Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề bồi dưỡng Đại số môn Toán 8 - tập 2, tài liệu bao gồm 72 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tóm tắt tài liệu

Chuyên đề đại số toán 8: Chuyên đề 3 và 4. Mỗi chuyên đề bao gồm 5- 6 chủ để nhỏ. Mỗi chủ đề gồm các phần lý thuyết và bài tập có lời giải chi tiết.

Chuyên đề 3. Phương trình bậc nhất một ẩn số

Chủ đề 1: Mở đầu về phương trình

I. Tóm tắt lý thuyết

1. Khái niệm phương trình một ẩn

- Phương trình một ẩn x là phương trình có dạng:

A(x) = B(x)
trong đó A(x) và B(x) là các biểu thức của biến x.
- Ví dụ:
+ Phương trình \(3{x^2} - 2 = 5x + \frac{1}{x}\)là phương trình ẩn x.

+ Phương trình \(3({t^2} - t) = \sqrt t  - \frac{5}{t}\)là phương trình ẩn t.
2. Các khái niệm khác liên quan
- Giá trị x₀ được gọi là nghiệm của phương trình A(x) = B(x) nếu đẳng thức A(x₀)=B(x₀) đúng

- Giải phương trình là đi tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
- Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Chú ý: Hai phương trình cùng vô nghiệm tương đương nhau.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Xét xem một số cho trước có là nghiệm của phương trình hay không?
Phương pháp giải: Để xem số thực x₀ có là nghiệm của phương trình A(x) = B(x) hay không, ta thay x₀ vào phương trình để kiểm tra:
- Nếu A(x₀)=B(x₀) đúng, ta nói x_{0 là} nghiệm của phương trình đã cho.

- Nếu A(x₀)=B(x₀) không đúng, ta nói x₀ không là nghiệm của phương trình đã cho.

1A. Hãy xét xem số  - 1 có là nghiệm của mỗi phương trình sau hay không?

a)\[\;2{x^2}\; + {\rm{ }}3x{\rm{ }}--{\rm{ }}1{\rm{ }} =  - 3{x^3} + \frac{2}{x}\]

b) 5t² +8t +1 = 2(t³ – 3t) – 6

1B. Trong các giá trị y = 0 và y = 1 , đâu là nghiệm của phương trình \(2({y^2} - 3y) + 5 = \frac{5}{{2y - 1}} - 2\sqrt {3y + 1} ?\)

2A. Cho phương trình \(2\sqrt x  + m = \frac{3}{x} - 2\). Tìm giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm x = 4

2B. Tìm a đề phương trình \(2\sqrt {3{t^2} + 4}  - a = \frac{3}{{2t - 1}} - 2{t^2} + 1\) nhận t = 2 là nghiệm với a là tham số.
Dạng 2. Giải một số phương trình cơ bản đã biết
Phương pháp giải: Ta thường sử dụng một số biến đổi quen thuộc sau đây:
Loại 1: Phương trình dạng |A|= B

Cách giải 1: Ta có |A|=B\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A =  \pm B\end{array} \right.\)

Cách giải 2: Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Với \(A \ge 0\), ta có A= B

Trường hợp 2: Với A<0, ta có A= - B

Loại 2: Phương tình dạng |A|=|B|

Cách giải: Ta có |A|=|B| \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = B\\A =  - B\end{array} \right.\)

Loại 3: Phương trình dạng AB=0

Cách giải : ta có \[AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\]

3A.Giải các phương trình:

a)|x – 2|=3;

b)|3+x|= - 2;

c)|5- x| = 2x – 3;

d) \[|x - \frac{1}{2}| = |\frac{3}{2} + x|.\]

3B. Giải các phương trình:

a) |3+x| - 2= 0

b) | - x +2| +1=0

c)|1 – 2x| = 3x +1

d) \(|x + 1| = |\frac{3}{2} - x|\)

4A. Giải các phương trình:

a) \((x + \frac{1}{3})(x - 2) = 0;\)

b) (x² +1)|2x – 5|=0;

c) 4( - 4 +x) +x(x² – 16)=0;

d)x² +6x – 7 =0.

4B. Giải các phương trình:

a) \(|3x - \frac{3}{4}|( - 2 - 4x) = 0\);

b) (x² – 4)|x+7| - 12|x +7| =0;

c)4( - 4+x)+x(x² – 16)=0;

d)x² +6x – 7=0.

Dạng 3. Xét sự tương đương của hai phương trình
Phương pháp giải: Thông thường ta thực hiện theo các bước sau đây:
Bước 1: Tìm các tập nghiệm S₁, S₂ lần lượt của hai phương trình đã cho

Bước 2: Nếu S₁ = S₂, ta kết luận hai phương trình tương đương; nếu \[{S_1} \ne {S_2}\]ta kết luận hai phương trình không tương đương.

5A. Các cặp phương trình sau đay có tương đương không? Vì sao?

a) |x – 2|(3x+1)=0 và 9x²(x – 2) – (x – 2) =0;

b) 3x² +2 =0 và |2x – 1| = - 1

5B. Các cặp phương trình sau đây có tương đương hay không? Vì sao?

a) x² – 6x +9 = 0 và (x² +1)(2x – 6)=0

b) (x² +1)|2x – 1| =0 và 2x⁴ +1=0

6A. Cho hai phương trình: 2x² – 5x +3 = 0 (1)

Và \(3 - (\frac{2}{3}x - 1)(x + 2) = 2x(2)\)

a) Chứng minh \(x = \frac{3}{2}\) à nghiệm chung của (1) và (2).
b) Chứng minh x 5 = - là nghiệm của (2) nhưng không là nghiệm của (1).
c) Hai phương trình đã cho có tương đương không? Vì sao?

6B. Cho hai phương trình: -2x² +3x +5=0 (1)

Và \((\frac{2}{5}x - 1)(x - 1) + 5 = 2x(2)\)

a) Chứng minh \(x = \frac{5}{2}\) là nghiệm chung của (1) và (2).
b) Chứng minh x 1 = - là nghiệm của (2) nhưng không là nghiệm của (1).
c) Hai phương trình đã cho có tương đương không? Vì sao?
7A. Cho các phương trình ẩn x, tham số m:

mx² – (m+1)x +1=0 và (x – 1)(2x – 1)=0

Tìm m để hai phương trình tương đương.

7B. Tìm các giá trị của tham số m để hai phương trình x² =16 và 2m²(x – 3)=m – 6 tương đương.

III. Bài tập về nhà

8. Trong các số -1 và 1, số nào là nghiệm, số nào không là nghiệm của phương trình\(\frac{{x + 5}}{6} - \frac{{x - 9}}{4} = \frac{{5x + 3}}{8} + 2\sqrt {{x^2} - 1}  + 1?\)

9.  Cho phương trình \(2\sqrt {{y^2} - 3y + 7}  - m =  - 2{y^2} + \frac{{6 - y}}{3}\). Tìm giá trị của tham số m để phương trình nhận y= - 3 là nghiệm

10. Giải các phương trình sau:

a) |x – 1|=|3x – 5|;

b) \((|x + \frac{1}{2}| + 1)(x + 3) = 0;\)

c)3x² – 4x – 7 =0;

d) 7(x – 1)|2x+1|+|2x+1|(x² – 1)=0

11. Các cặp phương trình sau đây có tương đương không? Vì sao?

a) x – 2= (4 – x)(x -2 ) và x² – 5x +6=0;

b) \(x + \frac{2}{{x - 3}} = \frac{2}{{x + 3}}\)và x – 3 =0.

12. Cho hai phương trình: 5x² +3x – 8=0 (1)

Và – x² +8x – 7=0 (2)

a) Chứng minh x  =1 là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2).
b) Chứng minh \(x =  - \frac{8}{5}\) à nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2).
c) Hai phương trình đã cho có tương đương không? Vì sao?
13*. Cho các phương trình:

(m+4)x² – 2(2m+9)x – 4=0 và (x +3)(2x +1)=0.

Tìm giá trị tham số m để hai phương trình tương đương.

14^*. Cho phương trình (m² +m – 6)x²= (m – 2)(m – 3) trong đó m là tham số.

a) Chứng minh:

i) Khi m = 2 phương tình có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\);

ii) Khi m= - 3 phương trình có tập nghiệm là $\cancel{○}$.

b) Giải phương trình đã cho khi m =5

Hướng dẫn

1A. a) Thay x = -1 vào VT và VP của PT ta được VT = -2 và VP = 1. Vì VT\( \ne \)VP nên  x= - 1 không là nghiệm của PT đã cho.

b) Tương tự, vì VT= VP = - 2 nên t =- 1 là nghiệm của PT đã cho.

1B. Tương tự 1A

y = 0 không là nghiệm và y = 1 là nghiệm của PT đã cho.
2A. Thay x = 4 vào phương trình ta có:\(2\sqrt 4  + m = \frac{3}{4} - 2\)

Từ đó tìm được \(m =  - \frac{{21}}{4}\)

2B. Tương tự 2A. Tìm được a =14

3A. a) Ta có|x – 2|= 3\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 3\\x - 2 =  - 3\end{array} \right.\). Từ đó tìm được \(x \in {\rm{\{ }} - 1;5\} \)

b) Vì |3+x|= - 2 và – 2<0 nên PT vô nghiệm.

c) Cách 1. Điều kiện \[2x{\rm{ }} - {\rm{ }}3 \ge 0\]hay \(x \ge \frac{3}{2}\)

Khi đó |e – x|= 2x – 3 \( \Leftrightarrow 5 - x =  \pm (2x - 3)\)

Giải ra ta được \(x = \frac{8}{3}\)(TMĐK) hoặc x = - 2( không TMĐK)

Cách 2. Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1. Nếu \(5 - x \ge 0\)hay \(x \le 5\)khi đó 5 – x= 2x – 3

Giải ra \(x = \frac{8}{3}\)thỏa mãn \(x \le 5\).

Trường hợp 2. Nếu \(5 - x \le 0\) hay \(x \ge 5\)

d) Ta có: \(|x - \frac{1}{2}| = |\frac{3}{2} + x| \Leftrightarrow x - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + x\)hoặc \(x - \frac{1}{2} =  - \frac{3}{2} - x\)

Giải ra tìm được \(x =  - \frac{1}{2}\)

3B. Tương tự 3A

a) \(x \in {\rm{\{  - }}5;1\} \)

b) $x\in \cancel{○}$

c) x= 0

d) \(x = \frac{1}{4}\)

4A. a) Ta có \((x + \frac{1}{3})(x - 2) = 0 \Leftrightarrow x + \frac{1}{3} = 0\)hoặc x – 2=0

Giải ra tìm được \(x \in {\rm{\{ }} - \frac{1}{3};2\} \)

b) Ta có (x² +1)|2x – 5|=0 \( \Leftrightarrow |2x - 5| = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\)

c) Ta có x² (2x – 3) – 9(2x – 3)= 0\( \Leftrightarrow \)(x² – 9)(2x – 3)=0

Giải ra tìm được \(x \in {\rm{\{ }} - 3;\frac{3}{2};3\} \)

d) Biến đổi về dạng (x – 1)(2x – 1)=0

Giải ra tìm được \(x \in {\rm{\{ }}\frac{1}{2};1\} \)

4B. Tương tự 4A.

a) \(x \in {\rm{\{ }} - \frac{1}{2};\frac{1}{4}{\rm{\} }}\)

b) \(x \in {\rm{\{ }} - 7; - 7;4\} \)

c) \(x \in {\rm{\{ }} - 2;4\} \)

d) \(x \in {\rm{\{ }} - 7;1\} \)

5A. PT |x – 2|(3x+1) có tập nghiệm là \({S_1} = {\rm{\{ }} - \frac{1}{3};2\} \)

PY 9x²(x – 2) – (x – 2)=0 có tập nghiệm là \({S_2} = {\rm{\{ }} \pm \frac{1}{3};2\} \)

Vì \({S_1} \ne {S_2}\)nên hai PT không tương đương

b) PT 3x² +2 =0 và PT |2x – 1|= -1 có cùng tập nghiệm là $S_1=\cancel{○}$

Suy ra hai PT tương đương với nhau

5B. tương tự 5A

a) Tương đương

b) Không tương đương

6A. a) Thay \(x = \frac{3}{2}\)vào (1) và (2) thấy thỏa mãn nên \(x = \frac{3}{2}\)là nghiệm chung của cả hai PT đã cho.
b) Thay x = -5 vào (2) thấy thỏa mãn nên x = -5 là nghiệm của (2). Thay x = -5 vào (1) thấy không thỏa mãn nên x = -5 không là nghiệm của (1).
c) Cách 1. Tìm được tập nghiệm của (1) và (2) lần lượt là \({S_1} = {\rm{\{ }}1;\frac{3}{2}{\rm{\} }}\) và \({S_2} = {\rm{\{ }} - 5;\frac{3}{2}{\rm{\} }}\)

Vì \({S_1} \ne {S_2} \Rightarrow \) Hai phương trình không tương đương nhau.
Cách 2. Theo ý b, x = -5 là nghiệm của (2) nhưng không là nghiệm của (1) nên hai PT không có cùng tập nghiệm.
6B. Tương tự 6A.
a) b) HS tự làm.
c) Hai phương trình đã cho không tương đương.
7A. PT (x - 1) (2x - 1) = 0 có tập nghiệm là \(S = {\rm{\{ }}\frac{1}{2};1\} \)

* Điều kiện cần: Để hai PT tương đương thì x = 1 và \(x = \frac{1}{2}\) cũng là nghiệm của
PT mx² – (m+1)x +1=0

Từ đó tìm được m=2

* Điều kiện đủ: Thử lại thấy m = 2 thì hai PT đã cho tương đương.
7B. Tương tự 7A. Tìm được $m\in \cancel{○}$

III. Bài tập về nhà

8. Tương tự 1A. \(x \ne 1\) không là nghiệm của phương trình.
9. Tương tự 2A. Tìm được m = 25
10. Tương tự 3A. Tìm được

a) \(x \in {\rm{\{ }}\frac{3}{2};2\} \)

b)x = - 3

c) \(x \in {\rm{\{ }} - 1;\frac{7}{3}{\rm{\} }}\)

d) \(x \in {\rm{\{ }} = 8; - \frac{1}{2};1\} \)

11. Tương tự 5A