b)

\[\begin{array}{l}(2) \Leftrightarrow 3x - \frac{{2x + 10 - x}}{{24}}\\ = \frac{{12x - 5 + 2x}}{{12}} - 2x + 1\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow 72x - 2x - 10 + x = 24x - 10 + 4x - 48x + 24\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 72x - 2x + x - 24x - 4x + 48x = 24\\ \Leftrightarrow 91x = 24 \Leftrightarrow x = \frac{{24}}{{91}}\end{array}\].

Nhận xét: Câu b) sau khi nhân hai vế với 24, hai vế xuất hiện hai số bằng nhau là\[ - 10\] ta có thể bỏ đi (vì khi chuyển vế \[ - 10 + 10 = 0\]).

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của y sao cho biểu thức A và B sau đây có giá trị bằng nhau:

\[A = \frac{{y - 2}}{2} - \frac{{9 - 5y}}{8} - \frac{{2 - y}}{6} + \frac{{3(5y - 9)}}{4}\]; \[B = \frac{{45 - 25y}}{8} + \frac{{2 - y}}{3} - \frac{{5y - 9}}{2}\].

Tìm cách giải: Để tìm các giá trị của y sao cho hai biểu thức A và B có giá trị bằng nhau ta quy về việc giải phương trình \[A = B\].

Giải

Để \[A = B\] ta phải có:

\[\begin{array}{l}\frac{{y - 2}}{2} - \frac{{9 - 5y}}{8} - \frac{{2 - y}}{6} + \frac{{3(5y - 9)}}{4}\\ = \frac{{45 - 25y}}{8} + \frac{{2 - y}}{3} - \frac{{5y - 9}}{2}\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{y - 2}}{2} + \frac{{y - 2}}{6} + \frac{{y - 2}}{3}\\ = \frac{{5(9 - 5y)}}{8} + \frac{{9 - 5y}}{2} + \frac{{9 - 5y}}{8} + \frac{{3(9 - 5y)}}{4}\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow (y - 2)\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3}} \right) = (9 - 5y)\left( {\frac{5}{8} + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{3}{4}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow (y - 2)\left( {\frac{3}{6} + \frac{1}{6} + \frac{2}{6}} \right) = (9 - 5y)\left( {\frac{5}{8} + \frac{4}{8} + \frac{1}{8} + \frac{6}{8}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow (y - 2).1 = (9 - 5y).2\]

\[ \Leftrightarrow y - 2 = 18 - 10y\]

\[ \Leftrightarrow 11y = 20 \Leftrightarrow y = \frac{{20}}{{11}}\].

Nhận xét: Ta không quy đồng mẫu các phân thức mà biến đổi bài  toán một cách linh hoạt, vừa đổi dấu phân thức sau đó chuyển vế để xuất hiện các nhân tử chung là \[(y - 2)\] và \[(9 - 5y)\].

Ví dụ 3: Giải phương trình sau với m là hằng số (tham số):

\[m(mx - 2) = x(3m + 4) + 2\] (1)

Giải

\[(1) \Leftrightarrow {m^2}x - 2m = 3mx + 4x + 2\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2}x - 3mx - 4x = 2m + 2\\ \Leftrightarrow x({m^2} - 3m - 4) = 2(m + 1)\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow x(m + 1)(m - 4) = 2(m + 1)\].

-    Nếu \[m \ne  - 1\] và \[m \ne 4\] thì \[x = \frac{2}{{m - 4}}\];

-    Nếu \[m = 4\] phương trình có dạng \[0x = 10\]. Vô nghiệm;

-    Nếu \[m =  - 1\] phương trình có dạng \[0x = 0\]. Phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của x.

Ví dụ 4: Giải phương trình sau với b là tham số:

\[\frac{{x - 2 + b}}{{b + 3}} + \frac{{x - b}}{{b - 3}} = \frac{{ - 4b - x}}{{9 - {b^2}}}\] (1)

Giải

Điều kiện \[b \ne  \pm 3\]

Phương trình (1) biến đổi thành \[(x - 2 + b)(b - 3) + (x - b)(b + 3) = x + 4b\]

\[ \Leftrightarrow xb - 3x - 2b + 6 + {b^2} - 3b + xb + 3x - {b^2} - 3b = x + 4b\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2xb - x = 12b - 6\\ \Leftrightarrow (2b - 1)x = 6(2b - 1)\end{array}\].

*   Nếu \[b \ne 0,5\] và \[b \ne  \pm 3\] thì \[x = 6\];

*   Nếu \[b = 0,5\] thì phương trình trở thành \[0x = 0\]. Phương trình nghiệm đúng \[\forall x\].

Ví dụ 5: Giải phương trình:

\[\frac{{4029x + 2014 + 2.2015}}{{2014.2015}} = \frac{{4037x - 2.2019 - 3.2018}}{{2018.2019}}\]

*Tìm cách giải: Ở phương trình trên nếu quy đồng mẫu thức hai vế thì mẫu thức chung quá lớn. Ta nhận xét \[4029x = 2014x + 2015x;4037x = 2018x + 2019x\] do đó ta biến đổi và giải phương trình như sau:

Giải

\[\begin{array}{l}\frac{{4029x + 2014 + 2.2015}}{{2015.2014}}\\ = \frac{{2014x + 2014 + 2015x + 2.2015}}{{2015.2014}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l} = \frac{{2014(x + 1) + 2015(x + 2)}}{{2014.2015}}\\ = \frac{{x + 1}}{{2015}} + \frac{{x + 2}}{{2014}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l}\frac{{4037x - 2.2019 - 3.2018}}{{2018.2019}}\\ = \frac{{2019x - 2.2019 + 2018x - 3.2018}}{{2018.2019}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l} = \frac{{2019(x - 2) + 2018(x - 3)}}{{2018.2019}}\\ = \frac{{x - 2}}{{2018}} + \frac{{x - 3}}{{2019}}\end{array}\]

Phương trình trở thành

\[\begin{array}{l}\frac{{x + 1}}{{2015}} + \frac{{x + 2}}{{2014}} = \frac{{x - 2}}{{2018}} + \frac{{x - 3}}{{2019}}\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{{x + 1}}{{2015}} + 1} \right) + \left( {\frac{{x + 2}}{{2014}} + 1} \right) = \left( {\frac{{x - 2}}{{2018}} + 1} \right) + \left( {\frac{{x - 3}}{{2019}} + 1} \right)\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{x + 2016}}{{2015}} + \frac{{x + 2016}}{{2014}} - \frac{{x + 2016}}{{2018}} + \frac{{x + 2016}}{{2019}} = 0\]

\[ \Leftrightarrow (x + 2016)\left( {\frac{1}{{2015}} + \frac{1}{{2014}} - \frac{1}{{2018}} - \frac{1}{{2019}}} \right) = 0\]

Do \[\frac{1}{{2015}} + \frac{1}{{2014}} - \frac{1}{{2018}} - \frac{1}{{2019}} \ne 0\].

Do đó \[x + 2016 = 0\]

Vậy \[x =  - 2016\]

Ví dụ 6: Tìm giá trị của a để:

a) Phương trình \[(2x - 3)(1 + 3a) - 5(x + 6) = 25(x + 3)(2 - x) + 5(a - 2) + 50\].       (1) có nghiệm \[x =  - 3\];

b) Phương trình \[(x - a)(x + 5) - 4ax + 17 = (x + a)(x - 6) - 3x\] (2) có nghiệm gấp năm nghiệm của phương trình:

\[3x(x - 5) - 4(x - 4) = 3(x - 1)(x + 3)\] (3)

Tìm cách giải: a) Để \[{x_0}\] là nghiệm của phương trình \[A(x) = B(x)\] ta phải có \[A({x_0}) = B({x_0})\]. Do đó thay \[x =  - 3\] vào hai vế của phương trình (1) ta được một phương trình mới với ẩn là a.

b) Trước hết giải phương trình (3) tìm nghiệm \[{x_0}\]. Nghiệm của phương trình (2) sẽ bằng \[5{x_0}\].

Giải

a)  Để \[x =  - 3\] nghiệm của phương trình (1) ta phải có:

\[( - 6 - 3)(1 + 3a) - 5( - 3 + 6) = 25( - 3 + 3)(2 + 3) + 5(a - 2) + 50\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 9(1 + 3a) - 15 = 5(a - 2) + 50\\ \Leftrightarrow  - 9 - 27a - 15 = 5a - 10 + 50\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 27a - 5a =  - 10 + 50 + 9 + 15\\ \Leftrightarrow  - 32a = 64 \Leftrightarrow a =  - 2\end{array}\].

b)  Giải phương trình (3):

 \[3x(x - 5) - 4(x - 4) = 3(x - 1)(x + 3)\]

\[ \Leftrightarrow 3{x^2} - 15x - 4x + 16 = 3{x^2} + 9x - 3x - 9\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 15x - 4x - 9x + 3x =  - 9 - 16\\ \Leftrightarrow  - 25x =  - 25 \Leftrightarrow x = 1\end{array}\]

Nghiệm của phương trình (2) gấp 5 nghiệm của phương trình (3) nghĩa là phương trình (2) có nghiệm là 5. Thay \[x = 5\] vào hai vế phương trình (2) ta có:

\[(5 - a)(5 + 5) - 20a + 17 = (5 + a)(5 - 6) - 15\]

\[ \Leftrightarrow 50 - 10a - 20a + 17 =  - 5 - a - 15\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 10a - 20a + a =  - 5 - 15 - 50 - 17\\ \Leftrightarrow  - 29a =  - 87 \Leftrightarrow a = 3\end{array}\]

Ví dụ 7: Giải các phương trình:

a) \[\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{4^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{9^2}}}} \right)(18x - 45) = 2(x - 1) + 97\].(1)

b) \[\left( {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{199.200}}} \right).2017x = \frac{{2016}}{{101}} + \frac{{2016}}{{102}} + ... + \frac{{2016}}{{199}} + \frac{{2016}}{{200}}\]                                                           .(2)

c) \[\left( {\frac{{10}}{{1.3}} + \frac{{10}}{{3.5}} + ... + \frac{{10}}{{9.11}}} \right).2,2x - [0,8.(7,5 - 2,5x)]:0,25 = 12\].(3)

Tìm cách giải: Các phương trình trong ví dụ 7 xuất hiện các dãy tổng hoặc tích các phân số hoặc các biểu thức chứa phân số có quy luật. Trước hết ta tính toán để rút gọn các dãy đó, rồi thay kết quả vào phương trình để giải tiếp. Trong câu b) và c) ta gặp các phân số dạng \[\frac{m}{{a.(a + m)}}\] với a; m là các số và \[a \ne  - m\].

Ta phải biến đổi như sau:

\[\begin{array}{l}\frac{m}{{a.(a + m)}} = \frac{{(a + m) - a}}{{a(a + m)}}\\ = \frac{{(a + m)}}{{a(a + m)}} - \frac{a}{{a(a + m)}}\\ = \frac{1}{a} - \frac{1}{{a + m}}\end{array}\].

(phương pháp biến đổi trên thường gọi là: Sai phân hữu hạn)

Giải

a)  Ta có

\[\begin{array}{l}\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{4^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{9^2}}}} \right)\\ = \frac{{{2^2} - 1}}{{{2^2}}}.\frac{{{3^2} - 1}}{{{3^2}}}.\frac{{{4^2} - 1}}{{{4^2}}}.....\frac{{{9^2} - 1}}{{{9^2}}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l} = \frac{{1.3}}{{2.2}}.\frac{{2.4}}{{3.3}}.\frac{{3.5}}{{4.4}}.....\frac{{8.10}}{{9.9}}\\ = \frac{{1.2.3.....8}}{{2.3.4.....9}}.\frac{{3.4.5.....10}}{{2.3.4....9}}\\ = \frac{{10}}{{18}} = \frac{5}{9}\end{array}\]

Do đó phương trình trở thành:

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{5}{9}(18x - 45) = 2(x - 1) + 97\\ \Leftrightarrow 10x - 25 = 2x - 2 + 97\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 10x - 2x =  - 2 + 97 + 25\\ \Leftrightarrow 8x = 120 \Leftrightarrow x = 15\end{array}\]

b) Xét \[\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{199.200}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{199}} - \frac{1}{{200}}\]

\[ = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{199}} + \frac{1}{{200}} - 2\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{200}}} \right)\]

\[\begin{array}{l} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{199}} + \frac{1}{{200}} - \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{100}}} \right)\\ = \frac{1}{{101}} + \frac{1}{{102}} + ... + \frac{1}{{199}} + \frac{1}{{200}}\end{array}\]

Vậy phương trình trở thành

\[\begin{array}{l}\left( {\frac{1}{{101}} + \frac{1}{{102}} + ... + \frac{1}{{199}} + \frac{1}{{200}}} \right).2017x\\ = 2016.\left( {\frac{1}{{101}} + \frac{1}{{102}} + ... + \frac{1}{{199}} + \frac{1}{{200}}} \right)\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow 2017x = 2016 \Leftrightarrow x = \frac{{2016}}{{2017}}\].

c) Ta có:

\[\frac{{10}}{{1.3}} + \frac{{10}}{{3.5}} + ... + \frac{{10}}{{9.11}} = 5.\left( {\frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{3.5}} + ... + \frac{2}{{9.11}}} \right)\]

\[\begin{array}{l} = 5.\left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{9} - \frac{1}{{11}}} \right)\\ = 5.\left( {1 - \frac{1}{{11}}} \right) = \frac{{50}}{{11}}\end{array}\].

Khi ấy phương trình trở thành

 \[\frac{{50}}{{11}}.2,2x - [0,8.(7,5 - 2,5)]:0,25 = 12\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 10x - (6 - 2x).4 = 12\\ \Leftrightarrow 10x - 24 + 8x = 12\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow 18x = 36\]

\[ \Leftrightarrow x = 2\].