Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng ôn thi THPT 2021, tài liệu bao gồm 521 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng ôn thi THPT 2021

Chuyên đề 25: Nguyên hàm

Tài liệu dành cho đối tượng học sinh trung bình – mức 5-6 điểm

Dạng. Nguyên hàm cơ bản

Bảng nguyên hàm của 1 số hàm thường gặp ( với C là hằng số tùy ý)

(1) \(\int 0 \;{\rm{d}}x = C\).	\( \to \int k \;{\rm{d}}x = kx + C\)
(2) \(\int {{x^n}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).	\( \to \int {{{(ax + b)}^n}} \;{\rm{d}}x = \frac{1}{a}\frac{{{{(ax + b)}^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\)
(3) \(\int {\frac{1}{x}} \;{\rm{d}}x = \ln |x| + C\).	\( \to \int {\frac{1}{{ax + b}}} \;{\rm{d}}x = \frac{1}{a}\ln |ax + b| + C\)
(4) \(\int {\frac{1}{{{x^2}}}} \;{\rm{d}}x =  - \frac{1}{x} + C\).	\( \to \int {\frac{1}{{{{(ax + b)}^2}}}} \;{\rm{d}}x =  - \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{{ax + b}} + C.\)
(5) \(\int {\sin } x\;{\rm{d}}x =  - \cos x + C\).	\( \to \int {\sin } (ax + b){\rm{d}}x =  - \frac{1}{a}\cos (ax + b) + C.\)
(6) \(\int {\cos } x\;{\rm{d}}x = \sin x + C\). (7) \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \;{\rm{d}}x =  - \cot x + C\).	\( \to \int {\cos } (ax + b){\rm{d}}x = \frac{1}{a}\sin (ax + b) + C.\) \( \to \int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\sin }^2}(ax + b)}}}  =  - \frac{1}{a}\cot (ax + b) + C.\)
(8) \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \;{\rm{d}}x = \tan x + C\).	\( \to \int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\cos }^2}(ax + b)}}}  = \frac{1}{a}\tan (ax + b) + C.\)
(9) \(\int {{e^z}} \;{\rm{d}}x = {e^x} + C\).	\( \to \int {{e^{ax + b}}} \;{\rm{d}}x = \frac{1}{a}{e^{ax + b}} + C.\)
(10) \(\int {{a^x}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\).	\( \to \int {{a^{ax + \beta }}} {\rm{d}}x = \frac{1}{\alpha }\frac{{{a^{ax + \beta }}}}{{\ln a}} + C.\)

Nhận xét: Khi thay x bằng (ax + b) thì khi lấy nguyen hàm nhân kết quả thêm \(\frac{1}{a}\)

- Tích của đa thức hoặc lũy thìa \(\mathop  \to \limits^{PP} \) khai triển.

- Tích các hàm mũ \(\mathop  \to \limits^{PP} \) khai triển theo công thức mũ.

- Bậc chẵn của sin và cosin => Hạ bậc: \({\sin ^2}a = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2a,{\cos ^2}a = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2a\).

- Chứa tích các căn thức của \(x\mathop  \to \limits^{PP} \) chuyển về lũy thìa.

Câu 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu

A. \({F^\prime }(x) =  - f(x),\forall x \in K\).

B. \({f^\prime }(x) = F(x),\forall x \in K\).

C. \({F^\prime }(x) = f(x),\forall x \in K\).

D. \({f^\prime }(x) =  - F(x),\forall x \in K\).

Câu 2. (Mã 101 - 2020 Lần 1) \(\int {{x^2}} dx\) bằng

A. \(2x + C\).

B. \(\frac{1}{3}{x^3} + C\).

C. \({x^3} + C\).

D. \(3{x^3} + C\)

Câu 3. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^3}\) là

A. \(4{x^4} + C\).

B. \(3{x^2} + C\).

C. \({x^4} + C\).

D. \(\frac{1}{4}{x^4} + C\).

Câu 4. (Mã 103 - 2020 Lần 1) \(\int {{x^4}} \;{\rm{d}}x\) bằng

A. \(\frac{1}{5}{x^5} + C\)

B. \(4{x^3} + C\)

C. \({x^5} + C\)

D. \(5{x^5} + C\)

Câu 5. (Mã 104 - 2020 Lần 1) \(\int {{x^5}} dx\) bằng

A. \(5{x^4} + C\).

B. \(\frac{1}{6}{x^6} + C\).

C. \({x^6} + C\).

D. \(6{x^6} + C\).

Câu 6. (Mã 101- 2020 Lần 2) \(\int 5 {x^4}dx\) bằng

A. \(\frac{1}{5}{x^5} + C\).

B. \({x^5} + C\).

C. \(5{x^5} + C\).

D. \(20{x^3} + C\).

Câu 7. (Mã 102 - 2020 Lần 2) \(\int 6 {x^5}dx\) bằng

A. \(6{x^6} + C\).

B. \({x^6} + C\).

C. \(\frac{1}{6}{x^6} + C\).

D. \(30{x^4} + C\).

Câu 8. (Mã 103 - 2020 Lần 2) \(\int 3 {x^2}\;{\rm{d}}x\) bằng

A. \(3{x^3} + C\).

B. \(6x + C\).

C. \(\frac{1}{3}{x^3} + C\).

D. \({x^3} + C\).

Câu 9. (Mã 104 - 2020 Lần 2) \(\int 4 {x^3}\;{\rm{d}}x\) bằng

A. \(4{x^4} + C\)

B. \(\frac{1}{4}{x^4} + C\).

C. \(12{x^2} + C\).

D. \({x^4} + C\).

Câu 10. (Mã 103 2018) Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^4} + {x^2}\) là

A. \(\frac{1}{5}{x^5} + \frac{1}{3}{x^3} + C\)

B. \({x^4} + {x^2} + C\)

C. \({x^5} + {x^3} + C\).

D. \(4{x^3} + 2x + C\)

Câu 11. (Mã 104 - 2019) Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 4 là

A. \({x^2} + C\).

B. \(2{x^2} + C\).

C. \(2{x^2} + 4x + C\).

D. \({x^2} + 4x + C\).

Câu 12. (Mã 102 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 6 là

A. \({x^2} + C\).

B. \({x^2} + 6x + C\).

C. \(2{x^2} + C\).

D. \(2{x^2} + 6x + C\).

Câu 13. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx + 6x là

A. \(\sin x + 3{x^2} + C\).

B. \( - \sin x + 3{x^2} + C\).

C. \(\sin x + 6{x^2} + C\).

D. \( - \sin x + C\).

Câu 14. (Mã 105 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2sinx.

A. \(\int 2 \sin xdx =  - 2\cos x + C\)

B. \(\int 2 \sin xdx = 2\cos x + C\)

C. \(\int 2 \sin xdx = {\sin ^2}x + C\)

D. \(\int 2 \sin xdx = \sin 2x + C\)

Câu 15. (Mã 101 2018) Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^3} + x\) là

A. \(\frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{2}{x^2} + C\)

B. \(3{x^2} + 1 + C\)

C. \({x^3} + x + C\)

D. \({x^4} + {x^2} + C\)

Câu 16. (Mã 103 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2x + 3\) là

A. \({x^2} + 3x + C\).

B. \(2{x^2} + 3x + C\).

C. \({x^2} + C\).

D. \(2{x^2} + C\).

Câu 17. (Đề Minh Họa 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt {2x - 1} \).

A. \(\int f (x)dx = \frac{2}{3}(2x - 1)\sqrt {2x - 1}  + C\).

B. \(\int f (x)dx = \frac{1}{3}(2x - 1)\sqrt {2x - 1}  + C\)

C. \(\int f (x)dx =  - \frac{1}{3}\sqrt {2x - 1}  + C\).

D. \(\int f (x)dx = \frac{1}{2}\sqrt {2x - 1}  + C\).

Câu 18. (Đề Tham Khảo 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}\).

A. \(\int f (x){\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{x} + C\)

B. \(\int f (x){\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\).

C. \(\int f (x){\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{x} + C\).

D. \(\int f (x){\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{2}{x} + C\).

Câu 19. (Mã 110 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{5x - 2}}\).

A. \(\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{5x - 2}}}  = \frac{1}{5}\ln |5x - 2| + C\)

B. \(\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{5x - 2}}}  = \ln |5x - 2| + C\)

C. \(\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{5x - 2}}}  =  - \frac{1}{2}\ln |5x - 2| + C\)

D. \(\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{5x - 2}}}  = 5\ln |5x - 2| + C\)

Câu 20. (Mã 123 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 3x

A. \(\int {\cos } 3xdx = 3\sin 3x + C\)

B. \(\int {\cos } 3xdx = \frac{{\sin 3x}}{3} + C\)

C. \(\int {\cos } 3xdx = \sin 3x + C\)

D. \(\int {\cos } 3xdx =  - \frac{{\sin 3x}}{3} + C\)

Câu 21. (Mã 104 2018) Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^3} + {x^2}\) là

A. \(\frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{3}{x^3} + C\)

B. \(3{x^2} + 2x + C\)

C. \({x^3} + {x^2} + C\)

D. \({x^4} + {x^3} + C\)

Câu 22. (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x} + x\) là

A. \({e^x} + 1 + C\)

B. \({e^x} + {x^2} + C\)

C. \({e^x} + \frac{1}{2}{x^2} + C\)

D. \(\frac{1}{{x + 1}}{e^x} + \frac{1}{2}{x^2} + C\)

Câu 23. (Mã 101 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 5 là

A. \({x^2} + C\).

B. \({x^2} + 5x + C\).

C. \(2{x^2} + 5x + C\).

D. \(2{x^2} + C\).

Câu 24. (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {7^x}\).

A. \(\int {{7^x}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{7^x}}}{{\ln 7}} + C\)

B. \(\int {{7^x}} \;{\rm{d}}x = {7^{x + 1}} + C\)

C. \(\int {{7^x}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{7^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C\)

D. \(\int {{7^x}} \;{\rm{d}}x = {7^x}\ln 7 + C\)

Câu 25. (Mã 102 2018) Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^4} + x\) là

A. \(4{x^3} + 1 + C\)

B. \({x^5} + {x^2} + C\)

C. \(\frac{1}{5}{x^5} + \frac{1}{2}{x^2} + C\)

D. \({x^4} + x + C\)

Câu 26. (Đề Tham Khảo 2018) Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 3{x^2} + 1\) là

A. \({x^3} + C\)

B. \(\frac{{{x^3}}}{3} + x + C\)

C. \(6x + C\)

D. \({x^3} + x + C\)

Câu 27. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Tìm nguyên hàm \(\int x {\left( {{x^2} + 7} \right)^{15}}{\rm{dx}}\) ?

A. \(\frac{1}{2}{\left( {{x^2} + 7} \right)^{16}} + C\)

B. \( - \frac{1}{{32}}{\left( {{x^2} + 7} \right)^{16}} + C\)

C. \(\frac{1}{{16}}{\left( {{x^2} + 7} \right)^{16}} + C\)

D. \(\frac{1}{{32}}{\left( {{x^2} + 7} \right)^{16}} + C\)

Câu 28. (THPT Ba Đình -2019) Họ nguyên hàm của hàm số \(f({\rm{x}}) = {e^{3x}}\) là hàm số nào sau đây?

A. \(3{e^x} + C\).

B. \(\frac{1}{3}{e^{3x}} + C\).

C. \(\frac{1}{3}{e^x} + C\).

D. \(3{e^{3x}} + C\).

Câu 29. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Tính \(\int {(x - \sin 2x)} {\rm{d}}x\).

A. \(\frac{{{x^2}}}{2} + \sin x + C\).

B. \(\frac{{{x^2}}}{2} + \cos 2x + C\).

C. \({x^2} + \frac{{\cos 2x}}{2} + C\).

D. \(\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{\cos 2x}}{2} + C\).

Câu 30. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số \(y = {{\rm{e}}^{2x - 1}}\) là

A. \(2{{\rm{e}}^{2x - 1}} + C\).

B. \({{\rm{e}}^{2x - 1}} + C\).

C. \(\frac{1}{2}{{\rm{e}}^{2x - 1}} + C\).

D. \(\frac{1}{2}{{\rm{e}}^x} + C\).

Câu 31. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{2x + 3}}\)

A. \(\ln |2x + 3| + C\)

B. \(\frac{1}{2}\ln |2x + 3| + C\).

C. \(\frac{1}{{\ln 2}}\ln |2x + 3| + C\).

D. \(\frac{1}{2}\lg (2x + 3) + C\).

Câu 32. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(y = {x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}\).

A. \(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} - \frac{1}{{{x^2}}} + C,C \in \mathbb{R}\).

B. \(\frac{{{x^3}}}{3} - {3^x} + \frac{1}{{{x^2}}} + C,C \in \mathbb{R}\).

C. \(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \ln |x| + C,C \in \mathbb{R}\).

D. \(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} - \ln |x| + C,C \in \mathbb{R}\).

Câu 33. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin3x

A. \( - 3\cos 3x + C\).

B. \(3\cos 3x + C\).

C. \(\frac{1}{3}\cos 3x + C\).

D. \( - \frac{1}{3}\cos 3x + C\).

Câu 34. (Chuyên KHTN 2019) Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 3{x^2} + \sin x\) là

A. \({x^3} + \cos x + C\).

B. \(6x + \cos x + C\).

C. \({x^3} - \cos x + C\).

D. \(6x - \cos x + C\).

Câu 35. (Chuyên Bắc Ninh -2019) Công thức nào sau đây là sai?

A. \(\int {\ln } x\;{\rm{d}}x = \frac{1}{x} + C\).

B. \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \;{\rm{d}}x = \tan x + C\).

C. \(\int {\sin } x\;{\rm{d}}x =  - \cos x + C\).

D. \(\int {{{\rm{e}}^x}} \;{\rm{d}}x = {{\rm{e}}^x} + C\).

Câu 36. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Nếu \(\int f (x){\rm{d}}x = 4{x^3} + {x^2} + C\) thì hàm số f(x) bằng

A. \(f(x) = {x^4} + \frac{{{x^3}}}{3} + Cx\).

B. \(f(x) = 12{x^2} + 2x + C\).

C. \(f(x) = 12{x^2} + 2x\).

D. \(f(x) = {x^4} + \frac{{{x^3}}}{3}\).

Câu 37. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. \(\int {\cos } 2x\;{\rm{d}}x = \frac{1}{2}\sin 2x + C\).

B. \(\int {{x^{\rm{e}}}} {\rm{d}}x = \frac{{{x^{{\rm{e}} + 1}}}}{{{\rm{e}} + 1}} + C\).

C. \(\int {\frac{1}{x}} \;{\rm{d}}x = \ln |x| + C\).

D. \(\int {{{\rm{e}}^x}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{{\rm{e}}^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C\).

Câu 38. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Nguyên hàm của hàm số \(y = {2^x}\) là

A. \(\int {{2^x}} \;{\rm{d}}x = \ln 2 \cdot {2^x} + C\).

B. \(\int {{2^x}} \;{\rm{d}}x = {2^x} + C\).

C. \(\int {{2^x}} dx = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\).

D. \(\int {{2^x}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{2^x}}}{{x + 1}} + C\).

Câu 39. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x - sinx.

A. \(\int f (x){\rm{d}}x = 3{x^2} + \cos x + C\).

B. \(\int f (x){\rm{d}}x = \frac{{3{x^2}}}{2} - \cos x + C\).

C. \(\int f (x){\rm{d}}x = \frac{{3{x^2}}}{2} + \cos x + C\).

D. \(\int f (x){\rm{d}}x = 3 + \cos x + C\).

Câu 40. (Sở Bình Phước 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x+sinx là

A. \({x^2} + \cos x + C\)

B. \({x^2} - \cos {\rm{x}} + {\rm{C}}\)

C. \(\frac{{{x^2}}}{2} - \cos x + C\)

D. \(\frac{{{x^2}}}{2} + \cos x + C\)

Câu 41. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=cosx là:

A. cos x + C.

B. -cos x + C.

C. -sin x + C.

D. sin x + C.

Câu 42. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^4} + {x^2}\) là

A. \(4{x^3} + 2x + C\).

B. \({x^4} + {x^2} + C\).

C. \(\frac{1}{5}{x^5} + \frac{1}{3}{x^3} + C\).

D. \({x^5} + {x^3} + C\).

Câu 43. (THPT Cù Huy Cận 2019) Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x} - 2x\) là.

A. \({e^x} + {x^2} + C\).

B. \({e^x} - {x^2} + C\).

C. \(\frac{1}{{x + 1}}{e^x} - {x^2} + C\).

D. \({e^x} - 2 + C\).

Câu 44. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Họ các nguyên hàm của hàm số y = cosx + x là

A. \(\sin x + \frac{1}{2}{x^2} + C\).

B. \(\sin x + {x^2} + C\).

C. \( - \sin x + \frac{1}{2}{x^2} + C\).

D. \( - \sin x + {x^2} + C\).

Câu 45. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Họ nguyên hàm của hàm số \(y = {x^2} - 3x + \frac{1}{x}\) là

A. \(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} - \ln |x| + C\).

B. \(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln x + C\).

C. \(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln |x| + C\).

D. \(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{1}{{{x^2}}} + C\).

Câu 46. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x} + \sin x\) là

A. \(\ln x - \cos x + C\).

B. \( - \frac{1}{{{x^2}}} - \cos x + C\).

C. \(\ln |x| + \cos x + C\).

D. \(\ln |x| - \cos x + C\).

Câu 47. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Hàm số \(F(x) = \frac{1}{3}{x^3}\) là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên \(( - \infty ; + \infty )\) ?

A. \(f(x) = 3{x^2}\).

B. \(f(x) = {x^3}\).

C. \(f(x) = {x^2}\).

D. \(f(x) = \frac{1}{4}{x^4}\).

Câu 48. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\).

A. \(\int f (x){\rm{d}}x = {2^x} + C\).

B. \(\int f (x){\rm{d}}x = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\).

C. \(\int f (x){\rm{d}}x = {2^x}\ln 2 + C\).

D. \(\int f (x){\rm{d}}x = \frac{{{2^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C\).

Câu 49. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}}\).

A. \(\int f (x){\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{x} + C\).

B. \(\int f (x){\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{2}{x} + C\).

C. \(\int f (x){\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{x} + C\).

D. \(\int f (x){\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\).

Xem thêm