Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Lý thuyết và bài tập về viết phương trình mặt cầu, tài liệu bao gồm 10 trang, 20 câu trắc nghiệm và có đáp án chi tiết. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Lý thuyết và bài tập về viết phương trình mặt cầu - có đáp án chi tiết

Viết phương trình mặt cầu

1. Phương trình mặt cầu (S) dạng 1:

Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần tìm tâm I (a;b;c) và bán kính R.

Khi đó: (S): \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{Tam:I(a;b;c)}\\{Bankinh:R}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow (S):{(x - a)^2} + {(y - b)^2} + (z - c)2 = {R^2}.\]

2. Phương trình mặt cầu (S) dạng 2:

\[(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\]

Với \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\]là phương trình mặt cầu dạng 2.

Tâm I (a;b;c), bán kính \[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  > 0\].

Bài tập mẫu

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S) có tâm là điểm I (0;0;-3) và đi qua điểm M (4;0;0). Phương trình của (S) là

A. \[{x^2} + {y^2} + {(z + 3)^2} = 25\].

B. \[{x^2} + {y^2} + {(z + 3)^2} = 5\].

C. \[{x^2} + {y^2} + {(z - 3)^2} = 25\].

D. \[{x^2} + {y^2} + {(z - 3)^2} = 5\].

Phân tích hướng dẫn giải

1. Dạng toán: Đây là dạng toán viết phương trình của mặt cầu.

2. Hướng giải:

B1: \[(S):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{Tam:I(a;b;c)}\\{Bankinh:R}\end{array}} \right. \Leftrightarrow (S):{(x - a)^2} + {(y - b)^2} + (z - c)2 = {R^2}.\]

B2: \[R = IM = \sqrt {{{(4 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(0 + 3)}^2}}  = 5\]

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải

Chọn A

Theo bài ta có bán kính của mặt cầu (S) là \[R = IM = \sqrt {{{(4 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(0 + 3)}^2}}  = 5\]Từ đó ta có phương trình mặt cầu (S): \[{x^2} + {y^2} + {(z + 3)^2} = 25\].

Bài tập tương tự và phát triển:

Câu 33.1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (1;2;3) và đi qua giao điểm của đường thẳng d : \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\] với mặt phẳng(Oxy) .

A. \[{(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 27\]

B. \[{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 27\]

C. \[{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 3\sqrt 3 \]

D. \[{(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 3\sqrt 3 \]

Lời giải

Chọn B

Mặt phẳng Oxyz là : z = 0

Gọi A = d Ç (Oxyz) Þ t = -3 Þ A(-2;5;0)

Vì điểm A nằm trên mặt cầu nên bán kính của mặt cầu là \[R = IA = \sqrt {{{( - 3)}^2} + {3^2} + {{( - 3)}^2}}  = 3\sqrt 3 \].

Phương trình mặt cầu (S ) tâm I (1;2;3) và bán kính \[R = 3\sqrt 3 \]là

\[{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 27\]

Câu 33.2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm là điểm I (-1;2;-3) và tiếp xúc với trục Ox. Phương trình của (S) là:

A. \[{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 13\]

B. \[{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = \sqrt {13} \]

C. \[{(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 13\]

D. \[{(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = \sqrt {13} \]

Lời giải

Chọn C

Gọi A là hình chiếu của I lên trục Ox Þ A(-1;0;0) .

Vì điểm A nằm trên mặt cầu nên bán kính của mặt cầu là

\[R = IA = \sqrt {{0^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 3)}^2}}  = \sqrt {13} \]

Phương trình mặt cầu (S) tâm I (-1;2;-3) và bán kính \[R = \sqrt {13} \] là

\[{(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 13\]

Câu 33.3: Mặt cầu (S) tâm I (-1;2;-3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): \[x + 2y + 2z + 1 = 0\]có phương trình:

A. \[{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = \frac{4}{9}\]

B. \[{(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = \frac{4}{9}\]

C. \[{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = \frac{2}{3}\]

D. \[{(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = \frac{2}{3}\]

Lời giải Chọn B

Bán kính mặt cầu là : \[R = d(I,(P)) = \frac{{\left| { - 1 + 2.2 + 2.( - 3) + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{3}\]

Phương trình mặt cầu là: \[{(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = \frac{4}{9}\]

Câu 33.4: Mặt cầu (S) tâm I (2;1;5) và tiếp xúc với mặt cầu (S₁):\[{(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2} = 3\]có phương trình:

A. \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x - 2)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {{(z - 5)}^2} = 12}\\{{{(x - 2)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {{(z - 5)}^2} = 48}\end{array}} \right.\]

B. \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x - 2)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {{(z - 5)}^2} = 2\sqrt 3 }\\{{{(x - 2)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {{(z - 5)}^2} = 4\sqrt 3 }\end{array}} \right.\]

C. \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x + 2)}^2} + {{(y + 1)}^2} + {{(z + 5)}^2} = 12}\\{{{(x + 2)}^2} + {{(y + 1)}^2} + {{(z + 5)}^2} = 48}\end{array}} \right.\]

D. \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x + 2)}^2} + {{(y + 1)}^2} + {{(z + 5)}^2} = 2\sqrt 3 }\\{{{(x + 2)}^2} + {{(y + 1)}^2} + {{(z + 5)}^2} = 4\sqrt 3 }\end{array}} \right.\]

Lời giải

Chọn A

Từ (S₁):\[{(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2} = 3\]Þ Tâm I₁ (1;0;0) và bán kính \[{r_1} = \sqrt 3 \]

Do \[I{I_1} = \sqrt {27}  > \sqrt 3  = {r_1}\] vậy điểm I(2;1;5) nằm ngoài mặt cầu (S₁):\[{(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2} = 3\]Ta có pt đường thẳng II₁ là: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - t}\\{y =  - t}\\{z =  - 5t}\end{array}} \right.\]

Gọi A = II₁ Ç (S₁)  Þ A (1 - t ; -t ; -5t). Do 1 A Î (S₁) nên

\[\begin{array}{l}{t^2} + {t^2} + 25{t^2} = 3 \Leftrightarrow {t^2} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow t =  \pm \frac{1}{3}\\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{A\left( {\frac{2}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{5}{3}} \right) \to AI = 4\sqrt 3 }\\{A\left( {\frac{4}{3};\frac{1}{3};\frac{5}{3}} \right) \to AI = 2\sqrt 3 }\end{array}} \right.\end{array}\]

Bán kính mặt cầu là : \[R = 2\sqrt 3 \].

Phương trình mặt cầu là: \[{(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 5)^2} = 12\]

Bán kính mặt cầu là : \[R = 4\sqrt 3 \].

Phương trình mặt cầu là: \[{(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 5)^2} = 48\]

Câu 33.5: Mặt cầu (S) tâm I (1;2; 4) và tiếp xúc với mặt phẳng (S₁): \[{(x + 1)^2} + {y^2} + {(z - 2)^2} = 27\]có phương trình:

A. \[{(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 4)^2} = 3\].

B. \[{(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 4)^2} = \sqrt 3 \].

C. \[{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 4)^2} = 3\].

D. \[{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 4)^2} = \sqrt 3 \].

Lời giải

Chọn C

Từ (S₁): \[{(x + 1)^2} + {y^2} + {(z - 2)^2} = 27\] Tâm I₁ (-1;0;2) và bán kính R₁ = \[3\sqrt 3 \].

Do \[I{I_1} = 2\sqrt 3  < 3\sqrt 3  = {R_1}\] vậy điểm I (1;2; 4) nằm trong mặt cầu (S₁).

(S) và (S₁) tiếp xúc \[ \Leftrightarrow \left| {R - {R_1}} \right| = I{I_1} \Leftrightarrow \left| {R - 3\sqrt 3 } \right| = 2\sqrt 3  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{R = 5\sqrt 3 }\\{R = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\]

Bán kính mặt cầu là : \[R = \sqrt 3 \].

Phương trình mặt cầu là: \[{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 4)^2} = 3\].

Câu 33.6: Mặt cầu (S) tâm I (-1;2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình:

A. \[{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 1\]

B. \[{(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 14\]

C. \[{(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 1\]

D. \[{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 14\]

Lời giải

Chọn C

PT mp (Oyz) : x = 0

Bán kính mặt cầu là : \[R = d(I,(Oxy)) = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {0^2} + {0^2}} }} = 1\]

Phương trình mặt cầu là: \[{(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 1\]

Câu 33.7: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A B (1;3;2), B(3;5;0). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

A. \[{(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} + {(z - 1)^2} = 3\]

B. \[{(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} + {(z - 1)^2} = 12\]

C. \[{(x + 2)^2} + {(y + 4)^2} + {(z + 1)^2} = 12\]

D. \[{(x + 2)^2} + {(y + 4)^2} + {(z + 1)^2} = 3\]

Lời giải

Chọn A

Trung điểm của đoạn thẳng AB là I (2;4;1) , \[AB = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}}  = 2\sqrt 3 \]

Mặt cầu đường kính AB có tâm I (2;4;1) , bán kính \[R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt 3 \]

Vậy phương trình của mặt cầu là: \[{(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} + {(z - 1)^2} = 3\]

Câu 33.8: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) biết (S) có bán kính R = 3 và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm M(1;2;0)

A. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y - 6z + 5 = 0\]

B. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 2y + 6z + 5 = 0\]

C. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y - 6z + 11 = 0\]

D. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 2y + 6z + 11 = 0\]

Lời giải

Chọn A

Giả sử mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c).

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm M(1;2;0) nên M là hình chiếu của I (a;b;c) lên mp (Oxy) suy ra I (2;1;c)

Ta có mp(Oxy) có pt là z = 0

Ta có \[d(I,(Oxy)) = \frac{{\left| c \right|}}{1} \Leftrightarrow c =  \pm 3\]

Với c = 3

Mặt cầu I (2;1;3) , bán kính R = 3 có phương trình là:

\[{(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 3)^2} = 9\]

Û \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y - 6z + 5 = 0\]

Với c = -3

Mặt cầu I (2;1;-3) , bán kính R = 3 có phương trình là:

\[{(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 3)^2} = 9\]

Û\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 6z + 5 = 0\]

Câu 33.9: Phương trình mặt cầu (S) đi qua A(1;2;3), B(4; -6;2) và có tâm I thuộc trục Ox là

A. \[{(x - 7)^2} + {y^2} + {z^2} = 6\]

B. \[{(x + 7)^2} + {y^2} + {z^2} = 36\]

C. \[{(x + 7)^2} + {y^2} + {z^2} = 6\]

D. \[{(x - 7)^2} + {y^2} + {z^2} = 49\]

Lời giải

Chọn D

Vì I Î Ox  nên gọi I (x;0;0).

Do (S) đi qua A; B nên IA = IB

 Û \[\sqrt {{{(1 - x)}^2} + 4 + 9}  = \sqrt {{{(4 - x)}^2} + 26 + 4}  \Leftrightarrow x = 7\]

Suy ra I (7;0;0)  Þ R = IA = 7.

Do đó \[{(x - 7)^2} + {y^2} + {z^2} = 49\]

Câu 33.10: Phương trình mặt cầu (S) đi qua A(2;0;-2), B(-1;1;2) và có tâm I thuộc trục Oy là

A. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2y - 8 = 0\]

B. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2y - 8 = 0\]

C. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2y + 8 = 0\]

D. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2y + 8 = 0\]