Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Lữ Sĩ Pháp, tài liệu bao gồm 160 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Lữ Sĩ Pháp

Chương III : Nguyên hàm - tích phân - ứng dụng

§1. Nguyên hàm

A. Kiến thức cần nåm

I. Nguyên hàm và tính chất

1. Nguyên hàm

a) Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \({F^\prime }(x) = f(x)\) với mọi \(x \in K\).

b) Định lí

* Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

* Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K được kí hiệu: \(\int f (x){\rm{d}}x\).

Vậy: \(\int f (x){\rm{d}}x = F(x) + C\)

2. Tính chất của nguyên hàm

a) \(\int {{f^\prime }} (x){\rm{d}}x = f(x) + C\)

b) \(\int k f(x){\rm{d}}x = k\int f (x){\rm{d}}x\) (với k là một hằng số khác 0 )

c) \[\smallint [f(x) \pm g(x)]{\rm{d}}x = \smallint f(x){\rm{d}}x \pm \smallint g(x){\rm{d}}x\]

3. Sự tồn tai của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp

Bảng 2

Bảng 3

Với \(a \ne 0\)

1. \(\int {{{(ax + b)}^n}} \;{\rm{d}}x = \frac{1}{a} \cdot \frac{{{{(ax + b)}^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\)

2. \(\int {\frac{1}{{{{(ax + b)}^2}}}} \;{\rm{d}}x =  - \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{{ax + b}} + C\)

3. \(\int {\cos } (ax + b){\rm{d}}x = \frac{1}{a} \cdot \sin (ax + b) + C\)

4. \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}(ax + b)}}} {\rm{d}}x = \frac{1}{a} \cdot \tan (ax + b) + C\)

5. \(\int {\frac{1}{{ax + b}}} \;{\rm{d}}x = \frac{1}{a} \cdot \ln |ax + b| + C\)

6. \(\int {{e^{ax + b}}} \;{\rm{d}}x = \frac{1}{a} \cdot {e^{ax + b}} + C\)

7. \(\int {\sin } (ax + b){\rm{d}}x =  - \frac{1}{a} \cdot \cos (ax + b) + C\)

8. \[\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}(ax + b)}}} {\rm{d}}x =  - \frac{1}{a} \cdot \cos (ax + b) + C\]

II. Phương pháp tính nguyên hàm

1. Phương pháp biến đổi

* Nếu \(\int f (u){\rm{d}}u = F(u) + C\) và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì \(\int f (u(x)){u^\prime }(x){\rm{d}}x = F(u(x)) + C\).

Lưu ý: Đặt \(t = u(x) \Rightarrow {\rm{d}}t = {u^\prime }(x){\rm{d}}x\).

Khi đó: \(\int f (t){\rm{d}}t = F(t) + C\), sau đó thay ngược lại t = u(x) ta được kết quả cần tìm.

* Với \(u = ax + b(a \ne 0)\), ta có \(\int f (ax + b){\rm{d}}x = \frac{1}{a}F(ax + b) + C\)

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

* Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì \(\int u (x){v^\prime }(x){\rm{d}}x = u(x) \cdot v(x) - \int {{u^\prime }} (x)v(x){\rm{d}}x\quad \)

Hay \(\int u \;{\rm{d}}v = uv - \int v \;{\rm{d}}u\)

* Đặt \(u = f(x) \Rightarrow {\rm{d}}u = {f^\prime }(x){\rm{d}}x\)

 và \(dv = g(x){\rm{d}}x \Rightarrow v = \int g (x){\rm{d}}x = G(x)\) (chọn C = 0 )

Lưu ý : Với P(x) là đa thức

Lưu ý: Cách đặt u : "Nhất logarit (In) - Nhì đa - Tam lượng (giác) - Tứ mũ " và phần còn lại là dv. Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng

B. Bài tập

Dạng 1. Tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng các nguyên hàm

Phương pháp: Dùng thành thạo các bảng nguyên hàm

Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f(x) = 4{x^4}\)

b) \(f(x) = \sqrt x \)

c) \(f(x) = \cos \frac{x}{2}\)

d) \(f(x) = \frac{{\sqrt x }}{2} + \frac{2}{{\sqrt x }}\)

e) \(f(x) = \frac{{{x^2} + 2}}{x} - 1 + \frac{3}{{{x^2}}}\)

f) \(f(x) = \frac{{(2x - 1)(x + 1)}}{{\sqrt x }}\)

HD Giải

a) \(\int 4 {x^4}dx = \frac{4}{5}{x^5} + C\)

b) \(\int {\sqrt x } dx = \int {{x^{\frac{1}{2}}}} dx = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + C = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}}  + C\)

c) \(\int {\cos } \frac{x}{2}dx = \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{1}{2}}} + C = 2\sin \frac{x}{2} + C\)

d)

\(\begin{array}{l}\int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)} dx = \int {\frac{{\sqrt x }}{2}} dx + \int {\frac{2}{{\sqrt x }}} dx\\ = \frac{1}{2}\int {{x^{\frac{1}{2}}}} dx + 2\int {{x^{ - \frac{1}{2}}}} dx\\ = \frac{1}{3}{x^{\frac{1}{3}}} + 4{x^{\frac{1}{2}}} + C = \frac{1}{3}\sqrt {{x^3}}  + 4\sqrt x  + C\end{array}\)

e)

\(\begin{array}{l}\int {\left( {\frac{{{x^2} + 2}}{x} - 1 + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} dx = \int {\left( {x + \frac{2}{x} - 1 + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} dx\\ = \frac{{{x^2}}}{2} + 2\ln |x| - x - \frac{3}{x} + C\end{array}\)

f)

\(\begin{array}{l}\int {\left( {x\frac{{(2x - 1)(x + 1)}}{{\sqrt x }}} \right)} dx = \int {\left( {2x\sqrt x  + \sqrt x  - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)} dx\\ = \int {\left( {2{x^{\frac{3}{2}}} + {x^{\frac{1}{2}}} - {x^{ - \frac{1}{2}}}} \right)} dx\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = 2 \cdot \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - 2{x^{\frac{1}{2}}} + C\\ = \frac{4}{5}{x^2}\sqrt x  + \frac{2}{3}x\sqrt x  - 2\sqrt x  + C\end{array}\)

Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f(x) = 3\sin x + \frac{2}{x}\)

b) \(f(x) = 2{x^2} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}\)

c) \(f(x) = 3\cos x - {3^{x - 1}}\)

d) \(f(x) = (x - 1)\left( {{x^4} + 3x} \right)\)

e) \(f(x) = {\sin ^2}x\)

f) \(f(x) = {\cos ^2}x\)

Hướng dẫn giải

a)

\(\begin{array}{l}\int {\left( {3\sin x + \frac{2}{x}} \right)} dx = 3\int {\sin } xdx + 2\int {\frac{1}{x}} dx\\ =  - 3\cos x + 2\ln x + C\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l}\int {\left( {2{x^2} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)} dx = 2\int {{x^2}} dx + \int {{x^{ - \frac{2}{3}}}} dx\\ = \frac{2}{3}{x^3} + 3{x^{\frac{1}{3}}} + C = \frac{2}{3}{x^3} + 3\sqrt[3]{x} + C\end{array}\)

c)

\(\begin{array}{l}\int {\left( {3\cos x - {3^{x - 1}}} \right)}  = 3\int {\cos } xdx - \frac{1}{3}\int {{3^x}} dx\\ = 3\sin x - \frac{1}{3}\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C = 3\sin x - \frac{{{3^{x - 1}}}}{{\ln 3}} + C\end{array}\)

d)

\(\begin{array}{l}\int {(x - 1)} \left( {{x^4} + 3x} \right)dx = \int {\left( {{x^5} - {x^4} + 3{x^2} - 3x} \right)} dx\\ = \frac{{{x^6}}}{6} - \frac{{{x^5}}}{5} + {x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + C\end{array}\)

e)

\(\begin{array}{l}\int {{{\sin }^2}} xdx = \int {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} dx = \frac{1}{2}\int d x - \frac{1}{2}\int {\cos } 2xdx\\ = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C\end{array}\)

f)

\(\begin{array}{l}\int {{{\cos }^2}} xdx = \int {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} dx = \frac{1}{2}\int d x + \frac{1}{2}\int {\cos } 2xdx\\ = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C\end{array}\)

Bài 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f(x) = {e^x}\left( {7 - \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\)

b) \(f(x) = {e^x}\left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\sin }^2}x}}} \right)\)

c) \(f(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x \cdot {{\cos }^2}x}}\)

d) \(f(x) = \frac{{{{\cos }^3}x}}{{\cos x + 1}}\)

e) \(f(x) = \frac{{1 - \cos 2x}}{{{{\cos }^2}x}}\)

f) \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}\)

HD Giải

a)

\(\begin{array}{l}\int {{e^x}} \left( {7 - \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx = \int {\left( {7{e^x} - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)} dx\\ = 7{e^x} - \tan x + C\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l}\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx = \int {\left( {2{e^x} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx\\ = 2{e^x} - \cot x + C\end{array}\)

c)

\(\begin{array}{l}\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x \cdot {{\cos }^2}x}}} dx = \int {\frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x \cdot {{\cos }^2}x}}} dx\\ = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx + \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = \tan x - \cot x + C\end{array}\)

d)

\(\begin{array}{l}\int {\frac{{{{\cos }^3}x}}{{\cos x + 1}}} dx = \int {\left( {{{\cos }^2}x - \cos x + 1 - \frac{1}{{\cos x + 1}}} \right)} dx\\ = \int {\left( {{{\cos }^2}x - \cos x + 1 - \frac{1}{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}} \right)} dx\end{array}\)

\( = \frac{3}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x - \sin x - \tan \frac{x}{2} + C\)

e)

\(\begin{array}{l}\int {\frac{{1 - \cos 2x}}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \int {\frac{{2{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}} dx\\ = 2\int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)} dx = 2(\tan x - x) + C\end{array}\)

f) \(\int {\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}} dx = \sqrt {2x + 1}  + C\)

Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Phương pháp:

Nếu \(\int {(t)dt = F(t) + C} \)  và \(t = \varphi (x)\) có đạo hàm liên tục thì \[\smallint f(\varphi (x))\varphi '(x)dx = F(\varphi (x)) + C\]

 Lưu ý: \(t = \varphi (x) \Rightarrow dt = {\varphi ^\prime }(x)dx\) 

\(g(t) = \varphi (x) \Rightarrow {g^\prime }(t)dt = {\varphi ^\prime }(x)dx\)

 Sau khi tính \(\int f (t)dt\) theo t, ta phải thay lại \(t = \varphi (x)\)

Bài 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(\int {{e^{\sin x}}}  \cdot \cos xdx\)

b) \(\int {{e^{\cos x}}}  \cdot \sin xdx\)

c) \(\int {{e^{{{\sin }^2}x}}}  \cdot \sin 2xdx\)

d) \(\int {{e^{{{\cos }^2}x}}}  \cdot \sin 2xdx\)

e) \(\int {{{\sin }^2}} x\cos xdx\)

f) \(\int {{{\cos }^2}} x\sin xdx\)

HD Giải

a) Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\).

 Vậy \(\int {{e^{\sin x}}}  \cdot \cos xdx = \int {{e^t}} dt = {e^t} + C = {e^{\sin x}} + C\)

b) Đặt \(t = \cos x \Rightarrow dt =  - \sin xdx\).

 Vậy \(\int {{e^{\cos x}}}  \cdot \sin xdx =  - \int {{e^t}} dt =  - {e^t} + C =  - {e^{\cos x}} + C\)

c) Đặt \(t = {\sin ^2}x \Rightarrow dt = 2\sin x\cos xdx = \sin 2xdx\). Vậy \(\int {{e^{{{\sin }^2}x}}}  \cdot \sin 2xdx = \int {{e^t}} dt = {e^t} + C = {e^{{{\sin }^2}x}} + C\)

d) Đặt \(t = {\cos ^2}x \Rightarrow dt =  - 2\sin x\cos xdx =  - \sin 2xdx\).

Vậy \(\int {{e^{{{\cos }^2}x}}}  \cdot \sin 2xdx =  - \int {{e^t}} dt =  - {e^t} + C =  - {e^{{{\cos }^2}x}} + C\)

e) Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\).

Vậy \(\int {{{\sin }^2}} x\cos xdx = \int {{t^2}} dt = \frac{1}{3}{t^3} + C = \frac{1}{3}{\sin ^3}x + C\)

f) Đặt \(t = \cos x \Rightarrow dt =  - \sin xdx\).

Vậy \(\int {{{\cos }^2}} x\sin xdx =  - \int {{t^2}} dt =  - \frac{1}{3}{t^3} + C =  - \frac{1}{3}{\cos ^3}x + C\)

Bài 5. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(\int {\tan } xdx\)

b) \(\int {\cot } xdx\)

c) \(\int {\frac{{{e^{\tan x}}}}{{{{\cos }^2}x}}} dx\)

d) \(\int {\frac{{\sqrt {1 + \tan x} }}{{{{\cos }^2}x}}} dx\)

e) \(\int {\frac{{\sin (\ln x)}}{x}} dx\)

f) \(\int {\frac{{dx}}{{x\ln x\ln (\ln x)}}} \)

HD giải

a) \(\int {\tan } xdx = \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} dx\).Đặt \(t = \cos x \Rightarrow dt =  - \sin xdx\).

Vậy \(\int {\tan } xdx =  - \int {\frac{{dt}}{t}}  =  - \ln |t| + C =  - \ln |\cos x| + C\)

b) \(\int {\cot } xdx = \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}} dx\). Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\).

Vậy \(\int {\cot } xdx = \int {\frac{{dt}}{t}}  = \ln |t| + C = \ln |\sin x| + C\)

c) Đặt \(t = \tan x \Rightarrow dt = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\).

Vậy \(\int {\frac{{{e^{\tan x}}}}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \int {{e^t}} dt = {e^t} + C = {e^{\tan x}} + C\)

d) Đặt \(t = \sqrt {1 + \tan x}  \Rightarrow {t^2} = 1 + \tan x \Rightarrow 2tdt = \frac{1}{{{{\cos }^2}}}dx\).

Vậy

\(\begin{array}{l}\int {\frac{{\sqrt {1 + \tan x} }}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \int t .2tdt = \frac{2}{3}{t^3} + C\\ = \frac{2}{3}\sqrt {{{(1 + \tan x)}^3}}  + C = \frac{2}{3}(1 + \tan x)\sqrt {1 + \tan x}  + C\end{array}\)

e) Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\).

 Vậy

\(\begin{array}{l}\int {\frac{{\sin (\ln x)}}{x}} dx = \int {\sin } tdt\\ =  - \cos t + C =  - \cos (\ln x) + C\end{array}\)

f) Đặt \(t = \ln (\ln x) \Rightarrow dt = \frac{{{{(\ln x)}^\prime }}}{{\ln x}}dx = \frac{1}{{x\ln x}}dx\).

Vậy \(\int {\frac{{dx}}{{x\ln x\ln (\ln x)}}}  = \int {\frac{{dt}}{t}}  = \ln |t| + C = \ln |\ln (\ln x)| + C\)

Bài 6. Tìm  nguên hàm của các hàm số sau:

a) \(\int {{{(1 - x)}^9}} dx\)

b) \(\int x {\left( {1 + {x^2}} \right)^{\frac{3}{2}}}dx\)

c) \(\int {{{\cos }^3}} x\sin xdx\)

d) \(\int {\frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ - x}} + 2}}} \)

e) \(\int x {e^{ - {x^2}}}dx\)

f) \(\int {\frac{{\cos x + \sin x}}{{\sqrt {\sin x - \cos x} }}} dx\)

HD Giải

a) Đặt \(t = 1 - x\) thì \(dt =  - dx \Rightarrow dx =  - dt\).

Vậy \(\int {{{(1 - x)}^9}} dx =  - \int {{t^9}} dt =  - \frac{{{t^{10}}}}{{10}} + C\).

Vậy \(\int {{{(1 - x)}^9}} dx =  - \frac{{{{(1 - x)}^{10}}}}{{10}} + C\)

b) Đặt \(t = 1 + {x^2}\) thì \(dt = 2xdx \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{{2x}}\).

Vậy \(\int x {\left( {1 + {x^2}} \right)^{\frac{3}{2}}}dx = \frac{1}{2}\int {{t^{\frac{3}{2}}}} dt = \frac{1}{5}{t^{\frac{5}{2}}} + C\).

 Vậy \(\int x {\left( {1 + {x^2}} \right)^{\frac{3}{2}}}dx = \frac{1}{5}{\left( {1 + {x^2}} \right)^{\frac{5}{2}}} + C\)

c) Đặt \(t = \cos x \Rightarrow dt =  - \sin xdx\).

Khi đó \(\int {{{\cos }^3}} x\sin xdx =  - \frac{1}{4}{\cos ^4}x + C\)

d) Đặt \(t = {e^x} + 1 \Rightarrow dt = {e^x}dx\).

Khi đó \(\int {\frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ - x}} + 2}}}  = \frac{{ - 1}}{{1 + {e^x}}} + C\)

e) Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx\).

Khi đó \(\int x {e^{ - {x^2}}}dx =  - \frac{1}{2}{e^{ - {x^2}}} + C\)

f) Đặt \(t = \sin x - \cos x \Rightarrow dt = (\cos x + \sin x)dx\).

Khi đó \(\int {\frac{{\cos x + \sin x}}{{\sqrt {\sin x - \cos x} }}} dx = 2\sqrt {\sin x - \cos x}  + C\)