Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số, tài liệu bao gồm 56 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tài liệu gồm có:

I. Phần lý thuyết

II. Các dạng toán

III. Bài tập kèm lời giải

Chuyên đề: Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

Khái niệm: Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biểu thức thuốc khoảng xác định nói trên.

Xét biểu thức A(x)

+) Ta nói A(x) có giá trị lớn nhất là M, nếu

\(A\left( x \right) \le M\forall x\)và có giá trị x₀ sao cho A(x₀) = M (Chỉ ra 1 giá trị là được)

+) Ta nói A(x) có giá trị nhỏ nhất là m, nếu

\(A\left( x \right) \ge m\forall x\) và có giá trị x₀ sao cho A(x₀) = m (Chỉ ra 1 giá trị là được)

Như vậy:

a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần:

- Chứng minh \(A \ge k\)với k là hằng số

- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến

b) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần:

- Chứng minh \(A \le k\) với k là hằng số

- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến

Ký hiệu: Min A là giá trị nhỏ nhất của A và Max A là giá trị lớn nhất của A

Ví dụ: Sai lầm

\(A\left( x \right) = 2{x^2} - 2x + 3 = {x^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \ge 2 \Rightarrow GTNN = 2\)( không chỉ ra được dấu =)

Đáp án đúng là: \(A\left( x \right) = 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{5}{2} \ge \frac{5}{2} \Rightarrow GTNN = \frac{5}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)

B. Các dạng toán

Dạng 1: Tìm GTLN,GTNN của tam thức bậc hai \(a{x^2} + bx + c\)

Phương pháp: Áp dụng hằng đẳng thức số 1 và số 2

Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau

a. \(A\left( x \right) = {x^2} - 4x + 24\)

b. \(B\left( x \right) = 2{x^2} - 8x + 1\)

c. \(C\left( x \right) = 3{x^2} + x - 1\)

Lời giải

a.

 \(\begin{array}{l}A\left( x \right) = {x^2} - 4x + 24\\ = {\left( {x - 2} \right)^2} + 20 \ge 20\forall x\\ \Rightarrow \min A\left( x \right) = 20 \Leftrightarrow x = 2\end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l}B\left( x \right) = 2{x^2} - 8x + 1\\ = 2\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) - 7\\ = 2{\left( {x - 2} \right)^2} - 7 \ge  - 7\\ \Rightarrow \min B =  - 7 \Leftrightarrow x = 2\end{array}\)

c.

 \(\begin{array}{l}C\left( x \right) = 3{x^2} + x - 1\\ = 3{\left( {x + \frac{1}{6}} \right)^2} - \frac{{13}}{{12}} \ge \frac{{ - 13}}{{12}}\\ \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{6}\end{array}\)

Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau

a. \(A\left( x \right) =  - 5{x^2} - 4x + 1\)

b. \(B\left( x \right) =  - 3{x^2} + x + 1\)

Lời giải

\(\begin{array}{l}a.\,A\left( x \right) =  - 5{x^2} - 4x + 1\\ =  - 5\left( {{x^2} + \frac{4}{5}x - \frac{1}{5}} \right)\\ =  - 5{\left( {x + \frac{2}{5}} \right)^2} + \frac{9}{5} \le \frac{9}{5}\\ \Leftrightarrow x = \frac{{ - 2}}{5}\end{array}\)

\(b.\,B\left( x \right) =  - 3{x^2} + x + 1 =  - 3{\left( {x - \frac{1}{6}} \right)^2} + \frac{{13}}{{12}} \le \frac{{13}}{{12}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{6}\)

Dạng 2: tìm GTLN, GTNN của đa thức có bậc cai hơn 2

Phương pháp: Ta đưa về dạng tổng bình phương

Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau

a. \(A\left( x \right) = {x^4} - 6{x^3} + 10{x^2} - 6x + 9\)

b. \(B\left( x \right) = {x^4} - 10{x^3} + 26{x^2} - 10x + 30\)

c. \(C\left( x \right) = {x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} - 4x + 2017\)

d. \(D\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 2x + 7\)

e. \(E\left( x \right) = {x^4} - 4{x^3} + 9{x^2} - 20x + 22\)

f. \(F\left( x \right) = x\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {x - 7} \right)\)

g. \(G\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 6} \right) - 2006\)

Lời giải

a.

 \(\begin{array}{l}A\left( x \right) = {x^4} - 6{x^3} + 10{x^2} - 6x + 9\\ = \left( {{x^4} - 6{x^3} + 9{x^2}} \right) + \left( {{x^2} - 6x + 9} \right)\\ = {\left( {{x^2} - 3x} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\forall x\end{array}\)

\( \Rightarrow \min A\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\)

b.

\(\begin{array}{l}B\left( x \right) = {x^4} - 10x + 26{x^2} - 10x + 30\\ = {\left( {{x^2} - 5x} \right)^2} + {\left( {x - 5} \right)^2} + 5 \ge 5\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5x = 0\\x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\end{array}\)

c.

\(\begin{array}{l}C\left( x \right) = {x^2}\left( {{x^2} + 2} \right) - 2x\left( {{x^2} + 2} \right) + \left( {{x^2} + 2} \right) + 2015\\ = \left( {{x^2} + 2} \right){\left( {x - 1} \right)^2} + 2015 \ge 2015 \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)

d.

\(\begin{array}{l}D\left( x \right) = {x^4} - 2x + 1 + {x^2} + 2x + 1 + 5\\ = {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + 5 \ge 5\\ \Leftrightarrow x =  - 1\end{array}\)

e. Ta có:

\[\begin{array}{l}E\left( x \right) = {x^4} - 4{x^3} + 9{x^2} - 20x + 22\\ = \left( {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2}} \right) + 5\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + 2\end{array}\]

\( = {\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} + 5{\left( {x - 2} \right)^2} + 2 \ge 2\)

\( \Leftrightarrow x = 2\)

f.

\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = x\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {x - 7} \right)\\ = \left( {{x^2} - 7x} \right)\left( {{x^2} - 7x + 12} \right)\\ = {y^2} - 36 \ge  - 36\\ \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 6\end{array} \right.\end{array}\)

g.

\(\begin{array}{l}G\left( x \right) = \left( {{x^2} + 5x - 6} \right)\left( {{x^2} + 5x = 6} \right) - 2006\\ = {\left( {{x^2} + 5x} \right)^2} - 2042 \ge  - 2042\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 5\end{array} \right.\end{array}\)

Dạng 3: đa thức có từ 2 biến trở lên

Phương pháp: Đa số các biểu thức có dạng \(F\left( {x;y} \right) = a{x^2} + b{y^2} + cxy + dx + ey + h\left( {a,b,c \ne 0} \right)\left( 1 \right)\).

- Ta đưa cần các biến vào trong hằng đẳng thức \(\left( {a \pm 2ab + {b^2}} \right) = {\left( {a \pm b} \right)^2}\) như sau.

\(F\left( {x,y} \right) = mK{\left[ {x,y} \right]^2} + nG{\left[ y \right]^2} + r\left( 2 \right)\) hoặc \(F\left( {x,y} \right) = mK{\left[ {x,y} \right]^2} + nH{\left[ x \right]^2} + r\left( 3 \right)\)

Trong đó G[y], H[x] là biểu thức bậc nhất đối với biến, còn K[x,y] = px + qy + k cũng là biểu thức bậc nhất đối với cả hai biến x và y

Cụ thể:

Ta biến đổi (1) để chuyển về dạng (2) như sau với \(a \ne 0;\,4ac - {b^2} \ne 0\)

Ta có

\(4a.F\left( {x;y} \right) = 4{a^2}{x^2} + 4abxy + 4ac{y^2} + 4adx + 4aey + 4ah\)

\( = 4{a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} + {d^2} + 4abxy + 4adx + 2bdy\)

\(\left( {4ac - {b^2}} \right){y^2} + 2y\left( {2ae - bd} \right) + 4ah - {d^2}\)

\( = {\left( {2ax + by + d} \right)^2} + \left( {4ac - {b^2}} \right)\left( {y + \frac{{2ae - bd}}{{4ac - {b^2}}}} \right) + 4ah - {d^2} - {\left( {\frac{{2ae - bd}}{{4ac - {b^2}}}} \right)^2}\)

Vậy có (2) với

\(m = \frac{1}{{4a}}.F\left( {x;y} \right) = 2ax + by + d;\,n =  - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}};\)

\(G\left( y \right) = y + \frac{{2ae - bd}}{{4ac - {b^2}}};r = h - \frac{{{d^2}}}{{4a}} - \frac{{{{\left( {2ae - bd} \right)}^2}}}{{4a\left( {4ac - {b^2}} \right)}}\)

+) Nếu a > 0; \(4ac - {b^2} > 0 \Rightarrow m > 0,n > 0 \Rightarrow \left( 2 \right):F\left( {x;y} \right) \ge r\left( * \right)\)

+) Nếu \(a < 0;4ac - {b^2} > 0 \Rightarrow m < 0,n < 0 \Rightarrow \left( 2 \right):F\left( {x;y} \right) \le r\left( {**} \right)\)

+) Nếu m > 0, n > 0 thì ra tìm được giá trị nhỏ nhất

+ Nếu m < 0, n < 0 thì ta tìm được giá trị lớn nhất

Dễ thấy rằng luôn tồn tại (x,y) để có dấu của đẳng thức, như vậy ta sẽ tìm được cực trị của đa thức đã cho

Trong cả hai trường hợp trên:

- Nếu r = 0 thì phương trình F(x;y) = 0 có nghiệm

- Nếu \(F(x;y) \ge r > 0\) hoặc \(F\left( {x;y} \right) \le r < 0\) thì không có (x;y) nào thoả mãn F(x;y) = 0

+) Nếu \(a > 0;4ac - {b^2} < 0;r = 0 \Rightarrow \left( 2 \right):\,F\left( {x;y} \right)\)phân tích được tích của hai nhân tử, giúp ta giả được các bài toán khác

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của

a. \(A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy - 4y + 5\)

b. \(B = 2{x^2} - 2{y^2} + 5{y^2} + 5\)

Lời giải

a) Ta có

\(\begin{array}{l}A\left( x \right) = {x^2} + 2{y^2} - 2xy - 4y + 5\\ = \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} - 4y + 4} \right) + 1\end{array}\)

\( = {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + 1\)

$\Rightarrow A\ge 1\forall x,y\in R\Rightarrow "="\iff \left\{\begin{array}{l}x-y=0\\ y-2=0\end{array}\right.\iff x=y=2$

Vậy min A = 1 \( \Leftrightarrow \)x = y = 2

b)

\(\begin{array}{l}B = 2{x^2} - 2{y^2} + 5{y^2} + 5\\ = \left( {{x^2} - 4xy + 4{y^2}} \right) + \left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + {y^2} + 5\end{array}\)

\( = {\left( {x - 2y} \right)^2} + {\left( {x + y} \right)^2} + 5 \ge 5\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\x + y = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = y = 0\)

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của

a. \(A\left( x \right) = 2{x^2} + {y^2} - 2xy - 2x + 3\)

b. \(B\left( x \right) = {x^2} + xy + {y^2} - 3x - 3y\)

c. \(C\left( x \right) = 2{x^2} + 8xy + 11{y^2} - 4x - 2y + 6\)

d. \(D\left( x \right) = 2{x^2} + 3{y^2} + 4{z^2} - 2\left( {x + y + z} \right) + 2\)

f. \(F\left( x \right) = 2{x^2} + 6{y^2} + 5{z^2} - 6xy + 8yz - 2xz + 2y + 4 + 2\)

g. \(G\left( x \right) = 2{x^2} + 2{y^2} + {z^2} + 2xy - 2xz - 2yz - 2x - 4y\)

h. \(H\left( x \right) = {x^2} + {y^2} - xy - x + y + 1\)

Lời giải

a. Ta có:

\(\begin{array}{l}A\left( x \right) = 2{x^2} + {y^2} - 2xy - 2x + 3\\ = \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2\end{array}\)

\({\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \ge 2\)

\( \Leftrightarrow x = y = 1\)

b.

 \(B\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) + x\left( {y - 1} \right) - \left( {y - 1} \right) - 3\)

\(\begin{array}{l} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right) - 3\\ = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2\left( {x - 1} \right).\frac{1}{2}.\left( {y - 1} \right) + {\left( {\frac{{y - 1}}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{y - 1}}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} - 3\\ = {\left[ {x - 1 + \frac{{y - 1}}{2}} \right]^2} - \frac{{{y^2} - 2y + 1}}{4} + {y^2} - 2y + 1 - 3\\ = {\left[ {x - 1 + \frac{{y - 1}}{2}} \right]^2} + \frac{{3{{\left( {y - 1} \right)}^2}}}{4} - 3 \ge  - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 + \frac{{y - 1}}{2}\\y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\end{array}\)\( = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right) - 3\)

\( = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2\left( {x - 1} \right).\frac{1}{2}.\left( {y - 1} \right) + {\left( {\frac{{y - 1}}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{y - 1}}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} - 3\)

\( = {\left[ {x - 1 + \frac{{y - 1}}{2}} \right]^2} - \frac{{{y^2} - 2y + 1}}{4} + {y^2} - 2y + 1 - 3\)

\(\begin{array}{l} = {\left[ {x - 1 + \frac{{y - 1}}{2}} \right]^2} + \frac{{3{{\left( {y - 1} \right)}^2}}}{4} - 3 \ge  - 3\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 + \frac{{y - 1}}{2}\\y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\end{array}\)

c.

 \(C\left( x \right) = 2{x^2} + 4xy + 2{y^2} + {y^2} - 8x - 2y + 18\)

\( = 2\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2\left( {x + y} \right)2 + 4} \right] + \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) + 1\)

\( = 2{\left( {x + y - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + 1 \ge 1 \Rightarrow \min A = 1 \Leftrightarrow y =  - 3;x = 5\)

d.

\(\begin{array}{l}D\left( x \right) = 2{x^2} + 3{y^2} + 4{z^2} - 2\left( {x + y + z} \right) + 2\\ = 2\left( {{x^2} - x} \right) + \left( {3{y^2} - 2y} \right) + \left( {4{z^2} - 2z} \right) + 2\end{array}\)

\( = 2\left( {{x^2} - x + \frac{1}{4}} \right) + 3\left( {{y^2} - \frac{2}{3}y + \frac{1}{9}} \right) + \left[ {{{\left( {2z} \right)}^2} - 2z + \frac{1}{4}} \right] + 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\)

\(\begin{array}{l} = 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 3{\left( {y - \frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {2z - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{2} \ge \frac{{11}}{2}\\ \Rightarrow \left( {x,y,z} \right) = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4}} \right)\end{array}\)

e. \(E\left( x \right) = 2\left( {{x^2} + 4xy + 4{y^2}} \right) + 3{y^2} - 4x - 2y + 6\)

\( = [2{\left( {x + 2y} \right)^2} - 4\left( {x + 2y} \right) + 2] + 3{y^2} + 6y + 4\)

\(\begin{array}{l} = 2{\left( {x + 2y - 1} \right)^2} + 3{\left( {y + 1} \right)^2} + 1 \ge 1\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 1 = 0\\y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)