Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng - bản dành cho học sinh, tài liệu bao gồm 149 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tài liệu bao gồm các nội dung sau:

Bài 1: Nguyên hàm

Bài 2: Tích phân

Bài 3: Ứng dụng tích phân

Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng - bản dành cho học sinh

Chương III. Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng

Bài 1: Nguyên hàm

A. Kiến thức cần nhớ

1. Nguyên hàm.

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu: \({F^\prime }(x) = f(x),\forall x \in K\).

- Khi đó F(x) + C được gọi là họ nguyên hàm của f(x)

- Kí hiệu: \(\int f (x)dx = F(x) + C \Leftrightarrow {F^\prime }(x) = f(x)\)

- Lưu ý: \(\int f (x)dx\) được gọi là nguyên hàm của f(x) theo biến x.

- Công thức biến đổi vi phân: \(d[u(x)] = {u^\prime }(x)dx\)

2. Tính chất của nguyên hàm.

- Tính chất 1: \({\left( {\int f (x)dx} \right)^\prime } = f(x)\) và \(\int {{f^\prime }} (x)dx = f(x) + C\)

- Tính chất \(2:\int k f(x)dx = k\int f (x)dx\) với k là hằng số khác 0 .

- Tính chất 3: \[\smallint [f(x) \pm g(x)]dx = \smallint f(x)dx \pm \smallint g(x)dx\].

3. Bảng nguyên hàm.

Hàm số sơ cấp	Hàm số mở rộng	Hàm số hợp
\(\int d x = x + C\)	\(\int a dx = ax + C(a \ne 0)\)	\(\int d u = u + C\)
\(\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}} + C(\alpha  \ne  - 1)\)	\(\int {{{(ax + b)}^n}} dx = \frac{1}{a}\frac{{{{(ax + b)}^{a + 1}}}}{{\alpha  + 1}} + C(\alpha  \ne  - 1)\)	\(\int {{u^{\prime \prime }}} dx = \frac{{{u^{n + 1}}}}{{\alpha  + 1}} + C(\alpha  \ne  - 1)\)
\(\int {\frac{1}{x}} dx = \ln |x| + C\)	\(\int {\frac{1}{{ax + b}}} dx = \frac{1}{a}\ln |ax + b| + C\)
\(\int {{e^x}} dx = {e^x} + C\)	\(\int {{e^{ax + b}}} dx = \frac{1}{a}{e^{ax + b}} + C\)	\(\int {\frac{1}{u}} du = \ln |u| + C\)
\(\int {{a^x}} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1)\)	\(\int {{a^{ax + 1}}} dx = \frac{1}{\alpha }\frac{{{a^{ax + \beta }}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1)\)	\(\int {{e^u}} du = {e^u} + C\)
\(\int {\cos } xdx = \sin x + C\)	\(\int {\cos } (ax + b)dx = \frac{1}{a}\sin (ax + b) + C\)	\(\int {{a^u}} du = \frac{{{a^u}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1)\)
\(\int {\sin } xdx =  - \cos x + C\)	\(\int {\sin } (ax + b)dx =  - \frac{1}{a}\cos (ax + b) + C\)	\(\int {\cos } udu = \sin u + C\)
\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \tan x + C\)	\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}(ax + b)}}} dx = \frac{1}{a}\tan (ax + b) + C\)	\(\int {\sin } udu =  - \cos u + C\)\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}u}}} du = \tan u + C\)
\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx =  - \cot x + C\)	\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}(ax + b)}}} dx =  - \frac{1}{a}\cot (ax + b) + C\)	\(\int {\frac{1}{{\sin 2}}} du =  - \cot u + C\)

 

B: Một số dạng toán

Dạng 1: Các bài toán sử dụng định nghĩa, tính chất nguyên hàm và bảng nguyên hàm sơ cấp

Bài toán 1: Tìm nguyên hàm của hàm số bằng bảng nguyên hàm

Phương pháp:

 Cần nẵm vững bảng nguyên hàm sơ cấp.

 Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm thành phần.

 Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên hàm)

> Tìm nguyên hàm của hàm đa thức, phân thức

Sử dụng các công thức sau để tính:

\(\begin{array}{l}\int d x = x + C\quad \\\int {{x^\alpha }} dx = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}} + C(\alpha  \ne  - 1)\quad \\\int {\frac{1}{x}} dx = \ln |x| + C\end{array}\)

Chú ý: Biểu diễn lũy thừa dạng chính tắc

\(\sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}\)

\(\sqrt[n]{{{x^m}}} = {x^{\frac{m}{n}}}\)

\(\frac{1}{{{x^n}}} = {x^{ - n}}\)

\(\frac{1}{{\sqrt[n]{x}}} = {x^{ - \frac{1}{n}}}\)

\(\frac{1}{{\sqrt[n]{{{x^m}}}}} = {x^{ - \frac{m}{n}}}\)

Ví dụ 1:

Tìm nguyên hàm các hàm số sau:

a. \(f(x) = 6{x^5} - 12{x^3} + {x^2} - 8\)

c. \(f(x) = 2\sqrt x  - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{3}{x} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}\)

b. \(f(x) = \left( {{x^2} - 3x} \right)(x + 1)\)

d. \(f(x) = \frac{{x - 1}}{{{x^2}}}\)

Đáp số

a. \(F(x) = {x^6} - 3{x^4} + \frac{{{x^3}}}{3} - 8x + C\)

b. \(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + C\)

c. \(F(x) = \frac{4}{3}\sqrt {{x^3}}  + \frac{1}{x} + 3\ln |x| + 3\sqrt[3]{x} + C\)

d. Vậy \(F(x) = \ln |x| + \frac{1}{x} + C\)

>Tìm nguyên hàm của hàm mũ

Sử dụng các công thức sau để tính:

\(\int {{e^x}} dx = {e^x} + C\)

\(\int {{a^x}} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1)\)

Ví dụ 2:

Tìm nguyên hàm các hàm số sau:

a. \(f(x) = {7^x}\)

c. \(f(x) = {e^x}\left( {2 - {e^{ - x}}} \right)\)

Lời giải

Đáp án

a. \(F(x) = \frac{{{7^x}}}{{\ln 7}} + C\)

b. \(F(x) = 2{e^x} - x + C\)

> Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác

Sử dụng các công thức sau để tính:

- \(\int {\cos } xdx = \sin x + C\)

- \(\int {\sin } xdx =  - \cos x + C\)

- \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \tan x + C\)

- \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx =  - \cot x + C\)

Chú ý:

 \(\begin{array}{l}{\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}\quad \\{\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1\quad \\{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\end{array}\)

 \(\begin{array}{l}{\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\quad \\{\cot ^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 1\quad \\\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\end{array}\)

Ví dụ 3:

Tìm nguyên hàm các hàm số sau:

a. \(f(x) = \sin x - 2\cos x\)

b. \(f(x) = {\tan ^2}x\)

c. \(f(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x \cdot {{\cos }^2}x}}\)

d. \(f(x) = \frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x \cdot {{\cos }^2}x}}\)

Đáp số

a. \(F(x) =  - \cos x - 2\sin x + C\).

b. \(F(x) = \tan x - x + C\).

c. \(F(x) = \tan x - \cot x + C\).

d. \(F(x) =  - \cot x - \tan x + C\).

Bài toán 2: Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của f(x)

Phương pháp:

Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K ta cần chứng minh: \({F^\prime }(x) = f(x),\forall x \in K\)

Ví dụ 4:

Chứng minh rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết:

a. \(F(x) = 5{x^3} + 4{x^2} - 7x + 120\) và \(f(x) = 15{x^2} + 8x - 7\)

b. \(F(x) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } \right)\) và \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\)

Ví dụ 5:

Chứng minh rẳng F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết: \(F(x) = (4x - 5){e^x}\) và \(f(x) = (4x - 1){e^x}\).

Ví dụ 6:

Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết:

\(F(x) = {\tan ^4}x + 3x - 5\) và \(f(x) = 4{\tan ^5}x + 4{\tan ^3}x + 3\)

Ví dụ 7:

Chứng minh rằng hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên \(\mathbb{R}\) biết

$F\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}{e}^x\\ x^2+x+1\end{array}\right.$$\begin{array}{c}\text{ khi }\\ \text{ khi }\end{array}$$\begin{array}{c}x\ge 0\\ x<0\end{array}$

và $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}{e}^x\\ 2x+1\end{array}\right.$$\begin{array}{c}\text{ khi }\\ \text{ khi }\end{array}$$\begin{array}{c}x\ge 0\\ x<0\end{array}$

Bài toán 3: Xác định nguyên hàm với điều kiện ràng buộc.

Phương pháp: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x), tức đi tính \(\int f (x)dx = F(x) + C\).

Rồi sau đó thế \(F\left( {{x_o}} \right) + C =  \cdots \) để tìm hằng số C.

Ví dụ 8:

Tìm nguyên hàm các hàm số sau:

a. \(f(x) = x\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt x }}\), biết \(F(1) =  - 2\)

b. \(f(x) = \frac{{{x^2} + 1}}{x}\), biết \(F(1) = \frac{3}{2}\)

Xem thêm