Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Lý thuyết và bài tập về quy tắc đạo hàm trong bài toán tích phân, tài liệu bao gồm 9 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Lý thuyết và bài tập về quy tắc đạo hàm trong bài toán tích phân - có đáp án chi tiết

Quy tắc đạo hàm trong bài toán tích phân

I) Vận dụng quy tǻc \({(uv)^\prime } = {u^\prime }v + u{v^\prime }\)

1. Quy tắc

- Nếu \(u = u(x)\) và \(v = v(x)\) thì \({(uv)^\prime } = {u^\prime }v + u{v^\prime }\).

- Nếu \({[f(x) \cdot g(x)]^\prime } = h(x)\) thì \(f(x) \cdot g(x) = \int h (x)dx\).

2. Bài tập áp dụng

Bài tập 1. (HSG cấp tỉnh-Phú Thọ 2018-2019): Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(0) = 4 và \(f(x) + {f^\prime }(x) = {x^3},\forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị của f(1) bằng

A. \( - 4 + \frac{{10}}{e}\)

B. -10.

C. -2.

D. \( - 2 + \frac{{10}}{e}\).

Lời giải

Chọn D

+) Từ giả thiết, ta có

\(\begin{array}{l}{e^x}f(x) + {e^x}{f^\prime }(x) = {x^3}{e^x}\\ \Rightarrow {\left[ {{e^x}f(x)} \right]^\prime } = {x^3}{e^x} \Rightarrow {e^x}f(x) = \int {{x^3}} {e^x}dx\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {e^x}f(x) = {x^3}{e^x} - 3\int {{x^2}} {e^x}dx\\ = {x^3}{e^x} - 3{x^2}{e^x} + 6\int x {e^x}dx\\ = {x^3}{e^x} - 3{x^2}{e^x} + 6(x - 1){e^x} + C\end{array}\)

+) Lại có

\(\begin{array}{l}f(0) = 4 \Rightarrow C = 10\\ \Rightarrow f(x) = {x^3} - 3{x^2} + 6x - 6 + \frac{{10}}{{{e^x}}}\\ \Rightarrow f(1) =  - 2 + \frac{{10}}{e}\end{array}\).

Bài tập 2. (Trường Lệ Thủy-Quảng Bình-Lần 2 năm 2018-2019): Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng \((0; + \infty )\) thỏa mãn điều kiện f(1)=3 và \(x\left( {4 - {f^\prime }(x)} \right) = f(x) - 1,\forall x > 0\). Giá trị của f(2) bằng

A. 6 .

B. 5 .

C. 3 .

D. 2 .

Lời giải

Chọn B

+)Từ giả thiết, ta có

\(\begin{array}{l}x\left( {4 - {f^\prime }(x)} \right) = f(x) - 1\\ \Rightarrow x{f^\prime }(x) + f(x) = 4x + 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {[xf(x)]^\prime } = 4x + 1 \Rightarrow xf(x) = \int {(4x + 1)} dx\\ \Rightarrow xf(x) = 2{x^2} + x + C.\end{array}\)

+) Lại có \(f(1) = 3 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f(x) = 2x + 1 \Rightarrow f(2) = 5\).

Bài tập 3. (Toán học tuổi trẻ tháng 6 - 2019 : Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng \(( - 1; + \infty )\) và thỏa mãn đẳng thức \(2f(x) + \left( {{x^2} - 1} \right){f^\prime }(x) = \frac{{{x^3} + 2{x^2} + x}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\) với mọi \(x \in ( - 1; + \infty )\). Giá trị của f(0) bằng

A. \(f(0) = 2 - \sqrt 3 \).

B. \(f(0) = e - \sqrt 3 \).

C. \(f(0) = \sqrt 3 \).

D. Chưa đủ điều kiện để tính f(0).

Lời giải

Chọn A.

+) Từ giả thiết, ta có

\(\begin{array}{l}2f(x) + \left( {{x^2} - 1} \right){f^\prime }(x) = \frac{{{x^3} + 2{x^2} + x}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\\ \Rightarrow 2f(x) + (x - 1)(x + 1){f^\prime }(x) = \frac{{x{{(x + 1)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{2f(x)}}{{{{(x + 1)}^2}}} + \frac{{x - 1}}{{x + 1}}{f^\prime }(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\\ \Rightarrow {\left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right)^\prime }f(x) + \frac{{x - 1}}{{x + 1}}{f^\prime }(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\end{array}\)

\[\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}} \cdot f(x)} \right)^\prime } = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\\ \Rightarrow \frac{{x - 1}}{{x + 1}} \cdot f(x) = \int {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}} dx\\ \Rightarrow \frac{{x - 1}}{{x + 1}} \cdot f(x) = \sqrt {{x^2} + 3}  + C\quad (*)\end{array}\]

Lại có

\((*)\) thỏa mãn với mọi \(x \in ( - 1; + \infty )\) nên thay x = 1 vào \((*)\) ta có C = -2.

Suy ra \(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} \cdot f(x) = \sqrt {{x^2} + 3}  - 2\). Do đó \(f(0) = 2 - \sqrt 3 \).

II ) Vận dụng quy tắc \({\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{{u^\prime }v - u{v^\prime }}}{{{v^2}}}\)

1. Quy tắc

- Nếu \(u = u(x)\) thì \({\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{{u^\prime }v - u{v^\prime }}}{{{v^2}}}\) với \(v \ne 0\).

- Nếu \({\left( {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right)^\prime } = h(x)\) thì \(\frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \int h (x)dx\).

2. Bài tập áp dụng

Bài tập 1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1 ; 2] thỏa mãn \(f(1) = 2\) và \(f(x) - (x + 1){f^\prime }(x) = 2x{f^2}(x),\forall x \in [1;2]\). Giá trị của \(\int_1^2 f (x)dx\) bằng

A. \(1 + \ln 2\).

B. \(1 - \ln 2\).

C. \(\frac{1}{2} - \ln 2\).

D. \(\frac{1}{2} + \ln 2\).

Lời giải

Chọn D

+) Từ giả thiết, ta có

\(\begin{array}{l}f(x) - (x + 1){f^\prime }(x) = 2x{f^2}(x)\\ \Rightarrow \frac{{f(x) - (x + 1){f^\prime }(x)}}{{{f^2}(x)}} = 2x\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left[ {\frac{{x + 1}}{{f(x)}}} \right]^\prime } = 2x \Rightarrow \frac{{x + 1}}{{f(x)}} = \int 2 xdx \Rightarrow \frac{{x + 1}}{{f(x)}} = {x^2} + C.\\{\rm{  + ) Lai c\'o  }}f(1) = 2 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}\\ \Rightarrow \int_1^2 f (x)dx = \int_1^2 {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx\\ = \left. {\ln x} \right|_1^2 - \left. {\frac{1}{x}} \right|_1^2 = \frac{1}{2} + \ln 2.\end{array}\)

Bài tập 2. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0 ; 1] thỏa mãn \(f(0) = \frac{1}{3}\) và \(f(x) - {f^\prime }(x) = {[f(x)]^2}\) với mọi \(x \in [0;1]\). Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = 1.

A. \(\ln 2\).

B. \(\ln \frac{4}{3}\).

C. \(\ln 12\).

D. \(\ln \frac{3}{4}\).

Lời giải

Chọn B

+) Ta có

\[\begin{array}{l}f(x) - {f^\prime }(x) = {[f(x)]^2} \Rightarrow \frac{{f(x) - {f^\prime }(x)}}{{{{[f(x)]}^2}}} = 1\\ \Rightarrow \frac{{{e^x}f(x) - {e^x}{f^\prime }(x)}}{{{{[f(x)]}^2}}} = {e^x}\end{array}\]

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{{\left( {{e^x}} \right)}^\prime }f(x) - {e^x}{f^\prime }(x)}}{{{{[f(x)]}^2}}} = {e^x} \Rightarrow {\left[ {\frac{{{e^x}}}{{f(x)}}} \right]^\prime } = {e^x}\\ \Rightarrow \frac{{{e^x}}}{{f(x)}} = \int {{e^x}} dx = {e^x} + C\end{array}\)

+ Lại có :

\[\begin{array}{l}f(0) = \frac{1}{3} \Rightarrow C = 2 \Rightarrow \frac{{{e^x}}}{{f(x)}} = {e^x} + 2\\ \Rightarrow f(x) = \frac{{{e^x}}}{{2 + {e^x}}}\end{array}\]

+ Do đó

Bài tập 3. Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm liên tục trên khoảng \((0; + \infty )\) thỏa mãn \(f(1) = 2\) và \(x\left( {{f^\prime }(x) - x} \right) = f(x) - 1,\forall x > 0\). Giá trị của f(e) bằng

A. \({e^2} + e\).

B. \({e^2} + 1\).

C. \({e^2} - e\).

D. \({e^2} - 1\).

Lời giải

Chọn B

\( + )\) Từ giả thiết, ta có

\(\begin{array}{l}x\left( {{f^\prime }(x) - x} \right) = f(x) - 1\\ \Rightarrow x{f^\prime }(x) - f(x) = {x^2} - 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{x{f^\prime }(x) - f(x)}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\\ \Rightarrow \frac{{x{f^\prime }(x) - {{(x)}^\prime }f(x)}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} \Rightarrow {\left[ {\frac{{f(x)}}{x}} \right]^\prime } = 1 - \frac{1}{{{x^2}}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \frac{{f(x)}}{x} = x + \frac{1}{x} + C\)

+ Lại có

\(\begin{array}{l}f(1) = 2 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow \frac{{f(x)}}{x} = x + \frac{1}{x}\\ \Rightarrow f(x) = {x^2} + 1 \Rightarrow f(e) = {e^2} + 1\end{array}\)

III) Vận dụng quy tắc \({\left( {\frac{1}{u}} \right)^\prime } = \frac{{ - {u^\prime }}}{{{u^2}}}\)

1. Quy tắc

- Nếu u=u(x) thì \({\left( {\frac{1}{u}} \right)^\prime } = \frac{{ - {u^\prime }}}{{{u^2}}}\) với \(u \ne 0\).

- Nếu \({\left( {\frac{1}{{f(x)}}} \right)^\prime } = g(x)\) thì \(\frac{1}{{f(x)}} = \int g (x)dx\)

2. Bài tập áp dụng

Bài tập 1. (Đề THTP Quốc Gia năm 2018 Mã đề 101): Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(f(2) =  - \frac{2}{9}\) và \({f^\prime }(x) = 2x{[f(x)]^2},\forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị của f(1) bằng

A. \( - \frac{{35}}{{36}}\).

B. \( - \frac{2}{3}\).

C. \( - \frac{{19}}{{36}}\).

D. \( - \frac{2}{{15}}\).

Lời giải

Chọn B

+)Ta có

\[\begin{array}{l}{f^\prime }(x) = 2x{[f(x)]^2} \Rightarrow \frac{{{f^\prime }(x)}}{{{{[f(x)]}^2}}} = 2x\\ \Rightarrow {\left[ {\frac{1}{{f(x)}}} \right]^\prime } =  - 2x \Rightarrow \frac{1}{{f(x)}} =  - \int 2 xdx\end{array}\]

\( \Rightarrow \frac{1}{{f(x)}} =  - {x^2} + C\)

+) Lại có

\(\begin{array}{l}f(2) =  - \frac{2}{9} \Rightarrow C =  - \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \frac{1}{{f(x)}} =  - {x^2} - \frac{1}{2} \Rightarrow f(1) =  - \frac{2}{3}\end{array}\).

Bài tập 2. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1 ; 2] và thỏa mãn \(f(1) =  - \frac{1}{2}\) và \(f(x) + x{f^\prime }(x) = \left( {2{x^3} + {x^2}} \right){f^2}(x),\forall x \in [1;2]\). Giá trị của tích phân \(\int_1^2 x f(x)dx\) bằng

A. \(\ln \frac{4}{3}\)

B. \(\ln \frac{3}{4}\).

C. \(\ln 3\).

D. 0 .

Lời giải

Chọn B

\( + )\) Từ giả thiết, ta có

\(\begin{array}{l}f(x) + x{f^\prime }(x) = \left( {2{x^3} + {x^2}} \right){f^2}(x)\\ \Rightarrow \frac{{f(x) + x{f^\prime }(x)}}{{{{[xf(x)]}^2}}} = 2x + 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left[ {\frac{1}{{xf(x)}}} \right]^\prime } =  - 2x - 1 \Rightarrow \frac{1}{{xf(x)}} = \int {( - 2x - 1)} dx\\ \Rightarrow \frac{1}{{xf(x)}} =  - {x^2} - x + C\end{array}\)

+ Lại có

\( = \int_1^2 {\left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{x}} \right)} dx = \left. {\ln \frac{{x + 1}}{x}} \right|_1^2 = \ln \frac{3}{4}\)

Bài tập 3. ( Sở GDĐT Lân Đồng năm 2018): Cho hàm số f(x) thỏa mãn

\(f(1) = \frac{1}{3}\) và \({f^\prime }(x) = {[xf(x)]^2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Giá trị f(2) bằng

A. \(\frac{2}{3}\).

B. \(\frac{3}{2}\).

C. \(\frac{{16}}{3}\).

D. \(\frac{3}{{16}}\).

Lời giải

Chọn B

+) Từ giả thiết, ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{{f^\prime }(x)}}{{{f^2}(x)}} = {x^2} \Rightarrow {\left[ {\frac{1}{{f(x)}}} \right]^\prime } =  - {x^2}\\ \Rightarrow \frac{1}{{f(x)}} =  - \int {{x^2}} dx =  - \frac{{{x^3}}}{3} + C\end{array}\).

+) Lại có

\(\begin{array}{l}f(1) = \frac{1}{3} \Rightarrow C = \frac{{10}}{3} \Rightarrow \frac{1}{{f(x)}} = \frac{{ - {x^3} + 10}}{3}\\ \Rightarrow \frac{1}{{f(2)}} = \frac{2}{3} \Rightarrow f(2) = \frac{3}{2}\end{array}\).

IV) Vận dụng quy tắc \({(\sqrt u )^\prime } = \frac{{{u^\prime }}}{{2\sqrt u }}\)

1. Quy tắc

- Nếu \(u = u(x)\) thì \({(\sqrt u )^\prime } = \frac{{{u^\prime }}}{{2\sqrt u }}\) với \(u > 0\).

- Nếu \({[\sqrt {f(x)} ]^\prime } = h(x)\) thì \(\sqrt {f(x)}  = \int h (x)dx\).

2. Bài tập áp dụng

Bài tập 1. Cho hàm số f(x) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0 ; 1] thỏa mãn \(f(0) = 1\) và \({\left[ {{f^\prime }(x)} \right]^2} - 16{x^2}.f(x) = 0\) với mọi \(x \in [0;1]\). Giá trị của tích phân \(I = \int_0^1 f (x)dx\) bằng

A. \(\frac{{28}}{{15}}\)

B. \(\frac{8}{{15}}\).

C. \( - \frac{2}{3}\).

D. \(\frac{4}{3}\).

Lời giải

Chọn A

+) Từ giả thiết, ta có

\(\begin{array}{l}{\left[ {{f^\prime }(x)} \right]^2} = 16{x^2} \cdot f(x) \Rightarrow \frac{{{{\left[ {{f^\prime }(x)} \right]}^2}}}{{4f(x)}} = 4{x^2}\\ \Rightarrow \frac{{{f^\prime }(x)}}{{2\sqrt {f(x)} }} = 2x\end{array}\)

\( \Rightarrow {[\sqrt {f(x)} ]^\prime } = 2x \Rightarrow \sqrt {f(x)}  = \int 2 xdx \Rightarrow \sqrt {f(x)}  = {x^2} + C\).

+) Lại có

\(\begin{array}{l}f(0) = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow f(x) = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\\ \Rightarrow I = \int_0^1 f (x)dx = \int_0^1 {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} dx = \frac{{28}}{{15}}\end{array}\).