Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử có ví dụ, tài liệu bao gồm 7 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tóm tắt tài liệu

Lý thuyết và bài tập có giải chi tiết về dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử. Đi kèm bài tập luyện tập.

Phân tích đa thức thành nhân tử

I. Kiến thức cơ bản

1. Định nghĩa:

Phân tích đa thức thành nhân tử( hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Ví dụ:

a) 2x² +5x – 3 = (2x – 1)(x+3)

b) \(x - 2\sqrt x y + 5\sqrt x  - 10y = {\rm{[}}{(\sqrt x )^2} - 2y\sqrt x {\rm{]}} + (5\sqrt x  - 10y)\)

\( = \sqrt x (\sqrt x  - 2y) + 5(\sqrt x  - 2y)\)

2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
a) Phương pháp đặt nhân tử chung:
Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được biểu
diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác.
Công thức:$AB+AC=A(B+C)$

Ví dụ:

1. 5x(y+1) – 2(y+1)=(y+1)(5x – 2)

2. \(3x + 12\sqrt x y = 3\sqrt x (\sqrt x  + 4y)\)

b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng
đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức.
* Những hằng đẳng thức đáng nhớ:

(A+B)² = A² +2AB +B²

(A – B)² = A² – 2AB +B²

A² – B²=(A+B)(A-B)

(A+B)³= A³ +3A²B+3AB² +B³

(A – B)­³= A³ – 3A²B +3AB² – B³

A³ +B³ = (A+B)(A² – AB +B²)

A³ – B³ =(A-B)(A² +AB +B²)

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1.x² – 4x +4= (x – 2)²

2. x² – 9 =(x – 3)(x+3)

3. (x+y)² – (x – y)²=[(x+y) +(x – y)][(x+y) – (x – y)]=2x.2y=4xy

Cách khác: (x +y)² – (x – y)² = x² +2xy +y² – (x² – 2xy+y²) = 4xy

c) Phương pháp nhóm hạng tử:
Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân
tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.
Ví dụ:

1. x² – 2xy +5x – 10y

=(x² – 2xy) +(5x – 10y) = x(x- 2y)+5(x – 2y)

=(x – 2y)(x+5)

2. \(x - 3\sqrt x  + \sqrt x y - 3y = (x - 3\sqrt x ) + (\sqrt x y - 3y)\)

\( = \sqrt x (\sqrt x  - 3) + y(\sqrt x  - 3) = (\sqrt x  - 3)(\sqrt x  + y)\)

d. Phương pháp tách một hạng tử: (trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm)

Tam thức bậc hai có dạng: ax² +bx +c=ax² +b₁x+b₂x +c (\(a \ne 0\)) nếu \(\left\{ \begin{array}{l}{b_1}{b_2} = ac\\{b_1} + {b_2} = b\end{array} \right.\)

Ví dụ:

a) 2x² – 3x +1=2x² – 2x – x +1

=2x(x – 1) – (x – 1)= (x – 1)(2x – 1)

b) \(y - 3\sqrt y  + 2 = y - \sqrt y  - 2\sqrt y  + 2\)

\( = \sqrt y (\sqrt y  - 1) - 2(\sqrt y  - 1)\)

\( = (\sqrt y  - 2)(\sqrt y  - 1)\)

e. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:

Ví dụ:

a) y⁴ + 64 = y⁴ +16y² +64 – 16y²

=(y² +8)² – (4y)²

=(y² +8 – 4y)(y² +8 +4y)

b) x² +4 = x² +4x – 4x = (x +2)² – 4x

\( = {(x + 2)^2} - {(2\sqrt x )^2} = (x - 2\sqrt x  + 2)(x + 2\sqrt x  + 2)\)

g. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp:

Ví dụ:

a) a³ – a²b – ab² +b³ = a²( a – b) – b²(a – b)

=(a – b)( a² – b²)

=(a – b)(a – b)(a+b)

= (a – b)² (a +b)

b) \(27{x^3}\sqrt y  - {a^3}{b^3}\sqrt y  = \sqrt y (27{x^3} - {a^3}{b^3})\)

\( = \sqrt y {\rm{[}}{(3x)^3} - {(ab)^3}{\rm{]}}\)

\( = \sqrt y (3x - ab)(9{x^2} + 3xab + {a^2}{b^2})\)

II. Bài tập áp dụng

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 14x² – 21xy² +28x²y² = 7x(2x – 3y² +4xy²)

b) 2(x +3) – x(x+3) = (x +3)(2 – x)

c) x² +4x – y² +4= (x+2)² – y² = (x +2 – y)(x +2+y)

Bài 2: Giải phương trình sau:

2(x+3) – x(x+3) = 0

\( \Leftrightarrow (x + 3)(2 - x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\2 - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3\\x = 2\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương tình là x₁= - 3; x₂ = 2

Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 8x³ +4x² – y³ – y²= (8x³ – y³)+(4x² – y²)

=[(2x)³ – y³]+(4x² – y²)

=(2x – y)[(2x)² +2xy +y²]+(2x +y)(2x – y)

=(2x – y)(4x² +2xy +y² +2x +y)

b) x² +5x – 6 =x² +6x – x – 6

=x(x +6) – (x +6)

=(x+6)(x – 1)

c) a⁴ +16 = a⁴ +8a² +16 – 8a²

\[ = {\left( {{a^2} + 4} \right)^2} - {(\sqrt 8 a)^2}\]

\( = ({a^2} + 4 + \sqrt 8 a)({a^2} + 4 - \sqrt 8 a)\)

Bài 4: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:

a) (x⁵ +x³ +x² +1) : (x³+1)

b) (x² – 5x +6): (x – 3)

Giải:

a) Vì x⁵ +x³ +x² +1 =x³(x² +1) +x² +1 =(x² +1)(x³ +1)

nên (x⁵ +x³ +x²+1) : ( x³ +1)

= (x² +1)(x³ +1) : ( x³ +1)

=(x² +1)

b) Vì x² – 5x +6 = x² – 3x – 2x +6

=x(x – 3) – 2(x – 3)= (x – 3)(x – 2)

Nên (x² – 5x  + 6) : (x – 3)= (x – 3)(x – 2) : (x – 3) = x -2

III. Bài tập đề nghị

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \(10(\sqrt x  - y) - 8y(y - \sqrt x )\)

b) \(2\sqrt x y + 3z + 6y + \sqrt x y\)

Bài 2: Giải các phương trình sau

a) \(5\sqrt x (\sqrt x  - 2010) - \sqrt x  + 2010 = 0\)

b) x³ – 13x =0

Bài 3: Rút gọn các phân thức sau:

a) \(\frac{{{x^2} + xy - {y^2}}}{{2{x^2} - 3xy + {y^2}}}\)

b) \(\frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} + x - 2}}\)

Bài 4: Phân tích thành nhân tử ( với a, b , x, y là các số không âm)

a) \(xy + y\sqrt x  + \sqrt x  + 1\)

b) \(\sqrt {{a^3}}  - \sqrt {{b^3}}  + \sqrt {{a^2}b}  - \sqrt {a{b^2}} \)

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:                         

a) x² – y² – 2x +2y

b) 2x +2y – x² – xy

c) 3a² – 6ab +3b² – 12c²

d) x² – 25 +y² +2xy

e)a² +2ab +b² – ac – bc

f) x² – 2x – 4y² – 4y

g) x²y – x³ – 9y +9x

h) x²(x – 1) +16(1 – x)

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1) 4x² – 25 + (2x + 7)(5 – 2x)

2) 3(x+ 4) – x² – 4x

3) 5x²– 5y² – 10x + 10y

4) x² – xy +x – y

5) ax – bx – a² +2ab – b²

6) x² +4x – y² +4

7) x³ – x² – x +1

8)x⁴ +6x²y +9y² – 1

9) x³ +x²y – 4x – 4y

10) x³ – 3x² +1 – 3x

11) 3x² – 6xy +3y² – 12z²

12) x² – 2x -15

13) 2x² +3x – 5

14) 2x² – 18

15) x² – 7xy +10y²

16) x³ – 2x² +x – xy²

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1. 16x³y +0,25yz³

2. x⁴ – 4x³ +4x²

3. 2ab² – a²b – ab² – b³

4. a³ +a²b – ab² – b³

5. x³ +x² – 4x – 4

6. x³ – x² – x +1

7. x⁴ +x³ +x² – 1

8. x²y² +1 – x² – y²

10. x⁴ – x² +2x – 1

11. 3a – 3b +a² – 2ab +b²

12. a² +2ab +b² – 2a – 2b +1

13. a² – b² – 4a +4b

14. a³ – b³ – 3a +3b

15. x³ +3x² – 3x – 1

16. x³ – 3x² – 3x +1

17. x³ – 4x² +4x – 1

18. 4a²b² – (a² +b^2­ – 1)²

19. (xy +4)² – (2x +2y)²

20. (a² +b² +ab)² – a²b² – b²c² – c²a²

21. (a +b+c)² +(a +b -c )² – 4c²

22. 4a²b² – (a² +b² +c²)

23. a⁴ +b⁴ +c⁴ – 2a²b² – 2b²c² – 2a²c²

24. a(b³ – c³) +b(c³ – a³) +c (a³ – b³)

25. a⁶ – a⁴ +2a³ +2a²

26. (a+b)³ – (a – b)³

27. x³ – 3x² +3x – 1 -y³

28. x^m+4+x^m+3 – x – 1

29. (x+y)³ – x³ – y³

30. (x +y+z)³ – x³ – y³ – z³

31. (b – c)³ +(c – a)³ +(a – b)³

32. x³ +y³ +z³ – 3xyz

33. (x+y)⁵ – x⁵ – y⁵

34. (x² +y²)³ +(z² – x²)³ – (y² +z²)³

35. x³ – 5x²y – 14xy²

36. x⁴ – 7x² +1

37. 4x⁴ – 12x² +1

38. x² +8x +7

39. x³ – 5x² – 14x

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

1. x⁴y⁴ +4

2. x⁴y⁴+64

3. 4x⁴y⁴ +1

4. 32x⁴ +1

5. x⁴ +4y⁴

6. x⁷ +x² +1

7. x⁸ +x +1

8. x⁸  +x⁷ +1

9. x⁸ +3x⁴ +1

10. x¹⁰ +x⁵ +1

Bài tập 6: Phân tích đa thức thành nhân tử

1. x²+2xy – 8y² +2xz+14yz – 3z²

2. 3x² – 22xy – 4x +8y +7y² +1

3. 12x² +5x – 12y² +12y – 10xy – 3

4. 2x² – 7xy +3y² +5xz – 5yz +2z²

5. x² +3xy +2y² +3xz + 5yz+2z²

6. x² – 8xy +15y² +2x – 4y – 3

7. x⁴ – 13x² +36

8. x⁴ +3x² – 2x +3

9. x⁴ +2x³ +3x² +2x +1

Bài tập 7: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1. ( a- b)³ +(b -c )³ +(c – a)³

2. (a – x )y³ – (a – y)x³ – (x- y)a³

3. x(y² – z²) +y(z² – x²) +z (x² – y²)

4. (x +y+z)³ – x³ – y³ – z³

5. 3x⁵ – 10x⁴ – 8x³ – 3x² +10x +8

6. 5x⁴ +24x³ – 15x² – 118x +24

7. 15x³ +29x² – 8x – 12

8. x⁴ – 6x³ +7x² +6x – 8

9. x³ +9x² +26x +24

Bài tập 8: Phân tích đa thức thành nhân tử

1. a(b+c)(b² – c²) +b(a +c)(a² – c²) +c (a+b)(a² – b²)

2. ab(a – b) +bc (b – c)+ ca (c – a)

3. a(b² – c²) – b(a² – c²) +c (a² – b²)

4. (x – y)⁵ +(y – z)⁵ +(z – x)⁵

5. (x +y)⁷ – x⁷ – y⁷

6. ab(a+b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc
7. (x + y + z)⁵ – x⁵ – y⁵ – z⁵

8. a(b²+c²)+b(c²+a²) +c(a² +b²) +2abc

9. a³(b – c) +b³(c – a )+c³( a- b)

10. abc – (ab +bc +ac) +(a +b +c) – 1

Bài tập 9: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. (x² +x)² +4x² +4x – 12

2. (x² +4x +8)² +3x (x² +4x +8) +2x²

3. (x² +x +1)(x² +x +2) – 12

4. (x +1)(x +2) (x+3) (x+4) – 24

5. (x² +2x)² +9x² +18x +20

6. x² – 4xy +4y² – 2x +4y – 35

7. (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16
8. (x² +x)² +4(x² +x) – 12

9. 4(x² +15x +50)(x² +18x +72) – 3x²