Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Lữ Sĩ Pháp

Tải xuống 160 724 3

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Lữ Sĩ Pháp, tài liệu bao gồm 160 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Lữ Sĩ Pháp

Chương III : Nguyên hàm - tích phân - ứng dụng

§1. Nguyên hàm

A. Kiến thức cần nåm

I. Nguyên hàm và tính chất

1. Nguyên hàm

a) Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F(x)=f(x) với mọi xK.

b) Định lí

* Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

* Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K được kí hiệu: f(x)dx.

Vậy: f(x)dx=F(x)+C

2. Tính chất của nguyên hàm

a) f(x)dx=f(x)+C

b) kf(x)dx=kf(x)dx (với k là một hằng số khác 0 )

c) [f(x)±g(x)]dx=f(x)dx±g(x)dx

3. Sự tồn tai của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp

Nguyên hàm của hàm sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số hợp (u = u(x))

1.0dx=C

2. dx=x+C

3. xαdx=xα+1α+1+C

4. 1xdx=ln|x|+C

5. exdx=ex+C

6.axdx=axlna+C(a1,a>0)

7. cosxdx=sinx+C

8. sinxdx=cosx+C

9. 1cos2xdx=tanx+C

10. 1sin2xdx=cotx+C

1.0du=C

2. ddu=u+C

3. uαdu=uα+1α+1+C(α1)

4. 1udu=ln|u|+C

5. eudu=eu+C

6. audu=aulna+C(a1,a>0)

7. cosudu=sinu+C

8. sinudu=cosu+C

9. 1cos2udu=tanu+C

10. 1sin2udu=cotu+C

Bảng 2

1. coskxdx=sinkxk+C

2. sinkxdx=coskxk+C

3. ekxdx=ekxk+C

4. dxax+b=1aln|ax+b|+C

 

Bảng 3

Với a0

1. (ax+b)ndx=1a(ax+b)n+1n+1+C

2. 1(ax+b)2dx=1a1ax+b+C

3. cos(ax+b)dx=1asin(ax+b)+C

4. 1cos2(ax+b)dx=1atan(ax+b)+C

5. 1ax+bdx=1aln|ax+b|+C

6. eax+bdx=1aeax+b+C

7. sin(ax+b)dx=1acos(ax+b)+C

8. 1sin2(ax+b)dx=1acos(ax+b)+C

II. Phương pháp tính nguyên hàm

1. Phương pháp biến đổi

* Nếu f(u)du=F(u)+C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì f(u(x))u(x)dx=F(u(x))+C.

Lưu ý: Đặt t=u(x)dt=u(x)dx.

Khi đó: f(t)dt=F(t)+C, sau đó thay ngược lại t = u(x) ta được kết quả cần tìm.

* Với u=ax+b(a0), ta có f(ax+b)dx=1aF(ax+b)+C

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

* Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì u(x)v(x)dx=u(x)v(x)u(x)v(x)dx

Hay udv=uvvdu

* Đặt u=f(x)du=f(x)dx

 và dv=g(x)dxv=g(x)dx=G(x) (chọn C = 0 )

Lưu ý : Với P(x) là đa thức

Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Lữ Sĩ Pháp (ảnh 1)

Lưu ý: Cách đặt u : "Nhất logarit (In) - Nhì đa - Tam lượng (giác) - Tứ mũ " và phần còn lại là dv. Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng

B. Bài tập

Dạng 1. Tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng các nguyên hàm

Phương pháp: Dùng thành thạo các bảng nguyên hàm

Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x)=4x4

b) f(x)=x

c) f(x)=cosx2

d) f(x)=x2+2x

e) f(x)=x2+2x1+3x2

f) f(x)=(2x1)(x+1)x

HD Giải

a) 4x4dx=45x5+C

b) xdx=x12dx=x12+112+1+C=x3232+C=23x3+C

c) cosx2dx=sinx212+C=2sinx2+C

d)

(x2+2x)dx=x2dx+2xdx=12x12dx+2x12dx=13x13+4x12+C=13x3+4x+C

e)

(x2+2x1+3x2)dx=(x+2x1+3x2)dx=x22+2ln|x|x3x+C

f)

(x(2x1)(x+1)x)dx=(2xx+x1x)dx=(2x32+x12x12)dx

=225x52+23x322x12+C=45x2x+23xx2x+C

Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x)=3sinx+2x

b) f(x)=2x2+13x2

c) f(x)=3cosx3x1

d) f(x)=(x1)(x4+3x)

e) f(x)=sin2x

f) f(x)=cos2x

Hướng dẫn giải

a)

(3sinx+2x)dx=3sinxdx+21xdx=3cosx+2lnx+C

b)

(2x2+13x2)dx=2x2dx+x23dx=23x3+3x13+C=23x3+33x+C

c)

(3cosx3x1)=3cosxdx133xdx=3sinx133xln3+C=3sinx3x1ln3+C

d)

(x1)(x4+3x)dx=(x5x4+3x23x)dx=x66x55+x332x2+C

e)

sin2xdx=1cos2x2dx=12dx12cos2xdx=12x14sin2x+C

f)

cos2xdx=1+cos2x2dx=12dx+12cos2xdx=12x+14sin2x+C

Bài 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x)=ex(7excos2x)

b) f(x)=ex(2+exsin2x)

c) f(x)=1sin2xcos2x

d) f(x)=cos3xcosx+1

e) f(x)=1cos2xcos2x

f) f(x)=12x+1

HD Giải

a)

ex(7excos2x)dx=(7ex1cos2x)dx=7extanx+C

b)

ex(2+exsin2x)dx=(2ex+1sin2x)dx=2excotx+C

c)

1sin2xcos2xdx=sin2x+cos2xsin2xcos2xdx=1cos2xdx+1sin2xdx=tanxcotx+C

d)

cos3xcosx+1dx=(cos2xcosx+11cosx+1)dx=(cos2xcosx+112cos2x2)dx

=32x+14sin2xsinxtanx2+C

e)

1cos2xcos2xdx=2sin2xcos2xdx=2(1cos2x1)dx=2(tanxx)+C

f) 12x+1dx=2x+1+C

Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Phương pháp:

Nếu (t)dt=F(t)+C  và t=φ(x) có đạo hàm liên tục thì f(φ(x))φ(x)dx=F(φ(x))+C

 Lưu ý: t=φ(x)dt=φ(x)dx 

g(t)=φ(x)g(t)dt=φ(x)dx

 Sau khi tính f(t)dt theo t, ta phải thay lại t=φ(x)

Bài 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) esinxcosxdx

b) ecosxsinxdx

c) esin2xsin2xdx

d) ecos2xsin2xdx

e) sin2xcosxdx

f) cos2xsinxdx

HD Giải

a) Đặt t=sinxdt=cosxdx.

 Vậy esinxcosxdx=etdt=et+C=esinx+C

b) Đặt t=cosxdt=sinxdx.

 Vậy ecosxsinxdx=etdt=et+C=ecosx+C

c) Đặt t=sin2xdt=2sinxcosxdx=sin2xdx. Vậy esin2xsin2xdx=etdt=et+C=esin2x+C

d) Đặt t=cos2xdt=2sinxcosxdx=sin2xdx.

Vậy ecos2xsin2xdx=etdt=et+C=ecos2x+C

e) Đặt t=sinxdt=cosxdx.

Vậy sin2xcosxdx=t2dt=13t3+C=13sin3x+C

f) Đặt t=cosxdt=sinxdx.

Vậy cos2xsinxdx=t2dt=13t3+C=13cos3x+C

Bài 5. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) tanxdx

b) cotxdx

c) etanxcos2xdx

d) 1+tanxcos2xdx

e) sin(lnx)xdx

f) dxxlnxln(lnx)

HD giải

a) tanxdx=sinxcosxdx.Đặt t=cosxdt=sinxdx.

Vậy tanxdx=dtt=ln|t|+C=ln|cosx|+C

b) cotxdx=cosxsinxdx. Đặt t=sinxdt=cosxdx.

Vậy cotxdx=dtt=ln|t|+C=ln|sinx|+C

c) Đặt t=tanxdt=1cos2xdx.

Vậy etanxcos2xdx=etdt=et+C=etanx+C

d) Đặt t=1+tanxt2=1+tanx2tdt=1cos2dx.

Vậy

1+tanxcos2xdx=t.2tdt=23t3+C=23(1+tanx)3+C=23(1+tanx)1+tanx+C

e) Đặt t=lnxdt=1xdx.

 Vậy

sin(lnx)xdx=sintdt=cost+C=cos(lnx)+C

f) Đặt t=ln(lnx)dt=(lnx)lnxdx=1xlnxdx.

Vậy dxxlnxln(lnx)=dtt=ln|t|+C=ln|ln(lnx)|+C

Bài 6. Tìm  nguên hàm của các hàm số sau:

a) (1x)9dx

b) x(1+x2)32dx

c) cos3xsinxdx

d) dxex+ex+2

e) xex2dx

f) cosx+sinxsinxcosxdx

HD Giải

a) Đặt t=1x thì dt=dxdx=dt.

Vậy (1x)9dx=t9dt=t1010+C.

Vậy (1x)9dx=(1x)1010+C

b) Đặt t=1+x2 thì dt=2xdxdx=dt2x.

Vậy x(1+x2)32dx=12t32dt=15t52+C.

 Vậy x(1+x2)32dx=15(1+x2)52+C

c) Đặt t=cosxdt=sinxdx.

Khi đó cos3xsinxdx=14cos4x+C

d) Đặt t=ex+1dt=exdx.

Khi đó dxex+ex+2=11+ex+C

e) Đặt t=x2dt=2xdx.

Khi đó xex2dx=12ex2+C

f) Đặt t=sinxcosxdt=(cosx+sinx)dx.

Khi đó cosx+sinxsinxcosxdx=2sinxcosx+C

Xem thêm
Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Lữ Sĩ Pháp (trang 1)
Trang 1
Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Lữ Sĩ Pháp (trang 2)
Trang 2
Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Lữ Sĩ Pháp (trang 3)
Trang 3
Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Lữ Sĩ Pháp (trang 4)
Trang 4
Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Lữ Sĩ Pháp (trang 5)
Trang 5
Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Lữ Sĩ Pháp (trang 6)
Trang 6
Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Lữ Sĩ Pháp (trang 7)
Trang 7
Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Lữ Sĩ Pháp (trang 8)
Trang 8
Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Lữ Sĩ Pháp (trang 9)
Trang 9
Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Lữ Sĩ Pháp (trang 10)
Trang 10
Tài liệu có 160 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống
Đánh giá

0

0 đánh giá

Tải xuống