Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Tuyển chọn các bài toán Nguyên hàm - Tích phân Vận dụng cao thường xuất hiện trong đề thi, tài liệu bao gồm 69 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tài liệu bao gồm các nội dung sau:

Chủ đề 1: Một số nguyên hàm cơ bản

Chủ đề 2: Phương pháp tìm nguyên hàm

Chủ đề 3: Tích phân cơ bản

Chủ đề 4: Phương pháp tính tích phân

Chủ đề 5: Ứng dụng hình học của tích phân

Tuyển chọn các bài toán Nguyên hàm - Tích phân Vận dụng cao thường xuất hiện trong đề thi - có đáp án chi tiết

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và Ứng dụng

Chủ đề 1: Một số nguyên hàm cơ bản

* VÍ DỤ 1 : Cho hàm số f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \{ 1\} \) thỏa mãn \({f^\prime }(x) = \frac{1}{{x - 1}},f(0) = 2017\), , \(f(2) = 2018\). Tính \(S = (f(3) - 2018)(f( - 1) - 2017)\).

A. S = 1

B. \(S = 1 + {\ln ^2}2\)

C. \(S = 2\ln 2\)

D. \(S = {\ln ^2}2\)

Lời giải

Chọn D

Ta có

\(\begin{array}{l}f(x) = \int {\frac{1}{{x - 1}}} \;{\rm{d}}x = \ln |x - 1| + C\\ = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\ln (x - 1) + {C_1}}&{{\rm{ khi }}}&{x > 1}\\{\ln (1 - x) + {C_2}}&{{\rm{ khi }}}&{x < 1}\end{array}} \right.\end{array}\).

Lại có \(f(0) = 2017 \Rightarrow \ln (1 - 0) + {C_2} = 2017 \Rightarrow {C_2} = 2017\).

\(f(2) = 2018\ln (2 - 1) + {C_1} = 2018 \Rightarrow {C_1} = 2018\).

Do đó \(S = [\ln (3 - 1) + 2018 - 2018][\ln (1 - ( - 1)) + 2017 - 2017] = {\ln ^2}2\).

* VÍ DỤ 2: Cho \(\int {\left( {\frac{{ax + b + c{{\rm{e}}^x}\sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)} {\rm{d}}x = 9\sqrt {{x^2} + 1}  + 2\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + 5{{\rm{e}}^x} + C\). Tính giá trị biểu thức \(M = a + b + c\).

A. 6

B. 20

C. 16

D. 10

Lời giải

Chọn D

Ta có

\[\begin{array}{l}{\left[ {9\sqrt {{x^2} + 1}  + 2\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + 5{{\rm{e}}^x}} \right]^\prime }\\ = \frac{{9x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + 2\frac{{1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} + 5{{\rm{e}}^x}\\ = \frac{{9x + 2 + 5{{\rm{e}}^x}\sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\end{array}\]

Do đó \(a = 9,b = 2,c = 5\). Suy ra \(M = a + b + c = 16\).

* VÍ DỤ 3: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số \(f(x).g(x)\), biết \(F(2) = 5\), \(\int f (x){\rm{d}}x = x + C\) và \(\int g (x){\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{4} + C\).

A. \(F(x) = \frac{{{x^2}}}{4} + 4\).

B. \(F(x) = \frac{{{x^2}}}{4} + 5\).

C. \(F(x) = \frac{{{x^3}}}{4} + 5\).

D. \(F(x) = \frac{{{x^3}}}{4} + 3\).

Lời giải

Chọn A

Ta có \(F(x) = \int f (x)g(x)dx\).

Mà

\(\begin{array}{l}\int f (x)dx = x + C \Rightarrow f(x) = 1;\\\int g (x)dx = \frac{{{x^2}}}{4} + C \Rightarrow g(x) = \frac{x}{2}\end{array}\)

Vậy \(F(x) = \int {\frac{x}{2}} dx = \frac{{{x^2}}}{4} + C\) mà \(F(2) = 5\) suy ra \(C = 4\).

Hay \(F(x) = \frac{{{x^2}}}{4} + 4\).

* VÍ DỤ 4: Cho hàm số y = f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \{  - 1;1\} \) và thỏa mãn \({f^\prime }(x) = \frac{1}{{{x^2} - 1}}\). Biết rằng \(f( - 3) + f(3) = 0\). Tính \(T = f(2) + f(0) + f( - 4)\).

A. \(T = \frac{1}{2}\ln 5 - \ln 3.\quad \)

B. \(T = \ln 3 + \frac{1}{2}\ln 5 + 2\).

C. \(T = \frac{1}{2}\ln 5 - \ln 3 + 1.\quad \)

D. \(T = \frac{1}{2}\ln 5 - \ln 3 + 2\).

Lời giải

Chọn A

Ta có:

\(f(x) = \int {{f^\prime }} (x){\rm{d}}x = \int {\frac{1}{{{x^2} - 1}}} \;{\rm{d}}x = \frac{1}{2}\int {\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)} {\rm{d}}x\)

\( = \frac{1}{2}\left[ {\int {\frac{1}{{x - 1}}} \;{\rm{d}}x - \int {\frac{1}{{x + 1}}} \;{\rm{d}}x} \right] = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C.\)

Do đó:

\(\begin{array}{l}f( - 3) + f(3) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2}\ln 2 + C} \right) + \left( {\frac{1}{2}\ln \frac{1}{2} + C} \right) = 0 \Leftrightarrow C = 0.{\rm{ }}\end{array}\)

Như vậy:

\(\begin{array}{l}f(x) = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| \cdot f(2) = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{2 - 1}}{{2 + 1}}} \right| =  - \frac{1}{2}\ln 3;\quad \\f(0) = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{0 - 1}}{{0 + 1}}} \right| = 0\end{array}\)

\(f( - 4) = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{ - 4 - 1}}{{ - 4 + 1}}} \right| = \frac{1}{2}(\ln 5 - \ln 3)\).

Từ đó:

\(\begin{array}{l}T = f(2) + f(0) + f( - 4)\\ =  - \frac{1}{2}\ln 3 + 0 + \frac{1}{2}(\ln 5 - \ln 3)\\ = \frac{1}{2}\ln 5 - \ln 3\end{array}\).

* VÍ DỤ 5: Cho \({I_n} = \int {{{\tan }^n}} x\;{\rm{d}}x\) với \(n \in \mathbb{N}\). Khi đó \({I_0} + {I_1} + 2\left( {{I_2} + {I_3} +  \ldots  + {I_8}} \right) + {I_9} + {I_{10}}\) bằng

A. \(\sum\limits_{r = 1}^9 {\frac{{{{(\tan x)}^r}}}{r}}  + C\).

B. \(\sum\limits_{r = 1}^9 {\frac{{{{(\tan x)}^{r + 1}}}}{{r + 1}}}  + C\).

C. \(\sum\limits_{r = 1}^{10} {\frac{{{{(\tan x)}^r}}}{r}}  + C\).

D. \(\sum\limits_{r = 1}^{10} {\frac{{{{(\tan x)}^{r + 1}}}}{{r + 1}}}  + C\).

Lời giải

Chọn A

\(\begin{array}{l}{I_n} = \int {{{\tan }^{n - 2}}} x \cdot {\tan ^2}x\;{\rm{d}}x\\ = \int {{{\tan }^{n - 2}}} x \cdot \left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right){\rm{d}}x\\ = \int {{{\tan }^{n - 2}}} x \cdot {(\tan x)^\prime }{\rm{d}}x - {I_{n - 2}}\end{array}\)

\( = \frac{{{{\tan }^{n - 1}}x}}{{n - 1}} - {I_{n - 2}} + C\)

\( \Rightarrow {I_n} + {I_{n - 2}} = \frac{{{{\tan }^{n - 1}}x}}{{n - 1}} + C.\)

\(\begin{array}{l}{I_0} + {I_1} + 2\left( {{I_2} + {I_3} +  \ldots  + {I_8}} \right) + {I_9} + {I_{10}}\\ = \left( {{I_{10}} + {I_8}} \right) + \left( {{I_9} + {I_7}} \right) +  \ldots  + \left( {{I_3} + {I_1}} \right) + \left( {{I_2} + {I_0}} \right)\end{array}\)

\( = \frac{{{{\tan }^9}x}}{9} + \frac{{{{\tan }^8}x}}{8} +  \ldots . + \frac{{{{\tan }^2}x}}{2} + \tan x + C = \sum\limits_{r = 1}^9 {\frac{{{{\tan }^r}x}}{r}}  + C.\)

Bài tập rèn luyện

Câu1: Xác định a, b, c để hàm số \(F(x) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){{\rm{e}}^{ - x}}\) là một nguyên hàm của \(f(x) = \left( {{x^2} - 3x + 2} \right){{\rm{e}}^{ - x}}.\)

A. \(a = 1,b =  - 3,c = 2\).

B. \(a = 1,b =  - 1,c = 1\).

C. \(a =  - 1,b = 1,c =  - 1\).

D. \(a =  - 1,b =  - 5,c =  - 7\).

Câu 2: Biết \[F(x) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right)\sqrt {2x - 3} \quad (a,b,c \in \mathbb{Z})\]là một nguyên hàm của

 \(f(x) = \frac{{20{x^2} - 30x + 11}}{{\sqrt {2x - 3} }}\) trên khoảng \(\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\). Tính \(T = a + b + c\).

A. T = 8.

B. T = 5.

C. T = 6.

D. T = 7.

Câu 3: Biĉ́t hảm số \(y = f(x)\) có \({f^\prime }(x) = 3{x^2} + 2x - m + 1,f(2) = 1\) vả đồ thị của hảm số y = f(x) cắt trục tung tại điểm có tung độ bẳng -5. Hàm số f(x) là

A. \({x^3} + {x^2} - 3x - 5\).

B. \({x^3} + 2{x^2} - 5x - 5\).

C. \(2{x^3} + {x^2} - 7x - 5\).

D. \({x^3} + {x^2} + 4x - 5\).

CÂU 4: Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} + m - 1\) thỏa mãn \(F(0) = 0\) và \(F(3) = 7\). Khi đó, giá trị của tham số m bằng

A. -2.

B. 3 .

C. -3.

D. 2 .

CÂU 5: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{x - 1}}\) thỏa mãn F(5) = 2 và F(0) = 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(F( - 1) = 2 - \ln 2\).

B. \(F(2) = 2 - 2\ln 2\).

C. \(F(3) = 1 + \ln 2\).

D. \(F( - 3) = 2\).

Câu 6. Gọi \(F(x) = \left( {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right){e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \left( {2{x^3} + 9{x^2} - 2x + 5} \right){e^x}\). Tính \({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}\).

A. 247 .

B. 246 .

C. 245 .

D. 244 .

Câu 7. Biết hàm số \(F(x) = a{x^3} + (a + b){x^2} + (2a - b + c)x + 1\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 3{x^2} + 6x + 2\). Tổng \(a + b + c\) là:

A. 3 .

B. 2 .

C. 4 .

D. 5 .

CÂU 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để bất phương trình \(\int_0^x {\left( {\frac{1}{2}t + 2(a + 1)} \right)} {\rm{d}}t \ge  - 1\) nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x.

A. \(a \in \left[ { - \frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right]\).

B. \(a \in [0;1]\).

C. \(a \in [ - 2; - 1]\).

D. \(a \le 0\).

CÂU 9: Biết rằng \(\int {\frac{{x - 3}}{{{x^2} - 2x + 1}}} \;{\rm{d}}x = a\ln |x - 1| + \frac{b}{{x - 1}} + C\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. \(\frac{a}{{2b}} =  - \frac{1}{2}\).

B. \(\frac{b}{a} = 2\).

C. \(\frac{{2a}}{b} =  - 1\).

D. \(a = 2b\).

Câu 10. Biết \[\smallint {(\sin 2x - \cos 2x)^2}{\rm{d}}x = x + \frac{a}{b}\cos 4x + C\] với a, b là các số nguyên dương, \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(C \in \mathbb{R}\). Giá trị của a + b bằng

A. 5 .

B. 4 .

C. 2 .

D. 3 .

Câu 11: Cho hàm số f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \({f^\prime }(x) = \sqrt {{{\rm{e}}^x} + {{\rm{e}}^{ - x}} - 2} ,f(0) = 5\) và \(f\left( {\ln \frac{1}{4}} \right) = 0\). Giá trị của biểu thức \(S = f( - \ln 16) + f(\ln 4)\) bằng

A. \(S = \frac{{31}}{2}\).

B. \(S = \frac{9}{2}\).

C. \(S = \frac{5}{2}\).

D. \(S =  - \frac{7}{2}\).

CÂU 12: Cho hàm số f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \{ 0\} \) và thỏa mãn \({f^\prime }(x) = \frac{1}{{{x^3} + {x^5}}},f(1) = a\) và \(f( - 2) = b\). Tính \(f( - 1) + f(2)\).

A. \(f( - 1) + f(2) = a + b\).

B. \(f( - 1) + f(2) =  - a - b\).

C. \(f( - 1) + f(2) = a - b\).

D. \(f( - 1) + f(2) = b - a\).

CÂU 13: Cho hàm số y = f(x) đồng biến trên \((0; + \infty );y = f(x)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \((0; + \infty )\) và thỏa mãn \(f(3) = \frac{2}{3}\) và \({\left[ {{f^\prime }(x)} \right]^2} = (x + 1) \cdot f(x)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(2613 < {f^2}(8) < 2614\).

B. \(2614 < {f^2}(8) < 2615\).

C. \(2618 < {f^2}(8) < 2619\).

D. \(2616 < {f^2}(8) < 2617\).

Câu 14. Giả sử hàm số \(y = f(x)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \((0; + \infty )\) và thỏa mãn \(f(1) = 1\), \(f(x) = {f^\prime }(x) \cdot \sqrt {3x + 1} \), với mọi x >0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(2 < f(5) < 3\).

B. \(1 < f(5) < 2\).

C. \(4 < f(5) < 5\).

D. \(3 < f(5) < 4\).

Giải chi tiết

CÂU 1: Chọn C

\(\begin{array}{l}{\rm{ Ta c\'o : }}{F^\prime }(x) = (2ax + b) \cdot {{\rm{e}}^{ - x}} - \left( {a{x^2} + bx + c} \right) \cdot {{\rm{e}}^{ - x}}\\ = \left[ { - a{x^2} + (2a - b)x + b - c} \right] \cdot {{\rm{e}}^{ - x}}\end{array}\)

\({\rm{ C\'o  }}{F^\prime }(x) = f(x) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - a = 1}\\{2a - b =  - 3}\\{b - c = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 1}\\{b = 1}\\{c =  - 1}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy \(a =  - 1,b = 1,c =  - 1\).

CÂU 2: Chọn D

Ta có \({F^\prime }(x) = f(x)\).

Tính \({F^\prime }(x) = (2ax + b)\sqrt {2x - 3}  + \left( {a{x^2} + bx + c} \right) \cdot \frac{1}{{\sqrt {2x - 3} }}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{(2ax + b)(2x - 3) + a{x^2} + bx + c}}{{\sqrt {2x - 3} }}\\ = \frac{{5a{x^2} + (3b - 6a)x - 3b + c}}{{\sqrt {2x - 3} }}.\end{array}\)

Do đó \(\frac{{5a{x^2} + (3b - 6a)x - 3b + c}}{{\sqrt {2x - 3} }} = \frac{{20{x^2} - 30x + 11}}{{\sqrt {2x - 3} }}\)

\( \Rightarrow 5a{x^2} + (3b - 6a)x - 3b + c = 20{x^2} - 30x + 11\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5a = 20}\\{3b - 6a =  - 30}\\{ - 3b + c = 11}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4}\\{b =  - 2}\\{c = 5}\end{array} \Rightarrow T = 7} \right.} \right.\)

CÂU 3: Chọn A

Ta có \(f(x) = \int {\left( {3{x^2} + 2x - m + 1} \right)} {\rm{d}}x = {x^3} + {x^2} + (1 - m)x + C\).

Theo đề bài, ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(2) = 1}\\{f(0) =  - 5}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2(1 - m) + C + 12 = 1}\\{C =  - 5}\end{array}} \right.} \right.\]

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 4}\\{C =  - 5}\end{array} \Rightarrow f(x) = {x^3} + {x^2} - 3x - 5} \right.\].

CÂU 4: Chọn B

Ta có \(F(x) = \int {\left( {\frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} + m - 1} \right)} {\rm{d}}x = \sqrt {x + 1}  + (m - 1)x + C\).

Theo giả thiết, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{F(0) = 0}\\{F(3) = 7}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C + 1 = 0}\\{C + 3m = 8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C =  - 1}\\{m = 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

Vậy \(F(x) = \sqrt {x + 1}  + 2x - 1\).

CÂU 5: Chọn B

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} \).

Ta có:

\(\begin{array}{l}F(x) = \int {\frac{1}{{x - 1}}} \;{\rm{d}}x = \ln |x - 1| + C\\ = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\ln (x - 1) + {C_1}}&{{\rm{ khi }}}&{x > 1}\\{\ln (1 - x) + {C_2}}&{{\rm{ khi }}}&{x < 1}\end{array}} \right.\end{array}\).

\(\begin{array}{l}F(5) = 2 \Leftrightarrow \ln 4 + {C_1} = 2\\ \Leftrightarrow {C_1} = 2 - \ln 4 = 2 - 2\ln 2\end{array}\).

\(F(0) = 1 \Leftrightarrow \ln 1 + {C_2} = 1 \Leftrightarrow {C_2} = 1\).

Do đó:

\(\begin{array}{l}F(x) = \int {\frac{1}{{x - 1}}} \;{\rm{d}}x\\ = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\ln (x - 1) + 2 - 2\ln 2}&{{\rm{ khi }}}&{x > 1}\\{\ln (1 - x) + 1}&{{\rm{ khi }}}&{x < 1}\end{array}} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}F( - 1) = \ln 2 + 1.F(2) = 2 - 2\ln 2.F(3)\\ = 2 - \ln 2 \cdot F( - 3) = 2\ln 2 + 1.{\rm{ }}\end{array}\)

CÂU 6: Chọn B

\(\begin{array}{l}{\rm{Ta c\'o  }}\left( {2{x^3} + 9{x^2} - 2x + 5} \right){e^x} = f(x)\\ = {F^\prime }(x) = \left[ {a{x^3} + (3a + b){x^2} + (2b + c)x + c + d} \right]{e^x}.\\ \Rightarrow a = 2;b = 3;c =  - 8;d = 13\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = 246.\end{array}\)

CÂU 7: Chọn D

\[\begin{array}{l}{F^\prime }(x) = 3a{x^2} + 2(a + b)x + (2a - b + c).\\{\rm{Ta c\'o : }}{F^\prime }(x) = f(x) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a = 3}\\{2(a + b) = 6}\\{2a - b + c = 2}\end{array}} \right.\end{array}\]

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = 2}\\{c = 2}\end{array} \Rightarrow a + b + c = 5.} \right.\]

CÂU 8: Chọn A

\(\begin{array}{l}\int_0^x {\left( {\frac{1}{2}t + 2(a + 1)} \right)} {\rm{d}}t \ge  - 1\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{4} + 2(a + 1)x \ge  - 1\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{4} + 2(a + 1)x + 1 \ge 0{\rm{ (1)}}{\rm{. }}\end{array}\)

Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x khi và chỉ khi

\({(a + 1)^2} - \frac{1}{4} \le 0 \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} \le a + 1 \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow  - \frac{3}{2} \le a \le  - \frac{1}{2}\)

CÂU 9: Chọn B.

Ta có

\(\begin{array}{l}\int {\frac{{x - 3}}{{{x^2} - 2x + 1}}} \;{\rm{d}}x = \int {\frac{{x - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}}} \;{\rm{d}}x\\ = \int {\frac{1}{{x - 1}}} \;{\rm{d}}x + \int {\frac{{ - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}}} \;{\rm{d}}x\\ = \ln |x - 1| + \frac{2}{{x - 1}} + C\end{array}\).

Suy ra

\(\begin{array}{l}\int {\frac{{x - 3}}{{{x^2} - 2x + 1}}} \;{\rm{d}}x = a\ln |x - 1| + \frac{b}{{x - 1}} + C\\ \Leftrightarrow a\ln |x - 1| + \frac{b}{{x - 1}} + C = \ln |x - 1| + \frac{2}{{x - 1}} + C\end{array}\).

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = 2}\end{array} \Rightarrow \frac{b}{a} = 2} \right.\).