Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8, tài liệu bao gồm 120 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tóm tắt tài liệu

Lý thuyết và bài tập thực hành các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8

Chuyên đề 1- Phân tích đa thức thành nhân tử

A. Mục tiêu

* Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
* Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử
* Nâng cao trình độ và kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử
B. Các phương pháp và bài tập
I. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử:
Định lí bổ sung:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước
dương của hệ số cao nhất
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử
bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì \(\frac{{f(1)}}{{a - 1}}\)và \(\frac{{f( - 1)}}{{a + 1}}\)đều là số nguyên

Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do

1. Ví dụ 1: 3x² – 8x +4

Cách 1: Tách hạng tử thứ 2

3x² – 8x +4 = 3x² – 6x – 2x +4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2)= (x – 2) (3x – 2)

Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:

3x² – 8x +4= (4x² – 8x +4) – x² = (2x – 2)² – x²

= (2x – 2+x)(2x – 2 – x) = (x – 2)(3x – 2)

Ví dụ 2: x³ – x² – 4

Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì \(x =  \pm 1; \pm 2; \pm 4\), chỉ có f(2)=0 nên x= 2 là nghiệm của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x – 2

Cách 1:

x³ – x² – 4 =(x³ – 2x²) +(x² – 2x) + (2x – 4)

= x² ( x – 2) +x(x – 2) +2 (x – 2)= (x – 2)( x² +x +2)

Chuyên đề bồi dưỡng toán 8

Cách 2: x³ – x² – 4 = x³ – 8 – x² +4

=(x³ – 8) – (x² – 4)= (x – 2)(x² +2x +4) – (x – 2)(x+2)

 = (x – 2)[(x² +2x+4) – (x+2)]= (x – 2)(x² +x +2)

Ví dụ 3: f(x) =3x³ – 7x² +17x – 5

Nhận xét: \( \pm 1, \pm 5\)không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm nguyên. Nên f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ
Ta nhận thấy \(x = \frac{1}{3}\)là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1. Nên

f(x) = 3x³ – 7x² +17x – 5=3x³ – x² – 6x² +2x +15x – 5

= (3x³ – x²) – (6x² – 2x) +(15x – 5)

=x²( 3x – 1) – 2x(3x – 1) +5(3x – 1)

= (3x – 1)(x² – 2x +5)

Vì x² – 2x+5= (x² – 2x +1) +4 = (x – 1)² +4>0 với mọi x nên không phân tích được thành nhân tử nữa
Ví dụ 4:x³ +5x² +8x +4

Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1

x³ +5x² +8x +4 = (x³ +x²) +(4x² +4x) +(4x +4)

= x²(x +1) +4x (x +1) +4(x +1) =(x+1)(x² +4x+4)=(x+1)(x+2)²

Ví dụ 5: f(x) = x⁵ – 2x⁴ +3x³ – 4x² +2

Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có:

x⁵ – 2x⁴ +3x³ – 4x² +2 = (x – 1)(x⁴ – x³ +2x² – 2x – 2)

Vì  x⁴ – x³ +2x² – 2x – 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên không phân tích được nữa

Ví dụ 6: x⁴ +1997x² +1996x +1997

 = (x⁴ +x² +1) +(1996x² +1996x +1996)

=(x² +x +1)(x² – x +1) +1996(x² +x +1)

=(x² +x +1)(x² – x +1 +1996) = (x² +x +1)(x² – x+1997)

Ví dụ 7: x² – x – 2001.20021=x² – x – 2001( 2001+1)

=x² – x – 2001² – 2001 = (x² – 2001²) – (x +2001)

= (x+2001)(x – 2002)

II. Thêm, bớt cùng một hạng tử:

1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương

Ví dụ 1: 4x⁴ +81 = 4x⁴ +36x²  +81 – 36x² = (2x² +9)² – 36x²

=(2x² +9)² – (6x)² = (2x² + 9 +6x)(2x² +9 – 6x)

= (2x² +6x +9)(2x² – 6x +9)

Ví dụ 2: x⁸ +98x⁴ +1 = (x⁸ +2x⁴ +1) +96x⁴

=(x⁴ +1)² +16x²(x⁴ +1) +64x⁴ – 16x² (x⁴ +1) +32x⁴

=(x⁴ +1 +8x²)² – 16x² (x⁴ +1 – 2x²) = (x⁴+8x² +1)² – 16x² (x² – 1)²

=(x⁴ +8x² +1)² – (4x³ – 4x)²

=(x⁴ +4x³ +8x² – 4x +1)(x⁴ – 4x³ +8x² +4x +1)

2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung

Ví dụ 1: x⁷ +x² +1 =(x⁷ – x) +(x² +x +1)

= x(x⁶ – 1)+(x² +x +1)

=x (x³ – 1)(x³ +1) +(x² +x +1)

= x(x – 1)(x² +x +1)(x³ +1) +(x² +x+1)

=(x² +x +1)[x(x – 1)(x³ +1) +1]

= (x² +x +1)(x⁵ – x⁴ +x² – x +1)

Ví dụ 2: x⁷ +x⁵ +1= (x⁷  - x)+(x⁵ – x²) +(x² +x+1)

=x(x³ – 1)(x³ +1) +x²(x³ – 1) +(x² +x +1)

=(x² +x +1)(x – 1)(x⁴+x)+x²(x – 1)(x² +x +1) +(x² +x +1)

=(x² + x +1)[(x⁵ – x⁴ +x² – x)+(x³ – x² ) +1)

= (x² +x +1)(x⁵ – x⁴ +x³ – x +1)

Ghi nhớ:

Các đa thức có dạng x^3m+1 +x³ⁿ⁺² +1 như:

 x⁷ +x² +1; x⁷ +x⁵ +1; x⁸ +x⁴ +1; x⁵ +x +1; x⁸ +x +1;…

đều có nhân tử chung là x² +x +1

III. Đặt biến phụ:

Ví dụ 1: x(x +4)(x+6)(x+10) +128= [x(x+10)][(x+4)(x+6)]+128

=(x² +10x)+(x² +10x +24)+128

Đặt x² +10x +12 =y, đa thức có dạng

(y – 12)(y+12) +128= y² – 144 +128= y² – 16 = (y +4)(y – 4)

=(x² +10x +8)(x² +10x +16)=(x+2)(x+8)(x²+10x +8)

Ví dụ 2: A= x⁴ +6x³ +7x² – 6x +1

Giả sử \(x \ne 0\)ta viết

x⁴ +6x³ +7x² – 6x +1= x²(x² +6x +7 \( - \frac{6}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}) = {x^2}[({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}) + 6(x - \frac{1}{x}) + 7]\)

Đặt \(x - \frac{1}{x} = y\)thì \({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {y^2} + 2,\)do đó

\(\begin{array}{l}A = {x^2}({y^2} + 2 + 6y + 7) = {x^2}{(y + 3)^2} = {(xy + 3x)^2}\\ = {{\rm{[}}x{(x - \frac{1}{x})^2} + 3x]^2} = {({x^2} + 3x - 1)^2}\end{array}\)

Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:

A= x⁴ +6x³ +7x² – 6x +1=x⁴+(6x³ – 2x²) +(9x² – 6x +1)

=x⁴ +2x²(3x – 1) +(3x – 1)² = (x² +3x – 1)²

Ví dụ 3: A= (x² +y² +z²)(x+y+z)² +(xy +yz +zx)²

Đặt x² +y² +z² = a. xy +yz +zx =b ta có

A= a(a+2b)+b²= a² +2ab +b² = a² +2ab +b²

= (a+b)² = (x² + y² +z² +xy +yz +zx)²

Ví dụ 4: B= 2(x⁴ +y⁴ +z⁴) – (x² + y² +z²)²  - 2(x² +y² +z²)(x+y+z)² +(x+y+z)⁴

Đặt x⁴ +y⁴ +z⁴ = a, x² +y² +z² =b, x +y +z= c ta có:

B= 2a – b² – 2bc² +c⁴ =2a – 2b² +b² – 2bc² +c⁴

= 2( a – b²) +(b – c²)²

Ta lại có: a – b² = - 2(x²y² +y²z² +z²x²)

 và b – c² = - 2(xy +yz +zx) Do đó;

B= - 4(x²y² +y²z² +z²x²) +4 (xy +yz +zx)²

= - 4x²y² – 4y²z² – 4z²x² +4x²y² +4y²z² +4z²x² +8x²yz +8xy²z + 8xyz²

= 8xyz(x +y+z)

Ví dụ 5: (a+b+c)³ – 4 (a³ +b³+c³) – 12abc

Đặt a +b =m , a – b =n thì 4ab =m² – n²

a³ +b³ = (a +b)[(a – b)² +ab] \( = m({n^2} + \frac{{{m^2} - {n^2}}}{4}).\)Ta có:

\(\begin{array}{l}C = {(m + c)^3} - 4.\frac{{{m^3} + 3m{n^2}}}{4} - 4{c^3} - 3c({m^2} - {n^2})\\ = 3( - {c^3} + m{c^2} - m{n^2} + c{n^2})\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = 3[{c^2}(m - c) - {n^2}(m - c){\rm{]}} = 3(m - c)(c - n)(c + n)\\ = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)\end{array}\)

III. Phương pháp hệ số bất định

Ví dụ 1: x⁴ – 6x³ +12x² – 14x +3

Nhận xét: các số \( \pm 1, \pm 3\)không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ

Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng

(x² +ax +b)(x²+cx+d)=x⁴ +(a+c)x³ +(ac +b+d)x² +(ad+bc)x +bd

Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có:

 \(\left\{ \begin{array}{l}a + c =  - 6\\ac + b + d = 12\\ad + bc =  - 14\\bd = 3\end{array} \right.\)

Xét bd=3 với \[b,d \in \mathbb{Z},b \in {\rm{\{ }} \pm 1, \pm 3\} \]với b=3 thì d=1 hệ điều kiện trên trở thành

\(\left\{ \begin{array}{l}a + c =  - 6\\ac =  - 8\\a + 3c =  - 14\\bd = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2c =  - 8\\ac = 8\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c =  - 4\\a =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy: x⁴ – 6x³ +12x² – 14x +3 = (x² – 2x +3)(x² – 4x +1)

Ví dụ 2: 2x⁴ – 3x³ – 7x² +6x +8

Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x= 2 nên có thừa số là x – 2 do đó ta có:

2x⁴ – 3x³ – 7x² +6x +8=(x – 2)(2x³ +ax² +bx +c)

=2x⁴ +(a – 4)x³ +(b – 2a)x² +(c – 2b)x – 2c

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 4 =  - 3\\b - 2a =  - 7\\c - 2b = 6\\ - 2c = 8\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 5\\c =  - 4\end{array} \right.\)

Suy ra: 2x⁴ – 3x³ – 7x² +6x +8 =(x – 2)(2x³ +x² – 5x – 4_

Ta lại có 2x³ +x² – 5x – 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nhau nên có 1 nhân tử là x +1 nên 2x³ +x² – 5x – 4 =(x+1)(2x² – x – 4)

Vậy: 2x⁴ – 3x³ – 7x² +6x +8=(x – 2)(x+1)(2x²  - x – 4)

Ví dụ 3:

12x² +5x – 12y² +12y – 10xy – 3 =(ax +by +3)(cx+dy – 1)

=acx² +(3c – a)x +bdy² +(3d – b)y +(bc +ad)xy – 3