Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm hay chương tọa độ không gian, tài liệu bao gồm 32 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm hay chương tọa độ không gian

Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) qua M (2;3;5) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho giá trị của OA, OB, OC theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng 3 . Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P) là:

A. \[\frac{{18}}{{\sqrt {91} }}\]

B. \[\frac{{24}}{{\sqrt {91} }}\]

C. \[\frac{{16}}{{\sqrt {91} }}\]

D. \[\frac{{32}}{{\sqrt {91} }}\]

Giải :

Theo giả thuyết ta có : (P) : \[\frac{2}{a} + \frac{3}{b} + \frac{5}{c} = 1\]

Do a, b, c theo thứ tự là một cấp số nhân có công bội là 3

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 3a}\\{c = 9a}\end{array} \Rightarrow \frac{2}{a} + \frac{1}{a} + \frac{5}{{9a}} = 1} \right. \Rightarrow a = \frac{{32}}{9}\]

\[ \Rightarrow d\left[ {I;(P)} \right] = \frac{{32}}{{\sqrt {91} }}\]

Câu 2: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho M (1;2;3), gọi \[(P):px + 1y + rz + 1 = 0\] (\[p,q,r \in R\]) là mặt phẳng qua M và cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho M là trọng tâm DABC . Tính T = p + q + r:

A. \[T =  - \frac{{11}}{{18}}\]

B. \[T = 18\]

C. \[T = \frac{{11}}{{18}}\]

D. \[T =  - 18\]

Giải : Do (P) cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz tại A, B, C \[ \Rightarrow A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)\]với abc ¹0.

\[ \Rightarrow (P):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\]

Do M là trọng tâm \[\Delta ABC \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} + {x_B} + {x_C} = 3{x_M}}\\{{y_A} + {y_B} + {y_C} = 3{y_M}}\\{{z_A} + {z_B} + {z_C} = 3{z_M}}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = 6}\\{c = 9}\end{array} \Rightarrow T =  - \frac{{11}}{{18}}} \right.\]

Câu 3 : Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz =, cho M (1;2;3), gọi \[(P):px + 1y + rz + 1 = 0\] (\[p,q,r \in R\]) là mặt phẳng qua M và cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho M là trực tâm DABC . Tính T = p + q + r:

A. \[T = \frac{{77}}{3}\]

B. \[T = \frac{3}{7}\]

C. \[T =  - \frac{{77}}{3}\]

D. \[T =  - \frac{3}{7}\]

Giải : Do (P) cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz tại A, B, C \[ \Rightarrow A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)\]với abc ¹ 0.

\[ \Rightarrow (P):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\] Þ véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \[\overrightarrow {{v_{(P)}}}  = \left( {\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}} \right)\]

Ta có OABC là một tứ diện vuông tại O có H là trực tâm DABC Þ AH ^ BC .

Mặt khác : OA ^BC (OA ^ (OBC)) .

Vậy BC ^ (OAH) Þ BC ^ OH. Chứng minh tương tự ta có AB ^ OH.

Þ OH ^ (ABC)) .

Vậy từ đó ta có : \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M \in (P)}\\{\overrightarrow {OM} //\overrightarrow {{v_{(P)}}} }\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 14}\\{b = 7}\\{c = \frac{{14}}{3}}\end{array} \Rightarrow T =  - \frac{3}{7}} \right.\]

Câu 4 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho \[\left| {\overrightarrow a } \right| = 3;\left| {\overrightarrow b } \right| = 2;\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {120^0}\]. Gọi 2 vecto \[\overrightarrow p  = \left( {2\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right);\overrightarrow q  = \left( {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right)\]. Tính \[\cos \left( {\overrightarrow p ,\overrightarrow q } \right)\].

A. \[\frac{1}{{4\sqrt {39} }}\]

B. \[\frac{1}{{\sqrt {39} }}\]

C. \[\frac{1}{{2\sqrt {39} }}\]

D. \[\frac{1}{{3\sqrt {39} }}\]

Giải :

Ta có :

\[\begin{array}{l}\overrightarrow p .\overrightarrow q  = \left( {2\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)\left( {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right) = 2{\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 3\overrightarrow a \overrightarrow b  - 2{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\\ = {2.3^2} + 3.3.2.\cos {120^0} - {2.2^2} = 1\end{array}\]

\[\begin{array}{l}{\left| {\overrightarrow p } \right|^2} = 4{\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 4\overrightarrow a \overrightarrow b  + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\\ = {4.3^2} - 4.3.2.\cos {120^0} + {2^2} = 48\end{array}\]

\[\begin{array}{l}{\left| {\overrightarrow q } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 4\overrightarrow a \overrightarrow b  + 4{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\\ = {3^2} + 4.3.2.\cos {120^0} + {4.2^2} = 13\end{array}\]

\[ \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow p ,\overrightarrow q } \right) = \frac{{\overrightarrow p .\overrightarrow q }}{{\left| {\overrightarrow p } \right|\left| {\overrightarrow q } \right|}} = \frac{1}{{4\sqrt {39} }} \Rightarrow A\]

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm và mặt phẳng (P): \[x + 2y + 3z + 4 = 0\]. Biết M, N là 2 điểm đối xứng nhau qua mặt phẳng (P), M Î mặt cầu (C):  \[{x^2} + {(y + 4)^2} + {z^2} = 5\]. Hỏi N thuộc mặt cầu nào dưới đây :

A. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{8}{7}x + \frac{{40}}{7}y - \frac{{24}}{7}z + \frac{{45}}{7} = 0\]

B. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{8}{7}x - \frac{{40}}{7}y - \frac{{24}}{7}z + \frac{{45}}{7} = 0\]

C. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{8}{7}x + \frac{{40}}{7}y + \frac{{24}}{7}z + \frac{{45}}{7} = 0\]

D. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{8}{7}x - \frac{{40}}{7}y - \frac{{24}}{7}z + \frac{{45}}{7} = 0\]

Giải :

Gọi I là tâm của mặt cầu (C) Þ I(0;-4;0).

Gọi I ' đối xứng I qua (P) Þ \[I'\left( {\frac{4}{7}; - \frac{{20}}{7};\frac{{12}}{7}} \right)\].

Theo yêu cầu bài toán ta có :

M Î(C) có tâm I (0; -4;0) và bán kính \[R = \sqrt 5 \]Þ N Î (S) có tâm \[I'\left( {\frac{4}{7}; - \frac{{20}}{7};\frac{{12}}{7}} \right)\] bán kính \[R = \sqrt 5 \]

Þ (S): \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{8}{7}x + \frac{{40}}{7}y - \frac{{24}}{7}z + \frac{{45}}{7} = 0\]

Câu 6 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): \[x - y + z + 1 = 0\] A (1;1;1), B (0;1;2), C(-2;0;1) và M (a;b;c) Î (P)  sao cho S = 2MA² + MB² + MC² đạt giá trị nhỏ nhất . Khi đó giá trị của T = 3a + 2b + c là :

A. \[T = \frac{{25}}{4}\]

B. \[T = \frac{{25}}{2}\]

C. \[T =  - \frac{{25}}{4}\]

D. \[T =  - \frac{{25}}{2}\]

Giải :

Gọi I là điểm thỏa \[2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow I\left( {0;\frac{3}{4};\frac{5}{4}} \right)\]

Ta có :

\[\begin{array}{l}S = 2M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\\ = 2{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\end{array}\]

\[\begin{array}{l} = 4M{I^2} + 2I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC} } \right)\\ = 4M{I^2} + 2I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}\end{array}\]

Do \[2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = const\] nên \[{S_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }}\]Û M là hình chiếu của I trên (P).

\[ \Rightarrow M\left( { - \frac{3}{2}; - \frac{3}{4}; - \frac{1}{4}} \right) \Rightarrow T =  - \frac{{25}}{4}\]

Câu 7 : Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 2 điểm A (1;0;2), B(3;1;-1) và mặt phẳng (P):  x + y + z – 1 = 0. Gọi điểm M(x₀;y₀;z₀) Î (P) sao cho \[\left| {3\overrightarrow {MA}  - 2\overrightarrow {MB} } \right|\] đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \[A = 9{x_0} + 3{y_0} + 6{z_0}\]

A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Giải. Gọi I là điểm thỏa \[\left| {3\overrightarrow {IA}  - 2\overrightarrow {IB} } \right| = \overrightarrow 0 \] \[ \Rightarrow I( - 3; - 2;8)\].

Ta có

\[\begin{array}{l}\left| {3\overrightarrow {MA}  - 2\overrightarrow {MB} } \right|\\ = \left| {3\left( {\overrightarrow {IA}  - \overrightarrow {IM} } \right) - 2\left( {\overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IM} } \right)} \right|\\ = \left| {3\overrightarrow {IA}  - 2\overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IM} } \right| = \left| {\overrightarrow {IM} } \right| = IM\end{array}\]

Vì I cố định, M Î(P) nên \[\left| {3\overrightarrow {MA}  - 2\overrightarrow {MB} } \right|\]đạt giá trị nhỏ nhất Û IM đạt giá trị nhỏ nhất. Û M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).

Gọi (d) là đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng (P)

\[ \Rightarrow vtcp\]\[\overrightarrow {{a_{(d)}}}  = vtpt\]\[\overrightarrow {{n_{(P)}}}  = (1;1;1)\]

\[M = (d) \cap (P) \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 11}}{3},\frac{{ - 8}}{3},\frac{{22}}{3}} \right)\]

Câu 8 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 7 = 0 và ba điểm A(1;2; -1), B(3;1; -2), C(1; -2;1). Điểm M (a;b;c)Î(P) sao cho \[M{A^2} - M{B^2} - M{C^2}\] đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tổng A = a + b + c bằng bao nhiêu ?

A. \[A = \frac{{20}}{9}\]

B. \[A = \frac{{14}}{9}\]

C. \[A =  - \frac{{20}}{9}\]

D. \[A =  - \frac{{14}}{9}\]

Giải

Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M{A^2} = {{(a - 1)}^2} + {{(b - 2)}^2} + {{(c + 1)}^2}}\\{M{B^2} = {{(a - 3)}^2} + {{(b - 1)}^2} + {{(c + 2)}^2}}\\{M{C^2} = {{(a - 1)}^2} + {{(b + 2)}^2} + {{(c - 1)}^2}}\end{array}} \right.\].

\[\begin{array}{l} \Rightarrow M{A^2} - M{B^2} - M{C^2} =  - {a^2} + 6a - {b^2} - 6b - {c^2} + 26\\ = 44 - \left[ {{{(a - 3)}^2} + {{(b + 3)}^2} + {c^2}} \right]\end{array}\]

Vậy \[{\left( {M{A^2} - M{B^2} - M{C^2}} \right)_{\max }} = {\left[ {{{(a - 3)}^2} + {{(b + 3)}^2} + {c^2}} \right]_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }}\]với \[I( - 3; - 3;0)\].

Mà \[I( - 3; - 3;0)\]cố định nên \[M{I_{\min }}\]Û  M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).

Gọi (d) là đường thẳng qua \[I( - 3; - 3;0)\]và vuông góc với mặt phẳng (P), ta có:

\[(d):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + t}\\{y =  - 3 + 2t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\]

Vì

\[\begin{array}{l}M \in (P) \Rightarrow (3 + t) + 2( - 3 + 2t) + 2(2t) + 7 = 0\\ \Rightarrow t = \frac{{ - 4}}{9} \Rightarrow M\left( {\frac{{23}}{9}; - \frac{{35}}{9}; - \frac{8}{9}} \right)\end{array}\].

\[ \Rightarrow a + b + c = \frac{{ - 20}}{9}\]

Câu 9 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;0),B(0;1;1),C(1;0;1). Tìm hợp tất cả các điểm M trên mặt phẳng Oxz sao cho \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  + {\overrightarrow {MC} ^2} = 2\].

A. Một đường thẳng B.

Một đường tròn

C. Một đường elip

D. Không xác định được

Giải:

\[\overrightarrow {AB}  = ( - 1;0;1) \Rightarrow AB = \sqrt 2 \].

Gọi I là trung điểm của \[ \Rightarrow I\left( {\frac{1}{2};1;\frac{1}{2}} \right)\] cố định và \[I{C^2} = \frac{3}{2}\].

Ta có:

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \left( {\overrightarrow {IA}  - \overrightarrow {IM} } \right).\left( {\overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IM} } \right)\\ =  - I{A^2} - \overrightarrow {IM} .\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) + I{M^2}\\ =  - \frac{{A{B^2}}}{4} + I{M^2} =  - \frac{1}{2} + I{M^2}\end{array}\]

Vậy \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  + {\overrightarrow {MC} ^2} = 2 \Leftrightarrow M{I^2} + M{C^2} = \frac{5}{2}\].

Gọi J là trung điểm của IC \[ \Rightarrow J\left( {\frac{3}{4};\frac{1}{2};\frac{3}{4}} \right)\]cố định và MJ là đường trung tuyến của DMIC .

\[\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{5}{2} = M{I^2} + M{C^2}\\ = 2M{J^2} + \frac{{I{C^2}}}{2} = 2J{M^2} + \frac{3}{4}\\ \Rightarrow J{M^2} = \frac{7}{8} \Rightarrow JM = \frac{{\sqrt {14} }}{4} = const\end{array}\]

Mà J cố định nên M di động trên mặt cầu (S) tâm J với bán kính \[R = \frac{{\sqrt {14} }}{4}\].

Mặt phẳng Oxz có phương trình y = 0 Þ\[d\left[ {J,(Oxz)} \right] = \frac{1}{2} < \frac{{\sqrt {14} }}{4} = R \Rightarrow (S) \cap (Oxz)\]là một đường tròn (C).

Vậy M di động trên đường tròn (C).

Câu 10 : Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(2t;2t;0), B(0;0;t) (t > 0). Cho điểm P di động thỏa: \[\overrightarrow {OP} .\overrightarrow {AP}  + \overrightarrow {OP} .\overrightarrow {BP}  + \overrightarrow {AP} .\overrightarrow {BP}  = 3\]. Tìm giá trị t sao cho OP_max = 3.

A. \[t = \frac{3}{4}\]

B. \[t = \frac{4}{3}\]

C. \[t = \frac{2}{3}\]

D. \[t = \frac{3}{2}\]

Giải:

\[\overrightarrow {OP} .\overrightarrow {AP}  + \overrightarrow {OP} .\overrightarrow {BP}  + \overrightarrow {AP} .\overrightarrow {BP}  = 3\]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {OP} .\left( {\overrightarrow {OP}  - \overrightarrow {OA} } \right) + \overrightarrow {OP} .\left( {\overrightarrow {OP}  - \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OP}  - \overrightarrow {OA} } \right).\left( {\overrightarrow {OP}  - \overrightarrow {OB} } \right) = 3\]

\[ \Leftrightarrow 3{\overrightarrow {OP} ^2} - 2\overrightarrow {OP} .\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right) = 3\] (Vì \[\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 0\])

\[ \Leftrightarrow 3{\overrightarrow {OP} ^2} - 2\overrightarrow {OP} .\overrightarrow {OI}  = 3\] (với I là điểm thứ tư của hình bình hành AOBI Þ I(2t;2t;t)).

\[ \Leftrightarrow 3{\overrightarrow {OP} ^2} - 3\overrightarrow {OP} .\overrightarrow {OJ}  = 3\] (với J thỏa \[\overrightarrow {OJ}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {OI}  \Rightarrow J\left( {\frac{{4t}}{3};\frac{{4t}}{3};\frac{{2t}}{3}} \right)\]).

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\overrightarrow {OP} ^2} - \overrightarrow {OP} .\overrightarrow {OJ}  = 1\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OP} .\left( {\overrightarrow {OP}  - \overrightarrow {OJ} } \right) = 1 \Leftrightarrow \overrightarrow {OP} .\overrightarrow {JP}  = 1\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MP}  - \overrightarrow {MO} } \right).\left( {\overrightarrow {MP}  - \overrightarrow {MJ} } \right) = 1\] (với M là trung điểm của  OJ Þ\[M\left( {\frac{{2t}}{3};\frac{{2t}}{3};\frac{t}{3}} \right)\]).

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow M{P^2} + \overrightarrow {MO} .\overrightarrow {MJ}  = 1 \Leftrightarrow M{P^2} - M{O^2} = 1\\ \Leftrightarrow M{P^2} = 1 + M{O^2} = 1 + {t^2} \Leftrightarrow MP = \sqrt {1 + {t^2}} \end{array}\]

Vậy P di động trên mặt cầu (S) tâm M với bán kính \[R = \sqrt {1 + {t^2}} \].

Nên OP_max Û P = OM Ç (S) và \[\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OP} \] cùng hướng.

Khi đó:

\[\begin{array}{l}O{P_{\max }} = OM + R\\ = \sqrt {{{\left( {\frac{{2t}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2t}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{t}{3}} \right)}^2}}  + \sqrt {1 + {t^2}} \\ = t + \sqrt {1 + {t^2}} \end{array}\]

\[\begin{array}{l}O{P_{\max }} = 3 \Leftrightarrow t + \sqrt {1 + {t^2}}  = 3 \Leftrightarrow \sqrt {1 + {t^2}}  = 3 - t\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 3}\\{1 + {t^2} = 9 - 6t + {t^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 3}\\{t = \frac{4}{3}}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\]

Câu 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(-2;-2;1), A(1;2;-3) và đường thẳng d: \[\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\].Tìm véctơ chỉ phương \[\overrightarrow u \]của đường thẳng D đi qua M, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách A một khoảng cách lớn nhất .

A. \[\overrightarrow u  = (4; - 5; - 2)\]

B. \[\overrightarrow u  = (1;0;2)\]

C. \[\overrightarrow u  = (3;4; - 4)\]

D. \[\overrightarrow u  = (2;2; - 1)\]

Giải : Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với d và qua M.

Gọi H là hình chiếu của A trên (P). Gọi N là hình chiếu của H trên d .

Þ AN ^ (D)( định lí 3 đường vuông góc )

Þ \[d\left[ {A;(\Delta )} \right] = AN\].

Ta có : \[AN \le AM\]. Dấu “=” xảy ra khi \[N \equiv M \Rightarrow \]D là đường thẳng qua M và D ^ MH.

Tính toán ta có : \[\overrightarrow u  = (4; - 5; - 2)\].