Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Tuyển chọn 40 câu Số phức Vận dụng cao bám sát Đề thi minh họa môn Toán năm 2021, tài liệu bao gồm 15 trang, 40 câu trắc nghiệm và có đáp án chi tiết. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tuyển chọn 40 câu Số phức Vận dụng cao bám sát Đề thi minh họa môn Toán năm 2021 - có lời giải chi tiết

Số phức

Câu 1: (CHUYÊN KHTN LẦN 1- 2019) Cho các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 1\) và \(z_1^3 + z_2^3 + z_3^3 + {z_1}{z_2}{z_3} = 0\). Đặt \(z = {z_1} + {z_2} + {z_3}\), giá trị của \(|z{|^3} - 3|z|\) bằng

A. -2

B. 5

C. 4

D. 2

Lời giải

 Ta có:

\(z_1^3 + z_2^3 + z_3^3 - 3{z_1}{z_2}{z_3} = {\left( {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right)^3} - 3\left( {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right)\left( {{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}} \right)\) \( \Rightarrow  - 4{z_1}{z_2}{z_3} = {\left( {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right)^3} - 3\left( {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right)\left( {{z_1}{z_2}{z_3}\overline {{z_3}}  + {z_1}{z_2}{z_3}\overline {{z_1}}  + {z_1}{z_2}{z_3}\overline {{z_2}} } \right)\) \( \Rightarrow  - 4{z_1}{z_2}{z_3} = {z^3} - 3z \cdot {z_1}{z_2}{z_3}\left( {\frac{1}{{{z_1}}} + \frac{1}{{{z_2}}} + \frac{1}{{{z_3}}}} \right)\)

(Do \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 1 \Rightarrow \overline {{z_1} + {z_2} + {z_3}}  = \frac{1}{{{z_1}}} + \frac{1}{{{z_2}}} + \frac{1}{{{z_3}}}\) )

\(\begin{array}{l} \Rightarrow  - 4{z_1}{z_2}{z_3} = {z^3} - 3z \cdot {z_1}{z_2}{z_3}\bar z\\ \Rightarrow {z^3} = {z_1}{z_2}{z_3}\left( {4 - 3|z{|^2}} \right)\end{array}\).

Lấy module 2 vế ta có:

\[\begin{array}{l}|z{|^3} = {\left. {|4 - 3|z} \right|^2}\mid \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{|z{|^3} = 4 - 3|z{|^2}}\\{|z{|^3} =  - 4 + 3|z{|^2}}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{|z| =  - 2}\\{|z| = 1 \Rightarrow P =  - 2}\\{|z| =  - 1}\\{|z| = 2 \Rightarrow P =  - 4}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\]

 Chọn \({\bf{A}}\)

Câu 2: (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hoá 2019). Cho \({z_1},{z_2}\) là hai trong các số phức thỏa mãn \(|z - 3 + \sqrt 3 i| = 2\) và \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 4\). Giá trị lớn nhất của \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) bằng

A. 8

B. \(4\sqrt 3 \)

C. 4

D. \(2 + 2\sqrt 3 \)

Ta có tập hợp điểm biểu diễn số phức \({z_1},{z_2}\) là đường tròn tâm \(I(3; - \sqrt 3 )\), bán kính \(R = 2\) và \(AB = 4 = 2R\).

Khi đó biểu thức \(S = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = OA + OB\) đạt GTLN khi và chỉ khi tam giác $O A B$ cân.

Vậy \(\max S = 2OA = 2\sqrt {O{I^2} + I{A^2}}  = 2\sqrt {9 + 3 + 4}  = 8\). Chọn \({\bf{A}}\).

Câu 1. (Toán học và tuổi trẻ - lần 3 2019). Cho số phức z thỏa mãn: \(|4z + 3i| = |4z - 4 + 5i|\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = |z + i| + |z - 3i|\).

A. \(\min P = 2\sqrt 2 \).

B. \(\min P = 2\sqrt 5 \).

C. \(\min P = 5\sqrt 2 \).

D. \(\min P = \sqrt 5 \).

Lời giải

Ta có \(|4z + 3i| = |4z - 4 + 5i| \Leftrightarrow 2x - y - 2 = 0\).

Xét điểm \(A(0; - 1),B(0;3)\) thì \(P = |z + i| + |z - 3i| = MA + MB\).

Dễ thấy A, B cùng phía với đường thẳng \(2x - y - 2 = 0\) nên \(MA + MB\) nhỏ nhất bằng \(A{B^\prime }\) trong đó \({B^\prime }\) đối xứng với B qua đường thẳng \(2x - y - 2 = 0\)

Ta tìm được \({B^\prime }(4;1)\) dó đó \(\min P = A{B^\prime } = 2\sqrt 5 \). Chọn B.

Câu 2. (Đề thi thử VTED) Cho số phức z thoả mãn \(|z - 2 - 3i| + |z + 1| = 4\sqrt 2 \). Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(|z - 3 - 4i|\) bằng

A. \(5\sqrt 2 \).

B. \(6\sqrt 2 \).

C. \(4\sqrt 2 \).

D. \(7\sqrt 2 \).

Lời giải

 Xét các điểm \(M(z),A(2;3),B( - 1;0),C(3;4)\) ta có \(MA + MB = 4\sqrt 2 ,AB = 3\sqrt 2 ,P = MC\).

Có \(\overrightarrow {AB} ( - 3; - 3),\overrightarrow {AC} (1;1) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  =  - 3\overrightarrow {AC} \).

Do đó \(\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MA}  =  - 3(\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MA} ) \Leftrightarrow \overrightarrow {MC}  = \frac{4}{3}\overrightarrow {MA}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {MB} \).

Và \(M{C^2} = \frac{4}{3}M{A^2} - \frac{1}{3}M{B^2} + \frac{4}{9}A{B^2} = \frac{4}{3}M{A^2} - \frac{1}{3}M{B^2} + 8\).

Để cho đơn giản đặt \(a = MA,b = MB \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b = 4\sqrt 2 }\\{{{(a - b)}^2} \le A{B^2} = 18}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 4\sqrt 2  - a}\\{{{(4\sqrt 2  - 2a)}^2} \le 18}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 4\sqrt 2  - a}\\{a \in \left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{7\sqrt 2 }}{2}} \right]}\end{array}} \right.} \right.\).

Do đó \(P = f(a) = \sqrt {\frac{4}{3}{a^2} - \frac{1}{3}{{(4\sqrt 2  - a)}^2} + 8} \).

Khảo sát hàm số trên đoạn \(\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{7\sqrt 2 }}{2}} \right]\)

dễ có \({P_{{\rm{max }}}} = f\left( {\frac{{7\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{9\sqrt 2 }}{2};{P_{{\rm{min }}}} = f\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bằng \(5\sqrt 2 \).

Câu 3: (THPT Chuyên Bắc Giang - 2019). Cho số phức z có \(|z| = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {{z^2} - z} \right| + \left| {{z^2} + z + 1} \right|\).

A. \(\frac{{13}}{4}\)

B. 3

C. \(\sqrt 3 \)

D. \(\frac{{11}}{4}\)

Lời giải

 Ta có \(P = \left| {{z^2} - z} \right| + \left| {{z^2} + z + 1} \right| = |z - 1| + \left| {{z^2} + z + 1} \right|\).

Đặt \(z = a + bi\) và \(t = |z - 1|\).

Khi đó

\(\begin{array}{l}{t^2} = (z - 1)(\bar z - 1) = |z{|^2} + 1 - (z + \bar z) = 2 - 2a\\ \Rightarrow a = \frac{{2 - {t^2}}}{2}\end{array}\).

Ta có

\(\begin{array}{l}\left| {{z^2} + z + 1} \right| = \left| {{a^2} - {b^2} + 2abi + a + bi + 1} \right|\\ = \left| {{a^2} + \left( {1 - {b^2}} \right) + a + b(2a + 1)i} \right|\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \sqrt {{{\left( {2{a^2} + a} \right)}^2} + {b^2}{{(2a + 1)}^2}} \\ = \sqrt {{a^2}{{(2a + 1)}^2} + \left( {1 - {a^2}} \right){{(2a + 1)}^2}}  = |2a + 1| = \left| {3 - {t^2}} \right|\end{array}\).

\( \Rightarrow |z - 1| + \left| {{z^2} + z + 1} \right| = t + \left| {{t^2} - 3} \right| = f(t)\)

(với \(0 \le t = \sqrt {2 - 2a}  \le 2\), do \({a^2} \le 1\) ).

Xét \(f(t) = t + \left| {{t^2} - 3} \right|\) với \(t \in [0;2]\).

TH1: \(t \in [0;\sqrt 3 ] \Rightarrow f(t) = t + 3 - {t^2} =  - {t^2} + t + 3 \le f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{13}}{4}\)

 và có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(0) = 3}\\{f(\sqrt 3 ) = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\)

nên \(\left. {{{\max }_{[0;\sqrt 3 }}} \right]f(t) = \frac{{13}}{4}\).

TH2: \(\begin{array}{l}t \in [\sqrt 3 ;2] \Rightarrow f(t) = t + {t^2} - 3 = {t^2} + t - 3,\\{f^\prime }(t) = 2t + 1 > 0,\forall t \in [\sqrt 3 ;2]\end{array}\)

do đó hàm số luôn đồng biến trên \([\sqrt 3 ;2]\)

\( \Rightarrow {\max _{[\sqrt 3 ;2]}}f(t) = f(2) = 3\).

Vậy \({P_{\max }} = {\max _{[0;2]}}f(t) = \frac{{13}}{4}\). Chọn A.

Câu 4: (Chuyên Đh Vinh - Nghệ An) Giả sử \({z_1},{z_2}\) là hai trong các số phức z thỏa mãn \((z - 6)(8 + \bar zi)\) là số thực. Biết rẳng \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 4\), giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right|\) bằng:

A. \(20 - 4\sqrt {22} \)

B. \(5 - \sqrt {21} \)

C. \(20 - 4\sqrt {21} \)

D. \(5 - \sqrt {22} \)

Lời giải

 Đặt \(z = x + yi,(x,y \in \mathbb{R})\). Gọi A, B là các điểm biểu diễn của số phức \({z_1},{z_2}\), suy ra \(AB = \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 4\).

Ta có \((z - 6)(8 + \bar zi) = ((x - 6) + yi)((y + 8) + xi)\).

Do \((z - 6)(8 + \bar zi)\) là số thực,

 suy ra: \({\mathop{\rm Re}\nolimits} [(z - 6)(8 + \bar zi)] = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 6x + 8y = 0\).

 Vậy A, B thuộc đường tròn (C ) tâm I(3; -4), bán kính  R = 5. Xét điểm M thuộc đoạn AB thoả mãn \(\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {OB}  = 4\overrightarrow {OM} \). Gọi H là trung điểm AB, ta có \(HI = {R^2} - H{B^2} = 21 \Rightarrow IM = \sqrt {22} \), suy ra điểm M thuộc đường tròn tâm I, bán kính \(r = \sqrt {22} \). Ta có

\(\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right| = |\overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {OB} | = 4OM \ge 4|OI - r| = 4(5 - \sqrt {22} ) = 20 - 4\sqrt {22} .\)

Vậy \({\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right|_{\min }} = 20 - 4\sqrt {22} \). Chọn \({\bf{A}}\).

Câu 5: (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An lần 2). Cho số phức z thoả mãn \(|z + \bar z| + |z - \bar z| = 4\). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(P = |z - 2 - 2i|\). Đặt A = M + m. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. \(A \in (\sqrt {34} ;6)\).

B. \(A \in (6;\sqrt {42} )\).

C. \(A \in (2\sqrt 7 ;\sqrt {33} )\).

D. \(A \in (4;3\sqrt 3 )\).

Lời giải

 Gọi \(z = a + bi(a,b \in \mathbb{R})\).

Ta có:

Vậy tập hợp điển biểu diễn của số phức z là 4 cạnh hình vuông ABCD với \(A(2;0),B(0;2),C( - 2;0),D(0; - 2)\).

Khi đó \(P = |z - 2 - 2i| = MI\) với \(I(2;2)\)

Suy ra \(M{I_{\max }}\) khi M trùng với C hoặc D và \(M{I_{\max }} = 2\sqrt 5 \).

\(M{I_{{\rm{min }}}}\) khi M trùng với trung điểm cạnh \(AB \Rightarrow M{I_{{\rm{min }}}} = \sqrt 2 \).

Vậy \(A = M + m = 2\sqrt 5  + \sqrt 2  \in (\sqrt {34} ;6)\).

Chọn A.

Câu 6: (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An lần 2). Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng 4 số phức z thoả mãn đồng thời các điều kiện \(|z + \bar z| + |z - \bar z| = \left| {{z^2}} \right|\) và \(|z| = m\) ?

A. \(\{ 2;2\sqrt 2 \} \).

B. \([2;2\sqrt 2 ]\).

C. {2}.

D. \((2;2\sqrt 2 )\).

Lời giải

 Đặt \(z = x + yi\) ta có hệ điều kiện:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} = 2|x| + 2|y|}\\{{x^2} + {y^2} = {m^2}(m > 0)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{|x| + |y| = \frac{{{m^2}}}{2}(1)}\\{{x^2} + {y^2} = {m^2}(2)}\end{array}} \right.} \right.\).

Ta có (1) là tập hợp các cạnh của hình vuông A B C D có tâm là gốc tọa độ độ dài cạnh bằng \(\frac{{{m^2}}}{{\sqrt 2 }}\); (2) là đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O bán kính bằng R = m.

Để có đúng 4 số phức thỏa mãn thì (C ) phải là đường tròn ngoại tiếp hoặc đường tròn nội tiếp hình vuông \(ABCD \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{R = \frac{a}{2}}\\{R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \frac{{{m^2}}}{{2\sqrt 2 }}}\\{m = \frac{{{m^2}}}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 2}\\{m = 2\sqrt 2 }\end{array}(m > 0)} \right.} \right.\). Chọn A.

Câu 7: (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định) Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + 2 - i} \right| + \left| {{z_1} - 4 - 7i} \right| = 6\sqrt 2 \) và \(\left| {i{z_2} - 1 + 2i} \right| = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \left| {{z_1} + {z_2}} \right|\).

A. \(\sqrt 2  - 1\).

B. \(\sqrt 2  + 1\).

C. \(2\sqrt 2  + 1\).

D. \(2\sqrt 2  - 1\).

Lời giải:

Giả sử tập hợp điểm \(M\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) biểu diễn số phức \({z_1}\), điểm \(A( - 2;1),B(4;7)\), khi đó ta có:

\(\left| {{z_1} + 2 - i} \right| + \left| {{z_1} - 4 - 7i} \right| = 6\sqrt 2  \Leftrightarrow MA + MB = 6\sqrt 2 \)

Mặt khác \(AB = 6\sqrt 2  \Rightarrow M \in AB:y = x + 3\quad \forall x \in [ - 2;4]\)

Từ \(\left| {i{z_2} - 1 + 2i} \right| = 1\), ta chia cả 2 vế cho \(| - i| \Rightarrow \left| { - {z_2} - i - 2} \right| = 1\). Gọi \(N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là tập hợp điểm biểu diễn số phức \( - {z_2} \Rightarrow N\) thuộc đường tròn tâm I(2;1), bán kính R = 1

\(T = \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - \left( { - {z_2}} \right)} \right| = MN,T\) đạt giá trị nhỏ nhất

\( \Leftrightarrow M,N,I\) thẳng hàng và \(MI \bot AB\) hay:

\(MN = MI - NI = d(I,AB) - NI = 2\sqrt 2  - 1\). Chọn D.

Câu 8: (Đề thi thử Chuyên Đại học Vinh lần 2 - 2019) Cho các số phức z và w thỏa mãn \((2 + i)|z| = \frac{z}{w} + 1 - i\). Tìm giá trị lớn nhất của \(T = |w + 1 - i|\).

A. \(\frac{{4\sqrt 2 }}{3}\).

B. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\).

C. \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

D. \(\sqrt 2 \)

Lời giải

 Ta có:

\(\begin{array}{l}(2 + i)|z| = \frac{z}{w} + 1 - i\\ \Leftrightarrow \frac{z}{w} = (2|z| - 1) + (|z| + 1)i\\ \Rightarrow \left| {\frac{z}{w}} \right| = |(2|z| - 1) + (|z| + 1)i|\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{|z|}}{{|w|}} = \sqrt {5|z{|^2} - 2|z| + 2} \\ \Leftrightarrow |w| = \sqrt {\frac{2}{{\frac{2}{{|z{|^2}}} - \frac{2}{{|z|}} + 5}}}  = \sqrt 2 \end{array}\)

Suy ra \(T = |w + 1 - i| \le |w| + |1 - i| \le \frac{{\sqrt 2 }}{3} + \sqrt 2  = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}.\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{1}{{|z|}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow |z| = 2\). Thử lại với \(w = \frac{1}{3}(1 - i)\) thỏa mãn.

Vậy \(T = |w + 1 - i|\) có giá trị lớn nhất là \(\frac{{4\sqrt 2 }}{3}\).

Câu 9: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ-SỐ 04) Cho 3 số phức \({z_1};{z_2};{z_3}\) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1} + {z_2} + {z_3} = 0}\\{\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}{\rm{. }}}\end{array}} \right.\)

Tính \(A = {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_2} + {z_3}} \right|^3} + {\left| {{z_3} + {z_1}} \right|^2}\)

A. \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

B. \(2\sqrt 2 \)

C. \(\frac{8}{3}\)

D. \(\frac{3}{8}\)

Lời giải

 Ta có: \({z_1} + {z_2} + {z_3} = 0 \Rightarrow {z_2} + {z_3} =  - {z_1} \Rightarrow \left| {{z_2} + {z_3}} \right| = \left| {{z_1}} \right|\)

nên \(A = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_3}} \right|^2} = \frac{8}{3}\). Chọn \({\bf{C}}\)

Câu 10: (Chuyên Lê Quý Đôn - Lai Châu 2018). Kí hiệu S là tập hợp các số phức z đồng thời thoả mãn điều kiện \(|z - 1| = \sqrt {34} \) và \(|z + 1 + mi| = |z + m + 2i|\) trong đó m là tham số thực. Gọi \({z_1};{z_2}\) là hai số phức thuộc tập S sao cho \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) là lớn nhất. Tính giá trị của \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right|\).

A. \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \frac{1}{2}\).

B. \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt 2 \).

C. \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2\sqrt 2 \).

D. \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2\).

Lời giải

Đặt z = x +yi, ta có

\(\begin{array}{l}|z + 1 + mi| = |z + m + 2i|\\ \Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(y + m)^2} = {(x + m)^2} + {(y + 2)^2}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow (2 - 2m)x + (2m - 4)y - 3 = 0,\)

\((d).|z - 1| = \sqrt {34}  \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {y^2} = 34,(C)\).

Vậy các điểm biểu diễn của số phức \({z_1},{z_2}\) là giao điểm của đường thẳng (d) và đường tròn (C ). Khi đó \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) lớn nhất khi (d) là đường thẳng chứa đường kính của đường tròn (C).

Suy ra \(I(1;0) \in d \Rightarrow 2 - 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{1}{2}\)

và \({z_1} =  - 4 - 3i;{z_2} = 6 + 3i \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2\). Chọn D.