Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng dành cho học sinh trung bình - yếu, tài liệu bao gồm 94 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng dành cho học sinh trung bình - yếu

Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng

Bài 1. Nguyên hàm

Dạng (1): Nguyên hàm theo định nghĩa và tính chất cơ bản

Phương pháp:

(1) Định nghĩa:

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \({F^\prime }(x) = f(x)\) với mọi x thuộc K.

2. Tính chất:

- \(\smallint [f(x) \pm g(x)]dx = \smallint f(x) \pm \smallint g(x)dx\)

\[\begin{array}{l}{\rm{\; - \;}}\smallint kf(x)dx = k\smallint f(x)dx,k \in {\mathbb{R}^ * }\\ \Rightarrow \smallint [k \cdot f(x) + \lg g(x)]dx = k\smallint f(x)dx + l\smallint g(x)dx\end{array}\]

- \({\left( {\int f (x)dx} \right)^\prime } = f(x) + C\).

3. Bảng nguyên hàm:

 Phương pháp: Casio.

- Xét hiệu: Nhấn shift \({\left. {\frac{d}{{dx}}(F(x))} \right|_{x = {x_0}}} - f(x) = 0\)

A- Bài tập minh họa:

Câu 1: Tất cả nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{2x + 3}}\) là

(A) \(\frac{1}{2}\ln |2x + 3| + C\).

(B). \(\frac{1}{2}\ln (2x + 3) + C\).

(C). \(\ln |2x + 3| + C\).

(D). \(\frac{1}{{\ln 2}}\ln |2x + 3| + C\).

Lời giải

Chọn A

\(\int f (x){\rm{d}}x = \int {\frac{1}{{2x + 3}}} \) \( = \frac{1}{2}\ln |2x + 3| + C\)

PP nhanh trắc nghiệm

- Casio:

Calc: \(x = 2.5\)

\(\frac{{{d^M}}}{{dx}}{\left( {\frac{{\sqrt {} }}{2}\ln (|2x + 3|)} \right)_{\mid x = x}}\)

Lưu ý: Gặp ln thì có trị tuyệt đối, rất dễ chọn nhầm đáp án B

Câu 2: Nếu \(\int f (x){\rm{d}}x = 4{x^3} + {x^2} + C\) thì hàm số f(x) bằng

(A). \(f(x) = {x^4} + \frac{{{x^3}}}{3} + Cx\).

(B). \(f(x) = 12{x^2} + 2x + C\).

(C). \(f(x) = 12{x^2} + 2x\).

(D). \(f(x) = {x^4} + \frac{{{x^3}}}{3}\).

Lời giải

Chọn B

- Ta có:\(f(x) = {\left( {\int f (x){\rm{d}}x} \right)^\prime } = {\left( {4{x^3} + {x^2} + C} \right)^\prime } = 12{x^2} + 2x\)

PP nhanh trắc nghiệm

- Thử đạo hàm

- Casio

\({\left. {\frac{{{{\rm{d}}^M}}}{{\;{\rm{d}}x}}\left( {4{x^3} + {x^2}} \right)} \right|_{x = x}} - 12{x^2}\)

Chú ý dễ chọn nhầm câu B

Câu 3: Cho hàm số f(x) có \({f^\prime }(x) = \frac{1}{{2x - 1}}\) với mọi \(x \ne \frac{1}{2}\) và f(1) = 1. Khi đó giá trị của f(5) bằng

(A). ln 2.

(B) ln 3.

(C). ln 2 + 1.

(D). ln 3 + 1.

Lời giải

Chọn D

- Ta có: \(\int {{f^\prime }} (x){\rm{d}}x = f(x) + C\) nên

\(f(x) = \int {\frac{1}{{2x - 1}}} \;{\rm{d}}x = \frac{1}{2}\int {\frac{{{\rm{d}}(2x - 1)}}{{2x - 1}}}  = \frac{1}{2}\ln |2x - 1| + C\)

- Mặt khác theo đề ra ta có:

\(f(1) = 1\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\ln |2.1 - 1| + C = 1 \Leftrightarrow C = 1\) nên

\(f(x) = \frac{1}{2}\ln |2x - 1| + 1\)

Do vậy \(f(5) = \frac{1}{2}\ln |2.5 - 1| + 1 = \frac{1}{2}\ln 9 + 1 = \ln 3 + 1\)

PP nhanh trắc nghiệm

(1). Tư duy Casio

\(\begin{array}{l}\int_1^5 {{f^\prime }} (x)dx = f(5) - f(1)\\ \Rightarrow f(5) = f(1) + \int_1^5 {{f^\prime }} (x)dx = 1 + \int_1^5 {{f^\prime }} (x)dx\end{array}\)

(2). Tổng quát:

\(\begin{array}{l}\int_a^b {{f^\prime }} (x)dx = f(b) - f(a)\\ \Rightarrow  \bullet f(b) = f(a) + \int_a^b {{f^\prime }} (x)dx\\ \bullet f(a) = f(b) - \int_a^b {{f^\prime }} (x)dx\end{array}\)

B - Bài tập rèn luyện:

Câu 1: Khẳng định nào sau đây là sai?

(A). Nếu \(\int f (x)dx = F(x) + C\) thì \(\int f (u)du = F(u) + C\).

(B). \(\int k f(x)dx = k\int f (x)dx\) ( k là hằng số và \(\left. {k \ne 0} \right)\).

(C). Nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) thì F(x) = G(x).

(D). \(\int {\left[ {{f_1}(x) + {f_2}(x)} \right]} dx = \int {{f_1}} (x)dx + \int {{f_2}} (x)dx\).

Câu 2: Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {(x - 3)^4}\) ?

(A). \(F(x) = \frac{{{{(x - 3)}^5}}}{5} + x\).

(B). \(F(x) = \frac{{{{(x - 3)}^5}}}{5}\).

(C). \(F(x) = \frac{{{{(x - 3)}^5}}}{5} + 2020\).

(D). \(\quad F(x) = \frac{{{{(x - 3)}^5}}}{5} - 1\).

Câu 3: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

(A). \(\int 0 dx = C\) ( C là hằng số).

(B). \(\int {\frac{1}{x}} dx = \ln |x| + C\)(C là hằng số)

(C) \(\int {{x^\alpha }} dx = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}} + C\) (C là hằng số)

(D) \(\int {dx = x + C} \)\((\)C là hằng số).

Câu 4. Cho hai hàm số f(x), g(x) là hàm số liên tục. Xét các mệnh đề sau:

(I) \[k \cdot \smallint f(x)dx = \frac{1}{k}\smallint f(x)dx\] k là hằng số thực khác 0 bất kỳ.

(II). \[\smallint [f(x) - g(x)]dx = \smallint f(x)dx - \smallint g(x)dx\].

(III). \[\smallint [f(x) \cdot g(x)]dx = \smallint f(x)dx \cdot \smallint g(x)dx\].

(IV). \(\int {{f^\prime }} (x)dx = f(x) + C\).

Số mệnh đề đúng là

(A). 1 .

(B). 2 .

(C). 3 .

(D). 4 .

Câu 5: Cho hàm số f(x) xác định trên K và F(x); G(x) là nguyên hàm của f(x) trên K. Khẳng định nào dưới đây đúng?

(A). \(G(x) = F(x),\forall x \in K\).

(B). \(G(x) = {f^\prime }(x),\forall x \in K\).

(C). \(F(x) = G(x) + C,\forall x \in K\).

(D). \({F^\prime }(x) = {f^\prime }(x),\forall x \in K\).

Câu 6: Mệnh đề nào sau đây sai?

(A). Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b) và C là hằng số thì \(\int f (x){\rm{d}}x = F(x) + C\)

(B). Mọi hàm số liên tục trên (a,b) đều có nguyên hàm trên (a,b).

(C). F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên \((a;b) \Leftrightarrow {F^\prime }(x) = f(x),\forall x \in (a;b)\)

(D). \({\left( {\int f (x){\rm{d}}x} \right)^\prime } = f(x)\)

Câu 7: Hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\cos x}}\) có nguyên hàm trên:

(A). \((0;\pi )\)

(B). \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)

(C). \((\pi ;2\pi )\)

(D). \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\)

Câu 8: Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {(x - 3)^4}\) ?

(A). \(F(x) = \frac{{{{(x - 3)}^5}}}{5} + x\)

(B). \(F(x) = \frac{{{{(x - 3)}^5}}}{5}\)

(C). \(F(x) = \frac{{{{(x - 3)}^5}}}{5} + 2017\)

(D). \(F(x) = \frac{{{{(x - 3)}^5}}}{5} - 1\)

Câu 9: Hàm số \(F(x) = {e^{{x^3}}}\) là một nguyên hàm của hàm số

(A). \(f(x) = {e^{{x^3}}}\)

(B). \(f(x) = 3{x^2} \cdot {e^{{x^3}}}\)

(C). \(f(x) = \frac{{{e^{{x^3}}}}}{{3{x^2}}}\)

(D). \(f(x) = {x^3} \cdot {e^{{x^3} - 1}}\)

Câu 10: Nếu \(\int f (x){\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} + {e^x} + C\) thì f(x) bằng

A). \(f(x) = \frac{{{x^4}}}{3} + {e^x}\)

(B). \(f(x) = 3{x^2} + {e^x}\)

(C). \(f(x) = \frac{{{x^4}}}{{12}} + {e^x}\)

(D). \(f(x) = {x^2} + {e^x}\)

Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^3} + \frac{1}{x}\)

(A). \(\int f (x)dx = 3{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + C\).

(B) \(\int f (x)dx = \frac{{{x^4}}}{4} + \ln x + C\).

(C). \(\int f (x)dx = 3{x^2} - \frac{1}{{{x^2}}} + C\).

(D). \(\int f (x)dx = \frac{{{x^4}}}{4} + \ln |x| + C\).

Câu 12: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A). \(\int {\cos } 2x\;{\rm{d}}x = \frac{1}{2}\sin 2x + C\).

(B). \(\int {{x^e}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{x^{e + 1}}}}{{e + 1}} + C\)

(C). \(\int {\frac{1}{x}} \;{\rm{d}}x = \ln |x| + C\).

(D). \(\int {{x^e}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{x^{e + 1}}}}{{x + 1}} + C\)

Câu 13: Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 3{x^2} + \sin x\) là

(A). \({x^3} + \cos x + C\).

(B). \(6x + \cos x + C\).

(C). \({x^3} - \cos x + C\).

(D). \(6x - \cos x + C\).

Câu 14: Tất cả nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{2x + 3}}\) là

(A). \(\frac{1}{2}\ln |2x + 3| + C\).

(B). \(\frac{1}{2}\ln (2x + 3) + C\).

(C). \(\ln |2x + 3| + C\).

(D). \(\frac{1}{{\ln 2}}\ln |2x + 3| + C\).

Câu 15: Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa công thức nào sau đây sai?

(A). \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \tan x + C\).

(B). \(\int {{e^x}} dx = {e^x} + C\).

C). \(\int {\ln } xdx = \frac{1}{x} + C\).

(D). \(\int {\sin } xdx =  - \cos x + C\).

Câu 16: Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{2x}} + {x^2}\) là

(A). \(F(x) = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} + C\).

(B). \(F(x) = {e^{2x}} + {x^3} + C\).

(C). \(F(x) = 2{e^{2x}} + 2x + C\).

(D). \(F(x) = {e^{2x}} + \frac{{{x^3}}}{3} + C\).

Câu 17: Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^3} + 3x + 2\) là hàm số nào trong các hàm số sau ?

A). \(F(x) = 3{x^2} + 3x + C\).

(B). \(F(x) = \frac{{{x^4}}}{3} + 3{x^2} + 2x + C\).

C). \(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x + C\).

(D). \(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^2}}}{2} + 2x + C\).

Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {{\rm{e}}^x}\left( {3 + {{\rm{e}}^{ - x}}} \right)\) là

A). \(F(x) = 3{{\rm{e}}^x} - \frac{1}{{{{\rm{e}}^x}}} + C\).

(B). \(F(x) = 3{{\rm{e}}^x} - x + C\).

(C). \(F(x) = 3{{\rm{e}}^x} + {{\rm{e}}^x}\ln {{\rm{e}}^x} + C\).

(D). \(F(x) = 3{{\rm{e}}^x} + x + C\).

Câu 19: Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {{\rm{e}}^x} + \cos x\) là

A). \({{\rm{e}}^x} - \sin x + C\).

(B). \(\frac{1}{{x + 1}}{{\rm{e}}^{x + 1}} + \sin x + C\).

C). \(x{{\rm{e}}^{x - 1}} - \sin x + C\).

(D). \({{\rm{e}}^x} + \sin x + C\).