Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tọa độ trong không gian, tài liệu bao gồm 22 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tọa độ trong không gian

CHỦ ĐỀ 1. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A. Lý thuyết

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi \[\overrightarrow i ;\overrightarrow j ;\overrightarrow k \]là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.

Chú ý: \[{\overrightarrow i ^2} = {\overrightarrow j ^2} = {\overrightarrow k ^2} = 1\] và \[\overrightarrow i .\overrightarrow j  = \overrightarrow i .\overrightarrow k  = \overrightarrow k .\overrightarrow j  = 0\].

2. Tọa độ của vectơ

a. Định nghĩa: \[\overrightarrow u  = (x;y;z) \Leftrightarrow \overrightarrow u  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k \]

b. Tính chất: Cho \[\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3}),\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3})\], \[k \in R\]

\[\overrightarrow a  \pm \overrightarrow b  = ({a_1} \pm {b_1};{a_2} \pm {b_2};{a_3} \pm {b_3})\]

\[k\overrightarrow a  = (k{a_1};k{a_2};k{a_3})\]

\[\overrightarrow a  = \overrightarrow b  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1} = {b_1}}\\{{a_2} = {b_2}}\\{{a_3} = {b_3}}\end{array}} \right.\]

\[\overrightarrow 0  = (0;0;0),\overrightarrow i  = (1;0;0),\overrightarrow j  = (0;1;0),\overrightarrow k  = (0;0;1)\]

\[\overrightarrow a \]cùng phương \[\overrightarrow b \] (\[\overrightarrow b  \ne 0\])\[ \Leftrightarrow \overrightarrow a  = k\overrightarrow b \] (\[k \in R\])

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1} = k{b_1}}\\{{a_2} = k{b_2}}\\{{a_3} = k{b_3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{a{}_2}}{{{b_2}}} = \frac{{{a_3}}}{{{b_3}}}\]

(\[{b_1},{b_2},{b_3} \ne 0\])

\[\overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2} + {a_3}.{b_3}\].

\[\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2} + {a_3}.{b_3} = 0\].

\[{\overrightarrow a ^2} = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2\]

\[\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\overrightarrow a }^2}}  = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \]

\[\begin{array}{l}\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\\ = \frac{{{a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2} + {a_3}.{b_3}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} .\sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} }}\end{array}\]

với \[\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b  \ne \overrightarrow 0 \].

3. Tọa độ điểm

a. Định nghĩa: \[M(x;y;z) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM}  = (x;y;z)\] ( x : hoành độ, y tung độ, z cao độ).

Chú ý:

\[M \in (Oxy) \Leftrightarrow z = 0\]; \[M \in (Oyz) \Leftrightarrow x = 0\];

\[M \in (Oxz) \Leftrightarrow y = 0\].

\[M \in Ox \Leftrightarrow y = z = 0\]; \[M \in Oy \Leftrightarrow x = z = 0\];

\[M \in Oz \Leftrightarrow x = y = 0\].

b. Tính chất: Cho \[A({x_A};{y_A};{z_A})\], \[B({x_B};{y_B};{z_B})\]

\[\overrightarrow {AB}  = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A})\].

\[AB = \sqrt {{{({x_B} - {x_A})}^2} + {{({y_B} - {y_A})}^2} + {{({z_B} - {z_A})}^2}} \].

Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:

\[M(\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2})\]

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là \[G = (\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3})\]

Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD là \[G = (\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4})\]

4. Tích có hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ \[\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3}),\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3})\]. Tích có hướng của hai vectơ \[\overrightarrow a \]và \[\overrightarrow b \] là một vectơ, kí hiệu là \[\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\]và được xác định bởi

\[\begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_2}}&{{a_3}}\\{{b_2}}&{{b_3}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_3}}&{{a_1}}\\{{b_3}}&{{b_1}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_2}}\\{{b_1}}&{{b_2}}\end{array}} \right|} \right)\\ = ({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})\end{array}\]

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

b) Tính chất

\[\overrightarrow a \]cùng phương với \[\overrightarrow b \]\[ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \overrightarrow 0 \].

\[\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] \bot \overrightarrow a \];  \[\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] \bot \overrightarrow b \].

\[\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] =  - \left[ {\overrightarrow b ,\overrightarrow a } \right]\].

\[\left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right] = \overrightarrow k \]; \[\left[ {\overrightarrow j ,\overrightarrow k } \right] = \overrightarrow i \]; \[\left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow i } \right] = \overrightarrow j \]

\[\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\sin (\overrightarrow a ,\overrightarrow b )\] (chương trình nâng cao)

\[\overrightarrow a \], \[\overrightarrow b \] cùng phương \[ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \overrightarrow 0 \] (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)

Điều kiện đồng phẳng của ba vecto:  \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \]đồng phẳng \[ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right].\overrightarrow c  = 0\].

Diện tích hình bình hành ABCD: \[{S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right|\].

Diện tích tam giác ABC: \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\].

Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: \[{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AA'} } \right|\]

Thể tích tứ diện ABCD: \[{V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\].

Chú ý:

Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.

Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

\[\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\]

\[\overrightarrow a \]cùng phương với \[\overrightarrow b \]\[ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \overrightarrow 0 \].

\[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \]đồng phẳng \[ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right].\overrightarrow c  = 0\]

5. Một vài thao tác sử dụng máy tính bỏ túi (Casio Fx570 Es Plus, Casio Fx570 Vn Plus, Vinacal 570 Es Plus )

Trong không gian Oxyz cho bốn điểm \[A({x_A};{y_A};{z_A})\], \[B({x_B};{y_B};{z_B})\], \[C({x_C};{y_C};{z_C})\] và \[D({x_D};{y_D};{z_D})\].

w 8 1 1 (nhập vectơ \[\overrightarrow {AB} \])

q 5 2 2 2 (nhập vectơ \[\overrightarrow {AC} \])

q 5 2 3 1 (nhập vectơ \[\overrightarrow {AD} \])

C q53q54= (tính \[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\])

 C q53q54q57q55= (tính \[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} \])

Cqc(Abs) q53q54q57q55= (tính \[\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\])

C1a6qc(Abs) q53q54q57q55= (tính \[{V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\])

B. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Gọi \[\varphi \] là góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \], với \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] khác 0, khi đó cos \[\varphi \] bằng

A. \[\frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\].

B. \[\frac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\].

C. \[\frac{{ - \overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\].

D. \[\frac{{\overrightarrow a  + \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\].

Câu 2. Gọi \[\varphi \] là góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow a  = (1;2;0)\]và \[\overrightarrow b  = (2;0; - 1)\], khi đó cos \[\varphi \] bằng

A. 0.

B. \[\frac{2}{5}\].

C. \[\frac{2}{{\sqrt 5 }}\].

D. −\[\frac{2}{5}\].

Câu 3. Cho vectơ \[\overrightarrow a  = (1;3;4)\], tìm vectơ \[\overrightarrow b \] cùng phương với vectơ \[\overrightarrow a \]

A. \[\overrightarrow b  = ( - 2; - 6; - 8)\].

B. \[\overrightarrow b  = ( - 2; - 6;8)\].

C. \[\overrightarrow b  = ( - 2;6;8)\].

D. \[\overrightarrow b  = (2; - 6; - 8)\].

Câu 4. Tích vô hướng của hai vectơ \[\overrightarrow a  = ( - 2;2;5),\overrightarrow b  = (0;1;2)\] trong không gian bằng

A. 10.

B. 13.

C. 12.

D. 14.

Câu 5. Trong không gian cho hai điểm A (−1;2;3), B (0;1;1), độ dài đoạn AB bằng

A. \[\sqrt 6 \].

B. \[\sqrt 8 \].

C. \[\sqrt {10} \].

D. \[\sqrt {12} \].

Câu 6. Trong không gian Oxyz , gọi \[\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \] là các vectơ đơn vị, khi đó với M(x;y;z) thì \[\overrightarrow {OM} \]bằng

A. \[ - x\overrightarrow i  - y\overrightarrow j  - z\overrightarrow k \].

B. \[x\overrightarrow i  - y\overrightarrow j  - z\overrightarrow k \].

C. \[x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k \].

D. \[x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k \].

Câu 7. Tích có hướng của hai vectơ \[\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3}),\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3})\]là một vectơ, kí hiệu \[\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\] được xác định bằng tọa độ

A. \[({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})\]

B. \[({a_2}{b_3} + {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} + {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} + {a_2}{b_1})\]

C. \[({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} + {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})\]

D. \[({a_2}{b_2} - {a_3}{b_3};{a_3}{b_3} - {a_1}{b_1};{a_1}{b_1} - {a_2}{b_2})\]

Câu 8. Cho các vectơ \[\overrightarrow u  = ({u_1};{u_2};{u_3})\]và \[\overrightarrow v  = ({v_1};{v_2};{v_3})\], \[\overrightarrow u .\overrightarrow v  = 0\] khi và chỉ khi

A. \[{u_1}{v_1} + {u_2}{v_2} + {u_3}{v_3} = 1\].

B. \[{u_1} + {v_1} + {u_2} + {v_2} + {u_3} + {v_3} = 0\].

C. \[{u_1}{v_1} + {u_2}{v_2} + {u_3}{v_3} = 0\].

D. \[{u_1}{v_2} + {u_2}{v_3} + {u_3}{v_1} =  - 1\].

Câu 9. Cho vectơ \[\overrightarrow a  = (1; - 1;2)\], độ dài vectơ \[\overrightarrow a \] là

A. \[\sqrt 6 \].

B. 2.

C. −\[\sqrt 6 \].

D. 4.

Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M không trùng với gốc tọa độ, khi đó tọa độ điểm M có dạng

A. M (a;0;0), a ≠ 0.

B. M (0;b;0), b ≠ 0.

C. M (0;0;c), c ≠ 0.

D. M (a;1;1), a ≠ 0.

Câu 11. Trong không gian Oxyz, cho điểm M nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho M không trùng với gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox, Oy khi đó tọa độ điểm M là ( a,b,c ≠ 0)

A. (0;b;a)

B. (a;b;0)

C. (0;0;c)

D. (a;1;1)

Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho \[\overrightarrow a  = (0;3;4)\]và \[\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\left| {\overrightarrow a } \right|\], khi đó tọa độ vectơ \[\overrightarrow b \] có thể là

A. (0;3;4)

B. (4;0;3)

C. (2;0;1)

D. (−8;0;−6)

Câu 13. Trong không gian Oxyz cho hai vectơ \[\overrightarrow u \] và \[\overrightarrow v \], khi đó \[\left| {\left[ {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right]} \right|\] bằng

A. \[\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|\sin (\overrightarrow u .\overrightarrow v )\]

B. \[\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos (\overrightarrow u .\overrightarrow v )\]

C. \[\overrightarrow u .\overrightarrow v .\cos (\overrightarrow u .\overrightarrow v )\]

D. \[\overrightarrow u .\overrightarrow v .\sin (\overrightarrow u .\overrightarrow v )\]

Câu 14. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ \[\overrightarrow a  = (1; - 1;2),\overrightarrow b  = (3;0; - 1),\overrightarrow c  = ( - 2;5;1)\], vectơ \[\overrightarrow m  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  - \overrightarrow c \] có tọa độ là

A. (6;0;−6).

B. (−6;6;0).

C. (6;−6;0).

D. (0;6;−6).

Câu 15. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0; −3), B(2;4; −1), C(2; −2;0). Độ dài các cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC lần lượt là

A. \[\sqrt {21} ,\sqrt {13} ,\sqrt {37} \].

B. \[\sqrt {11} ,\sqrt {14} ,\sqrt {37} \].

C. \[\sqrt {21} ,\sqrt {14} ,\sqrt {37} \].

D. \[\sqrt {21} ,\sqrt {13} ,\sqrt {35} \].

Câu 16. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0; −3), B(2;4; −1), C(2; −2;0). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

A. \[\left( {\frac{5}{3};\frac{2}{3};\frac{{ - 4}}{3}} \right)\].

B. \[\left( {\frac{5}{3};\frac{2}{3};\frac{4}{3}} \right)\].

C. (5;2;4).

D. \[\left( {\frac{5}{2};1; - 2} \right)\].

Câu 17. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;2;0), B(−1;1;3), C(0; −2;5). Để 4 điểm A,B,C,D đồng phẳng thì tọa độ điểm D là

A. D(−2;5;0).

B. D(1;2;3).

C. D(1;−1;6) .

D. D(0;0;2).

Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho ba vecto \[\overrightarrow a  = (1;2;3),\overrightarrow b  = ( - 2;0;1),\overrightarrow c  = ( - 1;0;1)\]. Tìm tọa độ của vectơ \[\overrightarrow n  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + 2\overrightarrow c  - 3\overrightarrow i \]

A. \[\overrightarrow n  = (6;2;6)\].

B. \[\overrightarrow n  = (6;2; - 6)\].

C. \[\overrightarrow n  = (0;2;6)\].

D. \[\overrightarrow n  = ( - 6;2;6)\].

Câu 19. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;2), B(−2;1;3), C(3;2;4) . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

A. \[G\left( {\frac{2}{3};1;3} \right)\].

B. G(2;3;9) .

C. G(−6;0;24).

D. \[G\left( {2;\frac{1}{3};3} \right)\]

Câu 20. Cho 3 điểm M(2;0;0), N(0; −3;0), P(0;0;4). Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ của điểm Q là

A. Q (−2; −3;4)

B. Q(2;3;4)

C. Q(3;4;2)

D. Q(−2;−3;−4)

Câu 21. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm M(1;1;1), N(2;3;4), P(7;7;5). Để tứ giác MNPQ là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là

A. Q(−6;5;2) .

B. Q(6;5;2) .

C. Q(6; −5;2) .

D. Q(−6;−5;−2).

Câu 22. Cho 3 điểm A(1;2;0), B(1;0; −1), C(0; −1;2). Tam giác ABC là

A. tam giác có ba góc nhọn.

B. tam giác cân đỉnh A .

C. tam giác vuông đỉnh A .

D. tam giác đều.

Câu 23. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(−1;2;2), B(0;1;3), C(−3;4;0). Để tứ giác ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là

A. D(−4;5; −1).

B. D(4;5;−1).

C. D(−4;−5;−1).

D. D(4; −5;1) .

Câu 24. Cho hai vectơ \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] tạo với nhau góc 60⁰ và \[\left| {\overrightarrow a } \right| = 2;\left| {\overrightarrow b } \right| = 4\]. Khi đó \[\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|\]bằng

A. \[\sqrt {8\sqrt 3  + 20} \].

B. \[2\sqrt 7 \].

C. \[2\sqrt 5 \].

D. 2.

Câu 25. Cho điểm M (1;2; −3), khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Oxy) bằng

A. 2.

B. −3 .

C. 1.

D. 3.

Câu 26. Cho điểm M (−2;5;0), hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy là điểm

A. M ′(2;5;0).

B. M ′(0; −5;0) .

C. M ′(0;5;0) .

D. M ′(−2;0;0).

Câu 27. Cho điểm M (1;2; −3), hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (Oxy) là điểm

A. M ′(1;2;0).

B. M ′(1;0; −3) .

C. M ′(0;2; −3) .

D. M ′(1;2;3) .

Câu 28. Cho điểm M (−2;5;1), khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng

A. \[\sqrt {29} \].

B. \[\sqrt 5 \].

C. 2.

D. \[\sqrt {26} \].

Câu 29. Cho hình chóp tam giác S. ABC với I là trọng tâm của đáy ABC. Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng

A. \[\overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC} \]

B. \[\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {CI}  = \overrightarrow 0 \]

C. \[\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {BI}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \]

D. \[\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \]

Câu 30. Trong không gian Oxyz, cho 3 vectơ \[\overrightarrow a  = ( - 1;1;0),\overrightarrow b  = (1;1;0),\overrightarrow c  = (1;1;1)\]. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:

A. \[\overrightarrow b  \bot \overrightarrow c \]

B. \[\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 2 \]

C. \[\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt 3 \]

D. \[\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \]

Câu 31. Cho điểm M (3;2;−1), điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (Oxy) là điểm

A. M ′(3; −2;1).

B. M ′(3; −2;−1).

C. M ′(3;2;1) .

D. M ′(3;2;0) .

Câu 32. Cho điểm M (3;2;−1), điểm M′(a;b;c) đối xứng của M qua trục Oy, khi đó a + b + c bằng

A. 6.

B. 4.

C. 0.

D. 2.

Câu 33. Cho \[\overrightarrow u  = (1;1;1)\]và \[\overrightarrow v  = (0;1;m)\]. Để góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow u ,\overrightarrow v \] có số đo bằng 45⁰ thì m bằng

A. \[ \pm \sqrt 3 \].

B. \[2 \pm \sqrt 3 \].

C. \[1 \pm \sqrt 3 \].

D. \[\sqrt 3 \].

Câu 34. Cho A (1; −2;0), B (3;3;2), C (−1;2;2), D (3;3;1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng

A. 5.

B. 4.

C. 3.

D. 6.

Câu 35. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD. Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD cho bởi công thức nào sau đây:

A. \[h = \frac{1}{3}.\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}}\].

B. \[h = \frac{1}{3}.\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]}}\].

C. \[h = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]}}\].

D. \[h = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}}\]

Câu 36. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;−2;0), B(3;3;2), C(−1;2;2), D(3;3;1). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng (ABC) là

A. \[\frac{9}{{7\sqrt 2 }}\].

B. \[\frac{9}{7}\].

C. \[\frac{9}{{\sqrt 2 }}\].

D. \[\frac{9}{{14}}\].

Câu 37. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1;0;2), B(−2;1;3), C(3;2;4), D(6;9; −5). Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD

A. \[G\left( { - 9;\frac{{18}}{4}; - 30} \right)\].

B. G(8;12;4) .

C. \[G\left( {3;3;\frac{{14}}{4}} \right)\].

D. G(2;3;1) .

Câu 38. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1), B(2; −1;2). Điểm M trên trục Ox và cách đều hai điểm A, B có tọa độ là

A. \[M\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\].

B. \[M\left( {\frac{1}{2};0;0} \right)\].

C. \[M\left( {\frac{3}{2};0;0} \right)\].

D. \[M\left( {0;\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\].

Câu 39. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1), B(3;−1;2). Điểm M trên trục Oz và cách đều hai điểm A, B có tọa độ là

A. M (0;0;4) .

B. M (0;0;−4).

C. \[M\left( {0;0;\frac{3}{2}} \right)\].

D. \[M\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\].

Câu 40. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(−1; −2;3), B(0;3;1), C(4;2;2). Cosin của góc \[\widehat {BAC}\] là

A. \[\frac{9}{{2\sqrt {35} }}\].

B. \[\frac{9}{{\sqrt {35} }}\].

C. −\[\frac{9}{{2\sqrt {35} }}\].

D. −\[\frac{9}{{\sqrt {35} }}\].

Câu 41. Tọa độ của vecto \[\overrightarrow n \] vuông góc với hai vecto \[\overrightarrow a  = (2; - 1;2),\overrightarrow b  = (3; - 2;1)\] là

A. \[\overrightarrow n  = (3;4;1)\].

B. \[\overrightarrow n  = (3;4; - 1)\].

C. \[\overrightarrow n  = ( - 3;4; - 1)\].

D. \[\overrightarrow n  = (3; - 4; - 1)\].

Câu 42. Cho \[\left| {\overrightarrow a } \right| = 2\]; \[\left| {\overrightarrow b } \right| = 5\] góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] bằng \[\frac{{2\pi }}{3}\], \[\overrightarrow u  = k\overrightarrow a  - \overrightarrow b \]; \[\overrightarrow v  = \overrightarrow a  + 2\overrightarrow b \]Để \[\overrightarrow u \] vuông góc với \[\overrightarrow v \] thì k bằng

A. \[ - \frac{6}{{45}}\]

B. \[\frac{{45}}{6}\]

C. \[\frac{6}{{45}}\]

D. \[ - \frac{{45}}{6}\]