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = −1. Vậy S = {−1; 3}.

Dạng 4. Tách hạng tử để phân tích tam thức bậc hai

Ví dụ. Giải 2x2 − 5x + 3 = 0.

Tách −5x = −2x − 3x (hai số có tổng −5 và tích bằng 2·3 = 6): 2x2 − 2x − 3x + 3 = 2x(x − 1) − 3(x − 1) = (x − 1)(2x − 3) = 0. Vậy x = 1 hoặc x = 3/2.

Mẹo: với ax2 + bx + c, tìm hai số có tích bằng a·c và tổng bằng b.

Dạng 5. Phương trình bậc ba

Ví dụ. Giải x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0.

Thử x = 1 thấy 1 − 2 − 5 + 6 = 0, nên có nhân tử (x − 1). Ta tách: x3 − x2 − x2 + x − 6x + 6 = x2(x − 1) − x(x − 1) − 6(x − 1) = (x − 1)(x2 − x − 6) = (x − 1)(x − 3)(x + 2). Vậy S = {1; 3; −2}.

Dạng 6. Tìm tham số m

Ví dụ. Tìm m để phương trình (x − 1)(x + m) = 0 nhận x = 3 làm nghiệm, rồi tìm nghiệm còn lại.

Thay x = 3: (3 − 1)(3 + m) = 0 ⇔ 3 + m = 0 ⇔ m = −3. Khi đó phương trình là (x − 1)(x − 3) = 0, nghiệm còn lại là x = 1.

4. Trắc nghiệm: 8 câu có giải thích

  1. Nghiệm của (x + 2)(x − 3) = 0 là: A. x = −2; B. x = 3; C. x = −2 và x = 3; D. x = 2.
  2. Tập nghiệm của (2x + 1)(2 − 3x) = 0 là: A. {−1/2}; B. {−1/2; 3/2}; C. {−1/2; 2/3}; D. {3/2}.
  3. Nghiệm của 2x(x + 1) = x2 − 1 là: A. x = −1; B. x = ±1; C. x = 1; D. x = 0.
  4. Giá trị m để (x + 2)(x − m) = 4 có nghiệm x = 2 là: A. m = 1; B. m = ±1; C. m = 0; D. m = 2.
  5. Giải x2 − 5x + 6 = 0: A. x = 2 hoặc x = 3; B. x = −2 hoặc x = −3; C. x = 2 hoặc x = −3; D. x = −2 hoặc x = 3.
  6. Phương trình x2 + 6x + 10 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 1; B. 2; C. 3; D. 0.
  7. Giải 3x2 + 6x − 9 = 0: A. x = 1; B. x = 1 hoặc x = −3; C. x = 1 hoặc x = −2; D. x = −3 hoặc x = −2.
  8. Giải 3(x − 2) + x2 − 4 = 0: A. x = 1 hoặc x = 2; B. x = 2 hoặc x = −5; C. x = 2 hoặc x = −3; D. đáp án khác.
Câu Đáp án Giải thích ngắn
1 C Mỗi thừa số bằng 0 cho một nghiệm: x + 2 = 0 và x − 3 = 0. A, B chỉ nêu thiếu một nghiệm.
2 C 2x + 1 = 0 ⇒ x = −1/2; 2 − 3x = 0 ⇒ x = 2/3 (không phải 3/2).
3 A 2x(x + 1) = (x + 1)(x − 1) ⇔ (x + 1)(2x − x + 1) = (x + 1)2 = 0 ⇒ x = −1.
4 A Thay x = 2: 4(2 − m) = 4 ⇒ m = 1.
5 A (x − 2)(x − 3) = 0. Kiểm tra: 2 + 3 = 5, 2·3 = 6.
6 D x2 + 6x + 10 = (x + 3)2 + 1 ≥ 1 > 0 nên không có nghiệm, tức 0 nghiệm.
7 B Chia 3: x2 + 2x − 3 = (x − 1)(x + 3) = 0.
8 B 3(x − 2) + (x − 2)(x + 2) = (x − 2)(x + 5) = 0 ⇒ x = 2 hoặc x = −5.

Muốn luyện thêm trắc nghiệm, em xem bộ 26 câu trắc nghiệm Phương trình tích.

5. Bài tập tự luận (20 bài)

Em tự giải trước rồi mới đối chiếu đáp án ở mục 6.

Nhóm A – Tích có sẵn, đặt nhân tử chung

  1. (x − 4)(3x + 6) = 0
  2. (5x − 10)(2x + 3) = 0
  3. (x + 1)(x − 2)(3x − 9) = 0
  4. (0,5x − 1)(x2 + 4) = 0
  5. x(x − 5) − 3(x − 5) = 0
  6. 3x2 − 12x = 0
  7. (x − 1)2 = 4(x − 1)

Nhóm B – Hằng đẳng thức

  1. (x − 1)2 = 4
  2. (3x − 1)2 − (x + 5)2 = 0
  3. 4x2 − 25 = 0
  4. x3 − 9x = 0

Nhóm C – Tách hạng tử, nhóm hạng tử

  1. x2 − 7x + 12 = 0
  2. x2 + x − 6 = 0
  3. 2x2 − 5x + 3 = 0
  4. x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0
  5. 2x3 + 6x2 = x2 + 3x
  6. x2 + 2x + 5 = 0

Nhóm D – Tham số

  1. Tìm m để (x − 1)(x + m) = 0 có nghiệm x = 3.
  2. Tìm m để (2x − m)(x + 1) = 0 có nghiệm x = 4.
  3. Tìm m để x2 − (m + 1)x + m = 0 có nghiệm x = 5 và tìm nghiệm còn lại (gợi ý: phân tích vế trái thành (x − 1)(x − m)).

6. Đáp án và hướng dẫn

Bài Kết quả Gợi ý
1 S = {4; −2} x − 4 = 0 hoặc 3x + 6 = 0
2 S = {2; −3/2} 5x − 10 = 0 hoặc 2x + 3 = 0
3 S = {−1; 2; 3} 3x − 9 = 0 ⇒ x = 3
4 S = {2} x2 + 4 > 0 luôn đúng
5 S = {3; 5} (x − 3)(x − 5) = 0
6 S = {0; 4} 3x(x − 4) = 0
7 S = {1; 5} (x − 1)(x − 1 − 4) = (x − 1)(x − 5) = 0
8 S = {3; −1} (x − 1 − 2)(x − 1 + 2) = (x − 3)(x + 1)
9 S = {3; −1} (2x − 6)(4x + 4) = 0
10 S = {5/2; −5/2} (2x − 5)(2x + 5) = 0
11 S = {0; 3; −3} x(x − 3)(x + 3) = 0
12 S = {3; 4} (x − 3)(x − 4) = 0
13 S = {2; −3} (x − 2)(x + 3) = 0
14 S = {1; 3/2} (x − 1)(2x − 3) = 0
15 S = {1; 3; −2} (x − 1)(x − 3)(x + 2) = 0
16 S = {0; −3; 1/2} Chuyển vế: 2x3 + 5x2 − 3x = x(x + 3)(2x − 1) = 0
17 Vô nghiệm (x + 1)2 + 4 ≥ 4 > 0
18 m = −3 Thay x = 3: 2(3 + m) = 0
19 m = 8 Thay x = 4: (8 − m)·5 = 0
20 m = 5; nghiệm còn lại x = 1 Phương trình (x − 1)(x − m) = 0, nghiệm x = 5 nên m = 5

7. Lỗi sai thường gặp

  • Chia hai vế cho biểu thức chứa x. Với (x − 1)2 = 4(x − 1), nếu chia cho (x − 1) em sẽ mất nghiệm x = 1. Hãy chuyển vế rồi đặt nhân tử chung.
  • Quên vế phải phải bằng 0. (x − 2)(x + 3) = 6 không cho phép suy ra x − 2 = 6 hay x + 3 = 6.
  • Sai dấu khi giải nhân tử. 2 − 3x = 0 cho x = 2/3, không phải 3/2.
  • Bỏ sót nhân tử vô nghiệm. Thừa số x2 + 9 không cho nghiệm, nhưng các thừa số còn lại vẫn phải giải đủ.
  • Đặt nhân tử chung sai dấu. x(x − 3) − 4x + 12 = x(x − 3) − 4(x − 3). Kiểm tra bằng cách nhân ngược lại.

8. Học tiếp theo lộ trình

Sau phương trình tích, em học tiếp phương trình chứa ẩn ở mẫu. Ở đó, phép phân tích thành nhân tử vẫn dùng để quy đồng và tìm điều kiện xác định. Cuối chương là giải bài toán bằng cách lập phương trình. Ngoài ra, em có thể xem phương pháp giải và bài tập chọn lọc về phương trình tích để mở rộng.

Câu hỏi thường gặp

Phương trình tích là gì?

Là phương trình có dạng A(x)·B(x) = 0, trong đó A(x), B(x) là các đa thức của x. Phương trình này tương đương với A(x) = 0 hoặc B(x) = 0.

Làm sao đưa một phương trình bất kì về phương trình tích?

Chuyển tất cả hạng tử về vế trái để vế phải bằng 0, sau đó phân tích vế trái thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, dùng hằng đẳng thức hoặc tách hạng tử.

Vì sao không được chia hai vế cho biểu thức chứa x?

Vì biểu thức đó có thể bằng 0 tại một giá trị của x, khi chia sẽ làm mất nghiệm. Cách an toàn là chuyển vế rồi đặt nhân tử chung.

Phương trình tích có thể vô nghiệm không?

Có. Khi mọi nhân tử đều vô nghiệm, chẳng hạn (x² + 9)(x² + 1) = 0, hoặc tích của hằng số khác 0 với biểu thức luôn dương.

Bài học liên quan