Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Các bài toán Vận dụng cao Số phức ôn thi THPTQG năm 2021, tài liệu bao gồm 29 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tài liệu bao gồm các nội dung sau:

Chủ đề 1: Các phép toán số phức

Chủ đề 2: Phương trình vớ hệ số thực

Chủ đề 3: Tập hợp điểm biểu diễn số phức

Chủ để 4: Max, min, modun của số phức

Các bài toán Vận dụng cao Số phức ôn thi THPTQG năm 2021

Chương 3: Số phức

Chủ đề 1: Các phép toán số phức

* VÍ DỤ 1: Gọi \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) là các nghiệm của phương trình \({\left( {\frac{{z - 1}}{{2z - i}}} \right)^4} = 1\). Tính giá trị biểu thức \(P = \left( {z_1^2 + 1} \right)\left( {z_2^2 + 1} \right)\left( {z_3^2 + 1} \right)\left( {z_4^2 + 1} \right)\).

Lời giải

Chọn B

Ta có phương trình \( \Leftrightarrow f(z) = {(2z - i)^4} - {(z - 1)^4} = 0\)

Suy ra:

\(\begin{array}{l}f(z) = 15\left( {z - {z_1}} \right)\left( {z - {z_2}} \right)\left( {z - {z_3}} \right)\left( {z - {z_4}} \right){\rm{. }}\\{\rm{V\`i  }}z_1^2 + 1 = \left( {{z_1} - i} \right)\left( {{z_1} + i} \right)\\ \Rightarrow P = \frac{{f(i) \cdot f( - i)}}{{225}}{\rm{ (1)}}{\rm{. }}\end{array}\)

Mà \(f(i) = {i^4} - {(i - 1)^4} = 5;f( - i) = {( - 3i)^4} - {(i + 1)^4} = 85\).

Vậy từ \((1) \Rightarrow P = \frac{{17}}{9}\).

* VÍ DỤ 2: Kí hiệu \({z_1},{z_2}\) (qui ước: \({z_1}\) là số phức có phần ảo lớn hơn) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{z.\bar z = 1}\\{\left| {{z^2} + 2\bar z - 1} \right| = \sqrt {\frac{8}{{27}}} }\end{array}} \right.\) Khi đó \(3{z_1} + 6{z_2}\) bằng:

A. \( - 6 - \sqrt 5 i\).

B. \(6 - \sqrt 5 i\).

C. \( - 6 + \sqrt 5 i\).

D. \(6 + \sqrt 5 i\).

Lời giải

Chọn B

Đặt \(z = x + yi(x,y \in \mathbb{R})\) suy ra \(\bar z = x - yi\). Khi đó ta được.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(x + yi)(x - yi) = 1}\\{|{{(x + yi)}^2} + 2(x - yi) - 1| = \sqrt {\frac{8}{{27}}} }\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y^2} = 1 - {x^2}}\\{4{x^3} - {x^2} - 2x + \frac{{52}}{{27}} = 0}\end{array}.} \right.\)

suy ra \({z_1} = \frac{2}{3} + \frac{{\sqrt 5 }}{3}i,{z_2} = \frac{2}{3} - \frac{{\sqrt 5 }}{3}i\).

Vậy \(3{z_1} + 6{z_2} = 6 - \sqrt 5 i\)

* VÍ DỤ 3: Cho số phức \(z = {\left( {\frac{{2 + 6i}}{{3 - i}}} \right)^m},m\) nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị \(m \in [1;50]\) để z là số thuần ảo?

A. 24 .

B. 26 .

C.25.

D. 50 .

Lời giải

Chọn C

Ta có: \(z = {\left( {\frac{{2 + 6i}}{{3 - i}}} \right)^m} = {(2i)^m} = {2^m} \cdot {i^m}\)

z là số thuần ảo khi và chỉ khi \(m = 2k + 1,k \in \mathbb{N}\) (do \(z \ne 0;\forall m \in {\mathbb{N}^*}\) ).

Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.

* VÍ DỤ 4:  Trong mặt phẳng Oxy, gọi (H) là phần mặt phẳng chứa các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn \(\frac{z}{{16}}\) và \(\frac{{16}}{{\bar z}}\) có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn [0 ; 1]. Tính diện tích S của (H).

A. \(S = 32(6 - \pi )\).

B. \(S = 16(4 - \pi )\).

C. 256 .

D. \(64\pi \).

Lời giải:

Chọn A

Giả sử \(z = x + yi(x,y \in \mathbb{R})\).

Ta có: \(\frac{z}{{16}} = \frac{x}{{16}} + \frac{y}{{16}}i;\frac{{16}}{{\bar z}} = \frac{{16}}{{x - yi}} = \frac{{16x}}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{16y}}{{{x^2} + {y^2}}}i\).

Vì \(\frac{z}{{16}}\) và \(\frac{{16}}{{\bar z}}\) có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn [0;1] nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le \frac{x}{{16}} \le 1}\\{0 \le \frac{y}{{16}} \le 1}\\{0 \le \frac{{16x}}{{{x^2} + {y^2}}} \le 1}\\{0 \le \frac{{16y}}{{{x^2} + {y^2}}} \le 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 16}\\{0 \le y \le 16}\\{0 \le 16x \le {x^2} + {y^2}}\\{0 \le 16y \le {x^2} + {y^2}}\end{array}} \right.} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 16}\\{0 \le y \le 16}\\{{{(x - 8)}^2} + {y^2} \ge 64}\\{{x^2} + {{(y - 8)}^2} \ge 64}\end{array}} \right.\)

Suy ra (H) là phần mặt phẳng giới hạn bởi hình vuông cạnh 16 và hai hình tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}(8;0)\), bán kính \({R_1} = 8\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}(0;8)\), bán kính \({R_2} = 8\).

Gọi \({S^\prime }\) là diện tích của đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\).

Diện tích phần giao nhau của hai đường tròn là: \({S_1} = 2\left( {\frac{1}{4}{S^\prime } - {S_{OEJ}}} \right) = 2\left( {\frac{1}{4} \cdot \pi  \cdot {8^2} - \frac{1}{2} \cdot 8.8} \right)\).

Vậy diện tích S của hình (H) là:

\(\begin{array}{l}S = {16^2} - \pi {.8^2} + 2.\left( {\frac{1}{4} \cdot \pi  \cdot {8^2} - \frac{1}{2} \cdot 8.8} \right)\\ = 256 - 64\pi  + 32\pi  - 64\\ = 192 - 32\pi  = 32(6 - \pi ).\end{array}\)

* VÍ DỤ 5: Biết \({2^n}\left( {C_n^0 + iC_n^1 - C_n^2 - iC_n^3 +  \cdots  + {i^k}C_n^k +  \cdots  + {i^n}C_n^n} \right) = 32768i\),với \(C_n^k\) là các số tổ hợp chập k của n và \({i^2} =  - 1\). Đặt \({T_{k + 1}} = {i^k}C_n^k\), giá trị của \({T_8}\) bằng

A. \( - 330i\).

B. \( - 8i\).

C. \( - 36i\).

D. \( - 120i\).

Chọn B

Lời giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{2^n}\left( {C_n^0 + iC_n^1 - C_n^2 - iC_n^3 +  \cdots  + {i^k}C_n^k +  \cdots  + {i^n}C_n^n} \right) = 32768i\\ \Leftrightarrow {2^n}\left( {C_n^0 + iC_n^1 + {i^2}C_n^2 + {i^3}C_n^3 +  \cdots  + {i^k}C_n^k +  \cdots  + {i^n}C_n^n} \right) = 32768i\\ \Leftrightarrow {2^n}{(1 + i)^n} = {2^{15}}i(*)\end{array}\)

Ta có \({(1 + i)^2} = 2i\) nên nếu \(n = 2k + 1,k \in \mathbb{N}\), thì \({(1 + i)^n} = {(1 + i)^{2k + 1}} = {2^k}{i^k}(1 + i)\) nên không thỏa mãn \((*)\).

Xét \(n = 2k,k \in \mathbb{N}\), thì \({(1 + i)^n} = {(1 + i)^{2k}} = {2^k}{i^k}\), nên:

\((*) \Leftrightarrow {2^{2k}} \cdot {2^k} \cdot {i^k} = {2^{15}}i \Leftrightarrow {2^{3k}}{i^k} = {2^{15}}i \Rightarrow k = 5 \Rightarrow n = 10.\)

Từ đó ta có \({T_8} = {i^7}C_8^7 =  - 8i\).

Bài tập rèn luyện

CÂU 1. Cho số phức \(z = a + bi\) ( với \(a,b \in \mathbb{R}\) ) thỏa \(|z|(2 + i) = z - 1 + i(2z + 3)\). Tính S = a + b.

A. S = - 1.

B. S =  1.

C. S = 7.

D. S = - 5.

CÂU 2. Tính tổng S của các phần thực của tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\bar z = \sqrt 3 {z^2}\).

A. \(S = \sqrt 3 \).

B. \(S = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).

C. \(S = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

D. \(S = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

CÂU 3. Cho các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn 2 điều kiện \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 2017\) và \({z_1} + {z_2} + {z_3} \ne 0\). Tính \(P = \left| {\frac{{{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}}}{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}} \right|\).

A. \(P = 2017\).

B. \(P = 1008,5\).

C. \(P = {2017^2}\).

D. \(P = 6051\).

CÂU 4: Số phức \(z = (1 + i) + {(1 + i)^2} +  \ldots  + {(1 + i)^{2018}}\) có phần ảo bằng

A. \({2^{1009}} - 1\)

B. \({2^{1009}} + 1\)

C. \(1 - {2^{1009}}\)

D. \( - \left( {{2^{1009}} + 1} \right)\)

Câu 5: Cho số phức \(z = (m + 1 - 2i)(2m + 3 + i)\) với m là tham số thực. Với giá trị nào của m thì z có phần thực bằng 5 .

A. \(m = 0;m =  - \frac{5}{2}\).

B. \(m = 1;m = \frac{5}{2}\).

C. \(m =  - 1;m = \frac{3}{2}\).

D. \(m = 2;m =  - \frac{5}{3}\).

Câu 6: Cho số phức \(z = \frac{{9m - 6 + \left( {{m^3} - 4{m^2} + 7m + 2} \right)i}}{{m + 2i}}\), vói m là tham số thực. Với giá trị nào của m thì z là số thực.

A. \(m =  - 1,m =  - 3\).

B. \(m = 4,m = 5\).

C. \(m = 1,m = 3\).

D. \(m = 2,m = 4\).

CÂU 7: Trong mặt phẳng xOy, gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn \(|z + 3 - \sqrt 3 i| = \sqrt 3 \). Tìm phần ảo của z trong trường hợp góc xOM nhỏ nhất.

A. \(\sqrt 3 \).

B. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).

C. 0 .

D. \(2\sqrt 3 \).

CÂU 8. Biết phương trình \(a{z^3} + b{z^2} + cz + d = 0\quad (a,b,c,d \in \mathbb{R})\) có \({z_1},{z_2},{z_3} = 1 + 2i\) là nghiệm. Biết \({z_2}\) có phần ảo âm, tìm phần ảo của \(w = {z_1} + 2{z_2} + 3{z_3}\).

A. 3 .

B. 2 .

C. \( - 2\).

D. \( - 1\).

\({\bf{C}}\widehat {\bf{A}}{\bf{U}}\) 9. Cho số phức \(z = {(1 + i)^n}\), biết \(n \in \mathbb{N}\) và thỏa mãn \({\log _4}(n - 3) + {\log _4}(n + 9) = 3\). Tìm phần thực của số phức z.

A. a = 7.

B. a = 0.

C. a = 8.

D. a = - 8.

Câu 10: Cho 2 số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa \(\left| {{z_1}} \right| = 1,\left| {{z_2}} \right| = 1,\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt 3 \). Khi đó \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) bằng:

A. 2 .

B. \(\sqrt 3 \).

C. \(2 - \sqrt 3 \).

D. 1 .

Câu 11: Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai trong các số phức thỏa mãn \(|z - 1 + 2i| = 5\) và \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 8\). Tìm môđun của số phức \(w = {z_1} + {z_2} - 2 + 4i\).

A. \(|w| = 6\).

B. \(|w| = 16\).

C. \(|w| = 10\).

D. \(|w| = 13\).

Câu 12: Cho số phức z. Gọi A, B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn các số phức z và \((1 + i)z\). Tính |z| biết diện tích tam giác OAB bằng 8 .

A. \(|z| = 2\sqrt 2 \).

B. \(|z| = 4\sqrt 2 \).

C. \(|z| = 2\).

D. \(|z| = 4\).

CÂU 13: Cho số phức \(z = a + bi(a,b \in \mathbb{R})\) thoả mãn \((3 - i)|z| = \frac{{1 + i\sqrt 7 }}{z} + 5 - i\). Tính P = a + b.

A. P = 2.

B. P = -1.

C. P = 1.

D. P = -2.

CÂU 14. Cho số phức z thỏa mãn \(z[(1 + 3i)|z| - 3 + i] = 4\sqrt {10} ,|z| > 1\). Tính |z|.

A. \(|z| = \sqrt {\frac{{ - 1 + \sqrt {65} }}{4}} \).

B. \(|z| = \sqrt {\frac{{1 + \sqrt {65} }}{2}} \).

C. \(|z| = \sqrt {\frac{{ - 1 + \sqrt {65} }}{2}} \).

D. \(|z| = \sqrt {\frac{{1 + \sqrt {65} }}{4}} \).

CÂU 15: Cho các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {{z_1}} \right| = 4,\quad \left| {{z_2}} \right| = 3,\left| {{z_3}} \right| = 2\) và \(\left| {4{z_1}{z_2} + 16{z_2}{z_3} + 9{z_1}{z_3}} \right| = 48\). Giá trị của biểu thức \(P = \left| {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right|\) bằng:

A. 1

B. 8 .

C. 2

D. 6

CÂU 16: Giả sử \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \(|(2 + {\rm{i}})|z|z - (1 - 2{\rm{i}})z| = |1 + 3{\rm{i}}|\) và \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1\). Tính \(M = \left| {2{z_1} + 3{z_2}} \right|\).

A. M = 19.

B. M = 25.

C. M = 5.

D. \(M = \sqrt {19} \).

CÂU 17: Cho số phức z thỏa mãn \(|z + \bar z| + |z - \bar z| = \left| {{z^2}} \right|\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = |z - 5 - 2i|\) bằng:

A. \(\sqrt 2  + 5\sqrt 3 \).

B. \(\sqrt 2  + 3\sqrt 5 \).

C. \(\sqrt 5  + 2\sqrt 3 \).

D. \(\sqrt 5  + 3\sqrt 2 \).

CÂU 18: Cho số phức z thỏa điều kiện \(\frac{{1 + 5i}}{{1 + i}}z + \bar z = 10 - 4i\). Tính mô đun của số phức \(w = 1 + iz + {z^2}\).

A. \(|w| = 5\).

B. \(|w| = \sqrt {47} \).

C. \(|w| = 6\).

D. \(|w| = \sqrt {41} \).

Chủ đề  2: Phương trình vớ hệ số thực

Ví dụ 1: Cho a là số thực, phương trình \({z^2} + (a - 2)z + 2a - 3 = 0\) có 2 nghiệm \({z_1},{z_2}\). Gọi M, N là điểm biểu diễn của \({z_1},{z_2}\) trên mặt phẳng tọa độ. Biết tam giác OMN có một góc bằng \({120^^\circ }\), tính tổng các giá trị của a.

A. -6.

B. 6 .

C. -4.

D. 4 .

Lời giải

Chọn B

Vì O, M, N không thẳng hàng nên \({z_1},{z_2}\) không đồng thời là số thực, cũng không đồng thời là số thuần ảo \( \Rightarrow {z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức, không phải số thực của phương trình \({z^2} + (a - 2)z + 2a - 3 = 0\).

Do đó, ta phải có: \(\Delta  = {a^2} - 12a + 16 < 0 \Leftrightarrow a \in (6 - 2\sqrt 5 ;6 + 2\sqrt 5 )\).

Khi đó, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1} = \frac{{2 - a}}{2} - \frac{{\sqrt { - {a^2} + 12a - 16} }}{2}i}\\{{z_1} = \frac{{2 - a}}{2} + \frac{{\sqrt { - {a^2} + 12a - 16} }}{2}i}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow OM = ON = \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {2a - 3} \)

và \(MN = \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt { - {a^2} + 12a - 16} .\)

Tam giác OMN cân nên

$\begin{array}{l}MON={120}^{°}\Rightarrow \frac{O{M}^2+O{N}^2-M{N}^2}{2OM.ON}=\cos {120}^{°}\\ \iff \frac{a^2-8a+10}{2(2a-3)}=-\frac{1}{2}\end{array}$

\( \Leftrightarrow {a^2} - 6a + 7 = 0\quad a = 3 \pm \sqrt 2 \) (thỏa mãn).

Suy ra tổng các giá trị cần tìm của a là 6 .

* VÍ DỤ 2: Gọi \({z_1},{z_2}\) là các ngiệm phức của phương trình \(a{z^2} + bz + c = 0\), \(\left( {a,b,c \in \mathbb{R},a \ne 0,{b^2} - 4ac < 0} \right)\). Đặt \(P = {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(P = \frac{c}{{2a}}\).

B. \(P = \frac{c}{a}\).

C. \(P = \frac{{2c}}{a}\).

D. \(P = \frac{{4c}}{a}\).

Lời giải

Chọn D

Ta có \({z_1},{z_2}\) là các ngiệm phức của phương trình \(a{z^2} + bz + c = 0\) nên \({z_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {4ac - {b^2}} }}{{2a}}\)

Do đó \({z_1} + {z_2} =  - \frac{b}{a}\) và \({z_1} - {z_2} = \frac{{i\sqrt {4ac - {b^2}} }}{a}\)

Suy ra \(P = {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = {\left( {\frac{{ - b}}{a}} \right)^2} + \frac{{4ac - {b^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{4c}}{a}\).

* VÍ DỤ 3 : Cho các số phức \({z_1} \ne 0,{z_2} \ne 0\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{2}{{{z_1}}} + \frac{1}{{{z_2}}} = \frac{1}{{{z_1} + {z_2}}}\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| + \left| {\frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}} \right|\).

A. \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

B. \(P = 2\).

C. \(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

D. \(\sqrt 2 \).