Chọn đáp án A

Chọn đáp án B

Thay lần lượt các cặp số (21; -15); (1; 1); (1; -1); (-21; 15) vào hệ phương trình ta được

Chọn đáp án A

Chọn đáp án C

Tập nghiệm phương trình -2x + y = -3 được biểu diễn bởi đường thẳng -2x + y = -3

Tập nghiệm phương trình 3x – 2y = 7 được biểu diễn bởi đường thẳng 3x – 2y = 7

Ta có  ⇒ phương trình có một nghiệm duy nhất

Chọn đáp án C

+ Tập nghiệm của phương trình y = 2x + 10 được biểu diễn bởi đường thẳng d1:y = 2x + 10.

+ Tập nghiệm của phương trình y = x + 100 được biểu diễn bởi đường thẳng d2: y = x + 100.

Lại có: hệ số góc của hai đường thẳng d1; d2 khác nhau (2 ≠ 1) nên hai đường thẳng này cắt nhau.

Suy ra, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Chọn đáp án A.

Ta có: 

Nên tập nghiệm của phương trình – 2x + 5y = 10 được biểu diễn bởi đường thẳng (d1):

Nên tập nghiệm của phương trình 16x – 40y = 20 được biểu diễn bởi đường thẳng (d2):

Hai đường thẳng d1; d2 có cùng hệ số góc và có tung độ góc khác nhau nên d1// d2.

Suy ra, hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn đáp án B.

Nghiệm phương trình y = 2x + 20 được biểu diễn bởi đường thẳng (d1): y =2x +20.

Nghiệm phương trình y = (2m - 4)x + 10 được biểu diễn bởi đường thẳng (d2): y = (2m – 4)x + 10.

Để hệ phương trình đã cho vô nghiệm khi 2 đường thẳng d1 // d2

Chọn đáp án A.

Nghiệm phương trình y = (-2 - m)x + 2 được biểu diễn bởi đường thẳng (d1): y =(-2 - m)x + 2

Nghiệm phương trình y = (m + 4)x + 19 được biểu diễn bởi đường thẳng (d2): y = (m +4)x +19

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hai đường thẳng cắt nhau nên:

-2 - m ≠ m + 4 ⇔ -2m ≠ 6 ⇔ m ≠ -3

Chọn đáp án D.

Để hệ phương trình  có nghiệm duy nhất thì  

Đáp án cần chọn là: D

Nhận thấy hệ này có nghiệm duy nhất vì hai đường thẳng  cắt nhau

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng:

 cắt nhau

Suy ra m ≠ {0; 2; 3}

Kết hợp cả TH1 và TH2 ta có m ≠ {0; 3}

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m ≠ {0; 3}

Đáp án cần chọn là: C

Thay lần lượt các cặp số (−21; 15); (21; −15); (1; 1) và (1; −1) vào hệ phương trình ta được:

+) Với cặp số (21; −15) thì ta có  (vô lý) nên loại B

+) Với cặp số (1; 1) thì ta có  (vô lý) nên loại C

+) Với cặp số (1; −1) thì ta có  (vô lý) nên loại D

+) Với cặp số (−21; 15) thì ta có  (luôn đúng) nên chọn A

Đáp án cần chọn là: A

+) Với cặp số (1; 2) thì ta có  (vô lý) nên loại A

+) Với cặp số (8; −3) thì ta có  (vô lý) nên loại B

+) Với cặp số (3; 8) thì ta có  (vô lý) nên loại D

+) Với cặp số (3; −8) thì ta có  (luôn đúng) nên chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Để hệ phương trình  nhận cặp (1; 2) làm nghiệm thì

Vậy m = −2

Đáp án cần chọn là: C

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho hai hệ phương trình  (I) và  (II) . Hỏi hai hệ này có tương đương nhau không?

Lời giải:

Xét hệ  (I) có (1; 0) là một cặp nghiệm của hệ (I)

Nhưng với cặp nghiệm (1; 0) lại không phải là nghiệm của hệ  (II)

Khi đó hai hệ này không tương đương với nhau (dù cả hai hệ đều có vô số nghiệm)

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm giá trị a để hai hệ phương trình sau tương đương  và  biết hệ (I) có cặp nghiệm là (x; y) = (2; 1)

Câu 2: Bằng phương pháp thế hãy giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{\begin{array}{l}x-y=3\\ 3x-4y=2\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=1\\ 5x-8y=3\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}2(x+y)+3(x-y)=4\\ (x+y)+2(x-y)=5\end{array}\right.$

d) $\left\{\begin{array}{l}\left(x+1\right)\left(y-1\right)=xy-1\\ \left(x-3\right)\left(y+3\right)=xy-3\end{array}\right.$

Câu 3: Bằng phương pháp cộng đại số giải các hệ phương trình sau.

a) $\left\{\begin{array}{l}\left(x+1\right)\left(y-1\right)=xy-1\\ \left(x-3\right)\left(y+3\right)=xy-3\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}5(x+2y)-3(x-y)=99\\ x-3y=7x-4y-17\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}(x+y)(x-1)=(x-y)(x+1)+2(xy+1)\\ (y-x)(y+1)=(y+x)(y-2)-2xy\end{array}\right.$

d) $\left\{\begin{array}{l}\frac{x+y}{2}=\frac{x-y}{4}\\ \frac{x}{3}=\frac{y}{5}+1\end{array}\right.$

Câu 4: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-1\\ \frac{3}{x}-\frac{2}{y}=7\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}\left|2x+1\right|+4y=18\\ 3\left|2x+1\right|+y=10\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{x+3}+\frac{1}{y+4}=\frac{1}{12}\\ \frac{8x}{x+3}+\frac{15}{y+4}=1\end{array}\right.$

d) $\left\{\begin{array}{l}\frac{7}{\sqrt{x}-7}-\frac{4}{\sqrt{y}+6}=\frac{5}{3}\\ \frac{5}{\sqrt{x}-7}+\frac{3}{\sqrt{y}+6}=\frac{13}{6}\end{array}\right.$

e) $\left\{\begin{array}{l}\frac{7}{x-y+2}-\frac{5}{x+y-1}=\frac{9}{2}\\ \frac{3}{x-y+2}+\frac{2}{x+y-1}=4\end{array}\right.$

f) $\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{\sqrt{x-6}}-\frac{1}{y}=1\\ \frac{20}{\sqrt{x-5}}+\frac{3}{y}=1\end{array}\right.$

g) $\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{2x-3y}+\frac{5}{3x+y}=-2\\ \frac{3}{3x+y}-\frac{5}{2x-3y}=21\end{array}\right.$

B. Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

$\left(\mathrm{I}\right)\left\{\begin{array}{l}\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}\\ \mathrm{a}\text{'}\mathrm{x}+\mathrm{b}\text{'}\mathrm{y}=\mathrm{c}\text{'}\end{array}\right.$

Ví dụ 1:

$\left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}+5\mathrm{y}=3\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}=4\end{array}\right.$; $\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}-3\mathrm{y}=3\\ 2\mathrm{x}+2\mathrm{y}=1\end{array}\right.$là các hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ Nếu hai phương trình có nghiệm chung là (x₀; y₀) thì (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (I).

 + Nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì hệ phương trình (I) vô nghiệm.

+ Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

$\left(\mathrm{I}\right)\left\{\begin{array}{l}\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}\\ \mathrm{a}\text{'}\mathrm{x}+\mathrm{b}\text{'}\mathrm{y}=\mathrm{c}\text{'}\end{array}\right.$

Gọi (d) và (d') là đồ thị hàm số của 2 hàm số rút ra từ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn của (I).

Đối với hệ phương trình (I), ta có:

Nếu (d) cắt (d') thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.

Nếu (d) song song với (d') thì hệ (I) vô nghiệm.

Nếu (d) trùng với (d') thì hệ (I) có vô số nghiệm.

Ví dụ 2: Xét hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}=0\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}=0\end{array}\right.$

Ta có: x – y = 0 $\Rightarrow \mathrm{y}=\mathrm{x}$(d)

x + y = 0 $\Rightarrow \mathrm{y}=-\mathrm{x}$ (d’)

Vẽ hai đường thẳng (d) và (d’) lên hệ trục tọa độ ta được:

Ta thấy (d) và (d’) cắt nhau tại O(0; 0) nên (0; 0)  là nghiệm của hệ phương trình.

Chú ý: Với trường hợp $\mathrm{a}\text{'}; \mathrm{b}\text{'}; \mathrm{c}\text{'}\ne 0$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\iff \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}\ne \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}$;

Hệ phương trình vô nghiệm $\iff \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}\ne \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}$;

Hệ phương trình vô số nghiệm $\iff \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}$.

3. Hệ phương trình tương đương

Định nghĩa: Hệ hai phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng một tập nghiệm.

Ta cũng dùng kí hiệu “$\iff$” để chỉ sự tương đương của hai phương trình.