Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Phương pháp tọa độ hóa bài toán hình trong không gian, tài liệu bao gồm 24 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Phương pháp tọa độ hóa bài toán hình trong không gian

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN

I. Lý thuyết cần nhớ

1. Cách chọn gốc tọa độ

Ưu điểm: Khi ta chọn được tọa độ các điểm thì chỉ cần áp dụng các kiến thức hình giải tích như khoảng cách, góc, chứng minh vuông góc…Tuy nhiên, với một số em học sinh thì việc tính được tọa độ là vấn đề? Về nguyên tắc thì em có thể chọn gốc tọa độ nằm bất cứ chổ nào, nhưng chọn chổ nào thì việc tính tọa độ là thuận lợi nhất? Sai lầm của không ít người dẫn đến việc tính tọa độ các điểm phức tạp là cứ thấy chân đường cao của hình chóp là chọn làm gốc tọa độ. Trong một số trường hợp Em chọn như vậy sẽ dẫn đến việc tính tọa độ khó khăn và dễ bị chán nản. Để thuận lợi cho việc tính tọa độ Em nhớ nguyên tắc sau đây.

2.Nguyên tắc chọn gốc tọa độ

Vẽ hình thực của đa giác đáy ra bên cạnh.

Ưu tiên chọn gốc tọa độ là góc vuông của đa giác đáy chứ không phải là ưu tiên chân đường cao. Tất nhiên nếu chân đường cao mà trùng gốc vuông ở đáy thì ta chọn gốc tọa ngay điểm đó luôn là tốt.

Nhìn vào hình thực này để tính tọa độ các điểm trong mặt phẳng đáy trước. Sau đó tính các điểm phát sinh và đỉnh.

Cứ quan tâm vào việc chọn trục Ox; Oy ở đáy, sau đó gắn trục Oz vào là xong.

Chẳng hạn ta có 1 số trường hợp chọn gốc tọa độ như sau:

II. Một số yêu cầu thường gặp

1. Chứng minh quan hệ song song,vuông góc

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểmM₀ (x₀;y₀;z₀) và mặt phẳng (P): \[Ax + By + Cz + D = 0\]. Khi đó:

\[d\left( {M,P} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng điểm d₁;d₂ có hai vectơ chỉ phương lần lượt là \[\overrightarrow a ;\overrightarrow b \]. Các điểm A và B lần lượt thuộc d₁; d₂.Khi đó:

\[d\left( {{d_1};{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right].\overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]} \right|}}\]

4. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng điểm d₁;d₂ có hai vectơ chỉ phương lần lượt là \[\overrightarrow a ;\overrightarrow b \]. Khi đó:

\[\cos \left( {{d_1};{d_2}} \right) = \frac{{\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\]

III. Bài tập mẫu

Chú ý: Các ví dụ ở đây, Thầy chỉ sử dụng phương pháp tọa độ để giúp các em giải quyết triệt để ý sau của bài toán hình không gian thôi. Ý đầu tiên vẩn tính bình thường theo hình không gian thuần túy nhé!

Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại B; AC= 2a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AC; đường thẳng A’B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45⁰ . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minh A’B vuông góc B’C.

+ Tính \[{V_{ABC.A'B'C'}}\].

Gọi H là trung điểm của AC, ta có A’H ^ (ABC) và A'BH 45⁰ . Tam giác ABC vuông cân tại B và AC=2a nên ta tính được: BH = a và AB = BC a = \[a\sqrt 2 \].

Suy ra: \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.a\sqrt 2 .a\sqrt 2  = {a^2}\].

Tam giác A’HB vuông tại H và A'BH = 45⁰ có nên tam giác A’HB vuông cân tại H.

Suy ra A’H = BH = a.

Do đó : \[{V_{ABC.A'B'C'}} = A'H.{S_{\Delta ABC}} = a.{a^2} = {a^3}\]

Chứng minh A’B ^ B'C.

Dựng hệ trục tọa độ Bxyz như hình vẽ, Bz // AH; AÎBx; CÎBy. Ta có:

\[\begin{array}{l}B(0;0;0);A\left( {a\sqrt 2 ;0;0} \right);C\left( {0;a\sqrt 2 ;0} \right);\\H\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right);A'\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{2};a} \right)\end{array}\]

Ta có:

\[\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {AA'}  \Rightarrow B'\left( {\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{2};a} \right)\]

và \[\overrightarrow {BA'}  = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{2};a} \right);\] \[\overrightarrow {CB'}  = \left( {\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2};\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2};a} \right)\]

Ta có : \[\overrightarrow {CB'} .\overrightarrow {BA'}  = \frac{{ - a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} + a.a = 0\]

\[ \Rightarrow A'B \bot B'C\]

Bình luận: Nhìn có vẻ hơi dài dòng, nhưng khi đã quen em sẽ tính tọa độ rất nhanh. Trong phần ở trên ta tính các điểm nằm trên các trục tọa độ trước. Sau đó tính các điểm xung quanh, dựa vào các đặc điểm tạo ra chúng. Ví dụ: khi đã tính được tọa độ điểm A và C thì áp dụng tính chất trung điểm em có ngay tọa độ điểm H. Tung độ và hoành độ của H cũng là tung độ và hoành độ của A’ và chỉ cần thêm độ cao A’H là ta có ngay tọa độ điểm A’. Các tứ giác bên là hình hình bình hành nên

\[\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {AA'}  \Rightarrow B'\left( {\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{2};a} \right)\].

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA vuông góc mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45⁰ . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB,AC.

Phân tích: Đề bài cho SA ^ (ABCD) và ABCD là hình vuông vậy là quá tốt. Ta sẽ chọn ngay A làm góc tọa độ luôn.

Giải

Tính \[{V_{S.ABCD}}\].

Ta có: \[\left( {SC;(ABCD)} \right) = SCA = {45^0}\]và ABCD là hình vuông cạnh a suy ra   

\[SA = AC = a\sqrt 2 \].

\[{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 2 .{a^2} = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}\]

Tính \[d\left( {AC;SB} \right)\].

Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ. Ta có: \[A(0;0;0);B(a;0;0);C(a;a;0);S(0;0;a\sqrt 2 )\]

Đường thẳng AC có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {AC}  = (a;a;0)\]cùng phương \[\overrightarrow u  = (1;1;0)\].

Đường thẳng SB có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {SB}  = ( - a;0;a\sqrt 2 )\]cùng phương \[\overrightarrow v  = ( - 1;0;\sqrt 2 )\].

\[\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right] = (\sqrt 2 ; - \sqrt 2 ; - 1);\overrightarrow {AB}  = (a;0;0)\]

Vậy \[d(SB;AC) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right].\overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right]} \right|}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{5}\].

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; \[SD = \frac{{3a}}{2}\]; hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).

Giải