Trả lời nhanh
Muốn tìm tham số thỏa điều kiện cho trước của hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn, em giải hệ theo tham số bằng phép khử hoặc phép thế để biểu diễn x, y, z qua m. Sau đó tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất, thay nghiệm vào yêu cầu của đề để lập phương trình hoặc bất phương trình theo m, rồi đối chiếu với điều kiện ban đầu.
Ba bước làm cho mọi bài có tham số
- Khử bớt ẩn: cộng, trừ các phương trình sao cho chỉ còn hệ hai ẩn, rồi một ẩn. Khi khử, luôn ghi rõ hệ số nào có chứa m.
- Biện luận: với phương trình có dạng (hệ số chứa m)·ẩn = số, hãy xét riêng trường hợp hệ số bằng 0 (vô nghiệm hoặc vô số nghiệm) và trường hợp hệ số khác 0 (nghiệm duy nhất).
- Dùng điều kiện đề cho: thay x, y, z (đã viết theo m) vào yêu cầu như “x = 2z”, “nghiệm dương”, “nghiệm nguyên”; giải ra m; cuối cùng thử lại.
Thầy nhắc một điều: bước “thử lại” tưởng thừa nhưng cứu điểm rất nhiều bài, vì ta hay quên loại các giá trị m làm hệ mất nghiệm duy nhất.
Ví dụ 1: nghiệm thỏa quan hệ giữa các ẩn
Cho hệ x + y + z = m, x − y = 1, y − z = 2. Hãy tìm m để (a) z = 2x; (b) cả ba ẩn đều dương.
Giải. Từ hai phương trình sau: x = y + 1 và z = y − 2. Thế vào phương trình đầu: (y + 1) + y + (y − 2) = m, tức 3y − 1 = m. Vậy y = (m + 1)/3, x = (m + 4)/3, z = (m − 5)/3. Hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi m.
- (a) z = 2x ⇔ m − 5 = 2(m + 4) ⇔ m = −13. Kiểm tra: (x; y; z) = (−3; −4; −6) thỏa cả ba phương trình và z = 2x.
- (b) x > 0 ⇔ m > −4; y > 0 ⇔ m > −1; z > 0 ⇔ m > 5. Lấy giao: m > 5.
Ví dụ 2: hệ số chứa m, tìm m để nghiệm nguyên
Cho hệ x + y + z = 6, x − y + z = 2, 2x + y + mz = 9. Tìm m nguyên để hệ có nghiệm nguyên.
Giải. Trừ hai phương trình đầu: 2y = 4 nên y = 2 và x + z = 4. Thế y = 2, x = 4 − z vào phương trình thứ ba: 2(4 − z) + 2 + mz = 9, rút gọn được (m − 2)z = −1.
- Nếu m = 2: phương trình thành 0 = −1, hệ vô nghiệm.
- Nếu m ≠ 2: z = 1/(2 − m), x = 4 − 1/(2 − m), y = 2.
Để z nguyên thì 2 − m phải là ước nguyên của 1, tức 2 − m = 1 hoặc 2 − m = −1. Vậy m = 1 (nghiệm 3; 2; 1) hoặc m = 3 (nghiệm 5; 2; −1). Thử lại m = 3: 5 + 2 − 1 = 6; 5 − 2 − 1 = 2; 10 + 2 − 3 = 9. Đúng.
Ví dụ 3: biện luận số nghiệm
Cho hệ x + y + z = 2, x + 2y − z = 3, 2x + 3y = m. Cộng hai phương trình đầu ta được 2x + 3y = 5. Do đó:
- m = 5: phương trình thứ ba trùng với tổng hai phương trình đầu, hệ có vô số nghiệm. Đặt y = t thì x = (5 − 3t)/2, z = (t − 1)/2.
- m ≠ 5: hai phương trình mâu thuẫn nhau (2x + 3y vừa bằng 5 vừa bằng m), hệ vô nghiệm.
Lưu ý: hệ ba phương trình ba ẩn không có nghiệm duy nhất khi một phương trình là “tổ hợp” của hai phương trình còn lại. Nhìn ra tổ hợp này là mẹo tiết kiệm nhiều dòng tính.
Lỗi sai thường gặp
- Chia cả hai vế cho biểu thức chứa m mà chưa xét trường hợp biểu thức đó bằng 0.
- Tìm được m rồi nhưng không thay lại để kiểm tra, dẫn đến nhận nhầm giá trị làm hệ vô nghiệm.
- Nhầm “có nghiệm” với “có nghiệm duy nhất”: đề hỏi nghiệm thỏa điều kiện thì thường ngầm hiểu hệ phải có nghiệm xác định.
- Với điều kiện “nghiệm nguyên”, quên rằng m cũng có thể bị ràng buộc (m nguyên hay m thực).
Bài luyện tập có đáp án
- Hệ x + y + z = 9, x − y = m, y − z = 1. Tìm m để x = 2z. Đáp án: z = (7 − m)/3, y = (10 − m)/3, x = (10 + 2m)/3; từ x = 2z suy ra m = 1, nghiệm (4; 3; 2).
- Hệ x + y + z = 3, x − y + z = 1, mx + y − z = 2. Tìm m nguyên để hệ có nghiệm nguyên. Đáp án: y = 1, (m + 1)x = 3; m = −1 vô nghiệm; còn lại x = 3/(m + 1) nguyên khi m ∈ {−4; −2; 0; 2}.
- Hệ x + y + z = 1, x + 2y + 3z = 2, 2x + 3y + 4z = m. Biện luận theo m. Đáp án: hai phương trình đầu cộng lại cho 2x + 3y + 4z = 3; m = 3 vô số nghiệm, m ≠ 3 vô nghiệm.
Câu hỏi thường gặp
Làm sao biết hệ ba phương trình ba ẩn có nghiệm duy nhất khi có tham số?
Em khử dần ẩn để đưa về phương trình có dạng (hệ số chứa m)·ẩn = số. Hệ có nghiệm duy nhất khi hệ số đó khác 0 ở mọi bước khử; nếu hệ số bằng 0 thì xét tiếp xem vế phải có bằng 0 (vô số nghiệm) hay khác 0 (vô nghiệm).
Khi nào nên dùng phép thế, khi nào dùng phép khử?
Nếu có phương trình đơn giản như x − y = 1 thì dùng phép thế cho nhanh. Nếu các hệ số đối nhau hoặc bằng nhau ở cùng một ẩn thì cộng hoặc trừ vế theo vế để khử.
Có cần dùng định thức để làm bài này không?
Không bắt buộc ở chương trình phổ thông. Phép khử Gauss đơn giản đã đủ; định thức chỉ giúp kiểm tra nhanh điều kiện nghiệm duy nhất khi hệ số có chứa tham số.
Sau khi tìm được m có phải thử lại không?
Có. Thay m vừa tìm vào hệ ban đầu, giải lại hoặc kiểm tra nghiệm, để chắc chắn m không làm hệ vô nghiệm hay vô số nghiệm.