Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm về điểm đặc biệt của đồ thị hàm số, tài liệu bao gồm 24 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm về điểm đặc biệt của đồ thị hàm số

CHỦ ĐỀ 8. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A. Kiến thức cơ bản

I. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong

Xét họ đường cong (C_m) có phương trình\[y = f(x,m)\], trong đó \[f\] là hàm đa thức theo biến x với m là tham số sao cho bậc của m không quá 2. Hãy tìm những điểm cố định thuộc họ đường cong khi m thay đổi?

Phương pháp giải:

Bước 1: Đưa phương trình \[y = f(x,m)\] về dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau: \[Am + B = 0\] hoặc \[A{m^2} + Bm + C = 0\].

Bước 2: Cho các hệ số bằng 0 , ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A = 0}\\{B = 0}\end{array}} \right.\] hoặc \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A = 0}\\\begin{array}{l}B = 0\\C = 0\end{array}\end{array}} \right.\].

Bước 3: Kết luận

Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong (C_m) không có điểm cố định.

Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (C_m).

II. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên:

Cho đường cong (C) có phương trình \[y = f(x)\] (hàm phân thức). Hãy tìm những điểm có tọa độ nguyên của đường cong?

Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên.

Phương pháp giải:

Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số.

Bước 2: Lí luận để giải bài toán.

III. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng:

Cho đường cong (C) có phương trình \[y = f(x)\]. Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm, qua đường thẳng.

Bài toán 1: Cho đồ thị (C): \[y = A{x^3} + B{x^2} + Cx + D\] trên đồ thị (C) tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua điểm \[I({x_I},{y_I})\].

Phương pháp giải:

Gọi \[M(a;A{a^3} + B{a^2} + Ca + D)\], \[B(b;A{b^3} + B{b^2} + Cb + D)\]là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua điểm I .

Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b = 2{x_I}}\\{A({a^3} + {b^3}) + B({a^2} + {b^2}) + C(a + b) + 2D = 2{y_I}}\end{array}} \right.\]

Giải hệ phương trình tìm được a, b từ đó tìm được toạ độ M, N.

Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị (C): \[y = A{x^3} + B{x^2} + Cx + D\]. Trên đồ thị (C) tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

Phương pháp giải:

Gọi \[M(a;A{a^3} + B{a^2} + Ca + D)\], \[B(b;A{b^3} + B{b^2} + Cb + D)\]là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b = 0}\\{A({a^3} + {b^3}) + B({a^2} + {b^2}) + C(a + b) + 2D = 0}\end{array}} \right.\]

Giải hệ phương trình tìm được a, b từ đó tìm được toạ độ M, N.

Bài toán 3: Cho đồ thị (C): \[y = A{x^3} + B{x^2} + Cx + D\] trên đồ thị (C) tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng \[d:{A_1}x + {B_1}\]

Phương pháp giải:

Gọi \[M(a;A{a^3} + B{a^2} + Ca + D)\], \[B(b;A{b^3} + B{b^2} + Cb + D)\]là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua đường thẳng d .

Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{I \in d(1)}\\{\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0(2)}\end{array}} \right.\] (với I là trung điểm của MN và \[\overrightarrow {{u_d}} \] là vectơ chỉ phương của đường thẳng d ).

Giải hệ phương trình tìm được M, N.

IV. Bài toán tìm điểm đặc biệt khác:

1. Lí thuyết:

Loại 1. Cho hai điểm \[P({x_1};{y_1});Q({x_2};{y_2})\]⇒ \[PQ = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2}} \].

Cho điểm M (x₀;y₀) và đường thẳng d: Ax + By + C = 0, thì khoảng cách từ M đến d là \[h(M;d) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\].

Loại 2. Khoảng cách từ M (x₀;y₀) đến tiệm cận đứng x = a là \[h = \left| {{x_0} - a} \right|.\]

Loại 3. Khoảng cách từ M (x₀;y₀) đến tiệm cận ngang y = b là \[h = \left| {{y_0} - b} \right|.\]

Chú ý: Những điểm cần tìm thường là hai điểm cực đại, cực tiểu hoặc là giao của một đường thẳng với một đường cong (C) nào đó. Vì vậy trước khi áp dụng công thức, ta cần phải tìm tìm điều kiện tồn tại rồi tìm tọa độ của chúng.

2. Các bài toán thường gặp:

Bài toán 1: Cho hàm số \[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}(c \ne 0,ad - bc \ne 0)\] có đồ thị (C). Hãy tìm trên (C) hai điểm A và B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất.

Phương pháp giải:

(C) có tiệm cận đứng \[x =  - \frac{d}{c}\] do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm về hai phía của tiệm cận đứng. Nên gọi hai số α, β là hai số dương.

Nếu A thuộc nhánh trái thì \[{x_A} <  - \frac{d}{c} \Rightarrow {x_A} =  - \frac{d}{c} - \alpha  <  - \frac{d}{c};{y_A} = f({x_A}).\]

Nếu B thuộc nhánh phải thì \[{x_B} >  - \frac{d}{c} \Rightarrow {x_B} =  - \frac{d}{c} + \beta  >  - \frac{d}{c};{y_B} = f({x_B}).\]

Sau đó tính \[A{B^2} = {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)^2} + {\left( {{y_B} - {y_A}} \right)^2} = {\left[ {\left( {a + \beta } \right) - \left( {a - \alpha } \right)} \right]^2} + {\left( {{y_B} - {y_A}} \right)^2}\]

Áp dụng bất đẳng thức Côsi (Cauchy), ta sẽ tìm ra kết quả.

Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình \[y = f(x)\]. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

Gọi M (x;y) và tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là d thì \[d = \left| x \right| + \left| y \right|\].

Xét các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ khi M nằm ở các vị trí đặc biệt: Trên trục hoành, trên trục tung.

Sau đó xét tổng quát, những điểm M có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tung độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến.

Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của d .

Bài toán 3: Cho đồ thị (C) có phương trình \[y = f(x)\]. Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến Ox bằng k lần khoảng cách từ M đến trục Oy.

Phương pháp giải:

Theo đầu bài ta có \[\left| y \right| = k\left| x \right| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = kx}\\{y =  - kx}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(x) = kx}\\{f(x) =  - kx}\end{array}} \right.} \right.\] .

Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình

\[y = f(x) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}(c \ne 0,ad - bc \ne 0)\] . Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho độ dài MI ngắn nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận).

Phương pháp giải:

Tiệm cận đứng \[x =  - \frac{d}{c}\]; tiệm cận ngang \[y = \frac{a}{c}\].

Ta tìm được tọa độ giao điểm \[I\left( { - \frac{d}{c};\frac{a}{c}} \right)\] của hai tiệm cận.

Gọi M (x_M;y_M) là điểm cần tìm. Khi đó:

\[I{M^2} = {\left( {{x_M} + \frac{d}{c}} \right)^2} + {\left( {{y_M} - \frac{a}{c}} \right)^2} = g({x_M})\]

Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu được kết quả.

Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình \[y = f(x)\] và đường thẳng \[d:Ax + By + C = 0\]. Tìm điểm I trên (C) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất. Phương pháp giải

Gọi I thuộc (C) ⇒ \[I({x_0};{y_0})\]; \[{y_0} = f({x_0})\].

Khoảng cách từ I đến d là \[g({x_0}) = h(I;d) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\]

Khảo sát hàm số \[y = g(x)\] để tìm ra điểm I thỏa mãn yêu cầu.

B. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Đồ thị của hàm số \[y = (m - 1)x + 3 - m\] ( m là tham số) luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ là

A. M (0;3).

B. M (1;2).

C. M (−1;−2).

D. M (0;1).

Câu 2. Đồ thị của hàm số \[y = {x^2} + 2mx - m + 1\] ( m là tham số) luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ là

A. M (0;1).

B. \[M\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\].

C. \[M\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{4}} \right)\].

D. M (−1;0).

Câu 3. Đồ thị của hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2} + mx + m\] ( m là tham số) luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ là

A. M (−1;2) .

B. M (−1;−4).

C. M (1;−2).

D. M (1;−4).

Câu 4. Biết đồ thị (C_m) của hàm số \[y = {x^4} - 2m{x^2} + 3\] luôn đi qua một điểm M cố định khi m thay đổi, khi đó tọa độ của điểm M là

A. M (−1;1).

B. M (1;4) .

C. M (0;−2).

D. M (0;3).

Câu 5. Biết đồ thị (C_m) của hàm số \[y = \frac{{(m + 1)x + m}}{{x + m}}(m \ne 0)\] luôn đi qua một điểm M cố định khi m thay đổi. Tọa độ điểm M khi đó là

A. \[M\left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right)\].

B. M (0;1).

C. M (−1;1).

D. M (0;−1).

Câu 6. Hỏi khi m thay đổi đồ thị (C_m) của hàm số \[y = {x^3} - 3m{x^2} - x + 3m\] đi qua bao nhiêu điểm cố định ?

A. 1.

B. 3.

C. 2.

D. 4.

Câu 7. Tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số \[y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\] sao cho khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng bằng 1 là

A. M (0;1), M (2;3).

B. M (2;1).

C. \[M\left( { - 1;\frac{3}{2}} \right)\].

D. \[M\left( {3;\frac{5}{2}} \right)\].

Câu 8. Hỏi khi m thay đổi đồ thị (C_m) của hàm số \[y = (1 - 2m){x^4} + 3m{x^2} - m - 1\] đi qua bao nhiêu điểm cố định ?

A. 3 .

B. 4 .

C. 1.

D. 2 .

Câu 9. Tọa độ các điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số \[y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\] mà có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận của (C) bằng 4 là

A. (4;3), (−2;1).

B. (2;5), (0;−1).

C. (2;5), (0;−1), (4;3), (−2;1).

D. (2;5), (4;3).

Câu 10. Biết đồ thị (C_m) của hàm số \[y = \frac{{2{x^2} + (1 - m)x + 1 + m}}{{ - x + m}}(m \ne  - 2)\] luôn luôn đi qua một điểm M (x_M;y_M) cố định khi m thay đổi, khi đó x_M + y_M bằng

A. −1.

B. −3 .

C.1.

D. −2 .

Câu 11. Cho hàm số \[y =  - {x^3} + m{x^2} - x - 4m\] có đồ thị (C_m) và A là điểm cố định có hoành độ âm của (C_m). Giá trị của m để tiếp tuyến tại A của (C_m) vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất là

A. m = −3 .

B. m = −6 .

C. m = 2 .

D. m = − \[\frac{7}{2}\].

Câu 12. Trên đồ thị (C) của hàm số \[y = \frac{2}{{x + 2}}\] có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

A. 4 .

B. 1.

C. 2 .

D. 3 .

Câu 13. Trên đồ thị (C) của hàm số \[y = {x^3} - 5{x^2} + 6x + 3\] có bao nhiêu cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ ?

A. 2.

B. 1.

C. 0.

D. 3.

Câu 14. Trên đồ thị (C) của hàm số \[y = \frac{3}{{2x - 1}}\] có bao nhiêu điểm có tọa độ là các số nguyên dương ?

A. 4 .

B. 3 .

C. 1.

D. 2 .

Câu 15. Trên đồ thị (C) của hàm số \[y = \frac{4}{{3x - 2}}\] có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

A. 6 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Câu 16. Gọi x₁, x₂ là hoành độ các điểm uốn của đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^4}}}{4} - {x^2} - 1\], thì \[{x_1}{x_2}\] có giá trị bằng

A. \[\frac{2}{3}\].

B. 0.

C. \[\sqrt {\frac{2}{3}} \].

D.  −\[\frac{2}{3}\].

Câu 17. Trên đồ thị (C) của hàm số \[y = \frac{6}{{4x - 1}}\] số điểm có tọa độ nguyên là

A. 4 .

B. 8 .

C. 3 .

D. 2 .

Câu 18. Trên đồ thị (C) của hàm số \[y = \frac{{x + 10}}{{x + 1}}\] có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

A. 4 .

B. 2 .

C. 10.

D. 6 .

Câu 19. Trên đồ thị (C) của hàm số \[y = \frac{{x + 2}}{{2x - 1}}\] có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

A. 4 .

B. 2 .

C. 1.

D. 6 .

Câu 20. Trên đồ thị (C) của hàm số \[y = \frac{{5x - 2}}{{3x + 1}}\] có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

A. 4 .

B. 2 .

C. 1.

D. 6 .

Câu 21. Trên đồ thị (C) của hàm số \[y = \frac{{8x + 11}}{{4x + 2}}\] có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

A. 6 .

B. 2 .

C. 1.

D. 0.

Câu 22. Tọa độ điểm M có hoành độ dương thuộc đồ thị hàm số \[y = \frac{{x + 2}}{{x - 2}}\] sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của đồ thị hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là

A. M (4;3).

B. M (3; 5) .

C. M (1; −3) .

D. M (0; −1) .

Câu 23. Số cặp điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số \[y = {x^3} + 3{x^2} - 2\] đối xứng với nhau qua điểm I (2;18) là

A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 4.

Câu 24. Trong tất cả các điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị (C) của hàm số\[y = \frac{{3x + 5}}{{x - 1}}\] số điểm có hoành độ lớn hơn tung độ là

A. 2 .

B. 8 .

C. 6 .

D. 4 .

Câu 25. Cho hàm số \[y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\] có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Biết tọa độ điểm M (x_M;y_M) có hoành độ dương thuộc đồ thị (C) sao cho MI ngắn nhất. Khi đó giá trị x_M – y_M bằng

A. 0 .

B. \[2\sqrt 3 \].

C. 2 .

D. −2 .

Câu 26. Cặp điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số \[y = {x^3} + 3{x^2} - 2\] đối xứng nhau qua điểm I(2;18) là

A. (1;2) và (3;34).

B. (3;2) và (1;34) .

C. (0; −2) và (4;74).

D. (1;2) và (−1;−6) .

Câu 27. Cặp điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số \[y = {x^3} - 4{x^2} + 9x + 4\] đối xứng nhau qua gốc tọa độ O là

A. (3;22) và (−3; −22).

B. (2;14) và (−2; −14).

C. (1;10) và (−1; −10).

D. (0;4) và (4;40).

Câu 28. Cặp điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số \[y = {x^3} + x\] đối xứng nhau qua đường thẳng \[d:y =  - \frac{1}{2}x\] là

A. (1;2) và (−2;−10).

B. (2;−1) và (−2;1) .

C. (1;−2) và (−1;2) .

D. (1;2) và (−1;−2).