c) Lần lượt thay các giá trị \[x =  - 4;\,0;\,4\] vào từng phương trình một ẩn ta có:

⁕ Với \[x = 4\] thì \[2,5.4 - 10 = 0\]

nên \[x = 4\] là nghiệm của phương trình \[2,5x - 10 = 0\]

⁕ Với \[x =  - 4\] thì \[4{x^2} - 6x = 4.{( - 4)^2} - 6.( - 4) = 64 + 24 = 88\]

Và \[5x + 108 = 5.( - 4) + 108 = 88\]

Vậy \[x =  - 4\] là nghiệm của phương trình \[4{x^2} - 6x = 5x + 108\]

Nhận xét: Muốn xem một số có phải là nghiệm của phương trình ta xét xem giá trị đó của ẩn thoả mãn (hay nghiệm đúng) phương trình đã cho bằng cách thay vào từng vế của phương trình. Nếu hai vế có cùng giá trị thì số đó là nghiệm của phương trình.

Ví dụ 2: Cho bốn phương trình:

\[2x - 6 = 0\] (1)

\[{x^2} - 2x - 3 = 0\] (2)

\[(x - 1)(x + 5) - 2{x^2} = 15x - 47\] (3)

\[(5x - 15)({x^2} + 1) = 0\] (4)

a) Chứng tỏ rằng \[x = 3\] là nghiệm chung của cả bốn phương trình.

b) Chứng tỏ rằng \[x =  - 1\] là nghiệm của phương trình (2) nhưng không là nghiệm của phương trình (1) và (3).

c) Hai phương trình (1) và (2) có tương đương không. Tại sao?

Giải

a) Với \[x = 3\]

-    Thay vào phương trình (1) ta có

\[2.3 - 6 = 6 - 6 = 0\]

-    Thay vào phương trình (2) ta có

\[{3^2} - 2.3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0\]

-    Thay vào phương trình (3) ta có:

Vế trái \[(3 - 1)(3 + 5) - {2.3^2} = 2.8 - 2.9 = 16 - 18 =  - 2\]

Vế phải \[15.3 - 47 = 45 - 47 =  - 2\]

-    Thay vào phương trình (4) ta có

 \[(5.3 - 15)({3^2} + 1) = (15 - 15).10 = 0.10 = 0\]

\[x = 3\] nghiệm đúng cả bốn phương trình nên là nghiệm chung của bốn phương trình.

b) Với \[x =  - 1\]

-    Thay vào phương trình (1) ta có

\[2.( - 1) - 6 =  - 2 - 6 =  - 8 \ne 0\]

-    Thay vào phương trình (2) ta có:

 \[{( - 1)^2} - 2.( - 1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0\]

-    Thay vào phương trình (3):

\[(x - 1)(x + 5) - 2{x^2} = 15x - 47\] ta có:

Vế trái \[( - 1 - 1)( - 1 + 5) - 2.{( - 1)^2} = ( - 2).4 - 2 =  - 10\]

Vế phải \[15.( - 1) - 47 =  - 15 - 47 =  - 62\]

Vậy \[x =  - 1\] nghiệm đúng phương trình (2) nhưng không nghiệm đúng phương trình (1) và (3) nên là nghiệm của phương trình (2) nhưng không là nghiệm của phương trình (1) và (3).

c) Hai phương trình (1) và (2) không tương đương vì không cùng tập nghiệm.

Nhận xét: Ta thay các số đã cho vào từng vế của phương trình để xét xem các số đó có phải là các nghiệm của phương trình. Từ đó xác định tập nghiệm của các phương trình.

b) \[x =  - 1\] là nghiệm của phương trình (2) vì thay vào làm 2 vế cùng có giá trị 0.

     Nhưng không là nghiệm của phương trình (1) và (3) vì khi thay vào 2 phương trình làm hai vế có giá trị khác nhau.

c) Tương tự cách 1.

Ví dụ 3: Cho phương trình với a là tham số: \[({a^2} + 3a - 10){x^2} = a - 2\]        (1)

Chứng minh rằng:

a) Với \[a = 2\] phương trình (1) nghiệm đúng với mọi giá trị của x.

b) Với \[a =  - 5\] phương trình (1) vô nghiệm.

c) Với \[a =  - 5\] phương trình (1) tương đương với phương trình

\[(a + 5)x + 2016 = 0\] (2)

⁕   Tìm cách giải: Với mọi giá trị của ẩn x:

-    Nếu hai vế của phương trình luôn có giá trị bằng nhau thì phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của \[x(\forall x)\]. Tập nghiệm là R.

-    Nếu hai vế của phương trình luôn có giá trị khác nhau thì phương trình vô nghiệm. Tập nghiệm là \[\emptyset \].

-    Hai phương trình cùng vô nghiệm được coi là hai phương trình tương đương.

Giải

a)  Với \[a = 2\] phương trình (1) có dạng \[({2^2} + 3.2 - 10){x^2} = 2 - 2\]

     hay \[0{x^2} = 0\]. Phương trình (1) nghiệm đúng \[\forall x\].

b)  Với \[a =  - 5\] phương trình (1) có dạng \[(25 - 15 - 10){x^2} =  - 5 - 2\]

     hay \[0{x^2} =  - 7\]. Phương trình vô nghiệm vì hai vế của phương trình luôn có giá trị khác nhau \[\forall x\]. Tập nghiệm của phương trình là \[\emptyset \].

c)  Với \[a =  - 5\] phương trình (2) trở thành

     \[( - 5 + 5)x + 2016 = 0\] hay \[0x + 2016 = 0\]. Phương trình này cũng vô nghiệm vì vế trái khác 0, \[\forall x\]. Tập nghiệm của phương trình là \[\emptyset \] cùng tập nghiệm với phương trình \[0{x^2} =  - 7\]. Do đó hai phương trình \[0x + 2016 = 0\] và \[0{x^2} =  - 7\] tương đương.

Ví dụ 4: Bằng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân hãy giải các phương trình:

a) \[(x + 2) + (2x + 4) + (3x + 6) + ... + (50x + 100) =  - 2550\] (1)

b) \[\left| {2x - 6} \right| = 4 + 3x\] (2)

⁕   Tìm cách giải:

Câu a) lưu ý sử dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cộng (từ số thứ hai, các số đều bằng số liền trước cộng với cùng một số):

Tổng \[ = \frac{1}{2}\](số hạng đầu + số hạng cuối) x Số số hạng.

Câu b) sử dụng định nghĩa về giá trị tuyệt đối: nếu  \[\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A{\rm{ }}neu{\rm{ A}} \ge {\rm{0 }}\\ - A{\rm{ }}neu{\rm{ A < 0}}\end{array} \right.\].

Sau khi giải xong cần kiểm tra để xác định kết quả tìm được có thoả mãn điều kiện hay không.

Giải

a)

\[(1) \Leftrightarrow (x + 2x + 3x + ... + 50x) + (2 + 4 + 6 + ... + 100) =  - 2550\]

\[ \Leftrightarrow (1 + 2 + 3 + ... + 50)x + (2 + 4 + 6 + ... + 100) =  - 2550\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{(1 + 50).50}}{2}x + \frac{{(2 + 100).50}}{2} =  - 2550\\ \Leftrightarrow 1275x + 2550 =  - 2550\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1275x =  - 2550 - 2550\\ \Leftrightarrow 1275x =  - 5100\\ \Leftrightarrow x =  - 5100:1275\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow x =  - 4\].

b)  \[\left| {2x - 6} \right| = 4 + 3x\]

⁕   Nếu \[x \ge 3\] thì \[2x - 6 \ge 0 \Rightarrow \left| {2x - 6} \right| = 2x - 6\]

Phương trình trở thành \[2x - 6 = 4 + 3x \Leftrightarrow 2x - 3x{\rm{ = 4 + 6}} \Leftrightarrow {\rm{x = }} - 10\].(loại vì không thoả mãn điều kiện)

⁕   Nếu \[x < 3\] thì \[2x - 6 < 0 \Rightarrow \left| {2x - 6} \right| =  - 2x + 6\]

Phương trình trở thành

 \[\begin{array}{l} - 2x + 6 = 4 + 3x\\ \Leftrightarrow  - 2x - 3x = 4 - 6\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow  - 5x =  - 2 \Leftrightarrow x = 0,4\].

Vậy phương trình có một nghiệm là \[x = 0,4\].

Ví dụ 5: Xét xem các cặp phương trình sau có tương đương không? Giải thích.

a) \[ - 5x + 5 = 2x - 7\] và \[ - 7x + 12 = 0\];

b) \[9x - 15 = 12x + 27\] và \[3x - 5 = 4x + 9\];

c) \[(5x - 15)({x^2} + 1) = 0\]        và \[3x - 20 =  - 11\];

d) \[5x - 9 = 11\] và \[a(5x - 9) = 11a\] với a là một số.

⁕   Tìm cách giải: Để xét các cặp phương trình có tương đương hay không, ngoài so sánh các tập nghiệm ta còn sử dụng hai quy tắc biến đổi phương trình.

Giải

a)  \[ - 5x + 5 = 2x - 7 \Leftrightarrow  - 7x + 12 = 0\] vì theo quy tắc chuyển vế

\[\begin{array}{l} - 5x + 5 = 2x - 7\\ \Leftrightarrow  - 5x + 5 - 2x + 7 = 0\\ \Leftrightarrow  - 7x + 12 = 0\end{array}\].

b)  \[9x - 15 = 12x + 27 \Leftrightarrow 3x - 5 = 4x + 9\] vì theo quy tắc nhân.

\[\begin{array}{l}9x - 15 = 12x + 27\\ \Leftrightarrow (9x - 15).\frac{1}{3} = (12x + 27).\frac{1}{3}\\ \Leftrightarrow 3x - 5 = 4x + 9\end{array}\].

c)  Phương trình \[(5x - 15)({x^2} + 1) = 0\] có \[{x^2} + 1 \ne 0{\rm{ }}\forall x\]

nên \[(5x - 15)({x^2} + 1) = 0 \Leftrightarrow 5x - 15 = 0 \Leftrightarrow x = 3\].

Phương trình \[3x - 20 =  - 11 \Leftrightarrow 3x =  - 11 + 20 \Leftrightarrow 3x = 9 \Leftrightarrow x = 3\]

Tập nghiệm của phương trình \[(5x - 15)({x^2} + 1) = 0\] là \[S = \left\{ 3 \right\}\]

Tập nghiệm của phương trình là \[3x - 20 =  - 11\] là \[S = \left\{ 3 \right\}\]

Hai phương trình có cùng tập nghiệm nên

\[(5x - 15)({x^2} + 1) = 0 \Leftrightarrow 3x - 20 =  - 11\].

d)  Nếu \[a \ne 0\] thì \[5x - 9 = 11 \Leftrightarrow a(5x - 9) = 11a\] theo quy tắc nhân.

Nếu \[a = 0\] thì \[a(5x - 9) = 11a\] trở thành \[0x - 0 = 0\] phương trình này nghiệm đúng với mọi x nên không tương đương với phương trình \[5x - 9 = 11\] có một nghiệm duy nhất là \[x = 4\].

⁕ Nhận xét:

b) Để ý rằng nhân hai vế với \[\frac{1}{3}\] nghĩa là chia cả hai vế cho 3.

c) Khi áp dụng quy tắc nhân phải lưu ý số nhân (hay chia) phải khác 0.