Giải

a) \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow 5,5 - 11x = {\rm{0}}\] hoặc \[\left[ {\frac{{2\left( {2x - 3} \right)}}{5} - \frac{{4x - 5}}{4}} \right] = {\rm{0    }}\]

Với

 \[\begin{array}{l}5,5 - 11x = {\rm{0}}\\ \Leftrightarrow  - 11x =  - 5,5\\ \Leftrightarrow x = {\rm{0}},5\end{array}\]

Với

 \[\begin{array}{l}\frac{{2\left( {2x - 3} \right)}}{5} - \frac{{4x - 5}}{4} = {\rm{0}}\\ \Leftrightarrow 8\left( {2x - 3} \right) - 5\left( {4x - 5} \right) = {\rm{0}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 16x - 24 - 2{\rm{0}}x + 25 = {\rm{0}}\\ \Leftrightarrow  - 4x =  - 1 \Leftrightarrow x = {\rm{0}},25\end{array}\]

Tập nghiệm của phương trình là: \[S = \left\{ {{\rm{0}},25;{\rm{0}},5} \right\}\]

b)    Ta có:  

\[\begin{array}{l}{x^4} - {x^2} - 12 = {x^2} - 4{x^2} + 3{x^2} - 12\\ = {x^2}\left( {{x^2} - 4} \right) + 3\left( {{x^2} - 4} \right)\end{array}\]

\[ = \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)\]

Do đó \[\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {9 - 4x} \right) - \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {2x + 3} \right) = {\rm{0}}\]

\[ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {9 - 4x - 2x - 3} \right) = {\rm{0}}\]

\[ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {6 - 6x} \right) = {\rm{0}}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = {\rm{0}}\\x + 2 = {\rm{0}}\\6 - 6x = {\rm{0}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 2\\x = 1\end{array} \right.({\rm{do }}{x^2} + 3 > {\rm{0}}\forall x)\end{array}\]

 (do \[{x^2} + 3 > {\rm{0}}\forall x\] )

Tập nghiệm của phương trình là: \[S = \left\{ { - 2;1;2} \right\}\]

c)     \[\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 7} \right) - x - \left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right) - {\left( {2x - 3} \right)^2} = {\rm{0}}\]

\[ \Leftrightarrow 2{x^2} + 14x - x - 7 - x - {x^2} + 16 - 4{x^2} + 12x - 9 = {\rm{0}}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 3{x^2} + 24x = {\rm{0}}\\ \Leftrightarrow x\left( {24 - 3x} \right) = {\rm{0}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\rm{0}}\\24 - 3x = {\rm{0}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\rm{0}}\\ - 3x =  - 24\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\rm{0}}\\x = 8\end{array} \right.\end{array}\]

Tập nghiệm của phương trình là: \[S = \left\{ {{\rm{0}};8} \right\}\].

Ví dụ 2. Giải phương trình: \[{x^3} - 5{x^2} + 11x - 15 = {\rm{0}}\] (1)

Tìm cách giải: Ta phải phân tích đa thức ở vế trái thành nhân tử. Thông thường với đa thức bậc cao\[( \ge 2)\] ta sử dụng hệ quả của định lý Bézout (Bézout (1730 - 1783) nhà toán học Pháp): Đa thức f(x) chia hết cho (x - a) khi và chỉ khi f(a) = 0. Nói cách khác: Nếu f(a) = 0 thì f(x) phải chửa nhân tử (x - a). Ở ví dụ này ta thay x bằng một trong các ước số của 15 ta thấy: \[f\left( 3 \right) = {3^3} - {5.3^2} + 11.3 - 15 = {\rm{0}}\]. Như vậy \[{x^3} - 5{x^2} + 11x - 15\] chứa một nhân tử là \[\left( {x - 3} \right)\].Từ đó có cách giải sau:

Giải

\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - 2{x^2} + 6x + 5x - 15 = {\rm{0}}\]

\[ \Leftrightarrow {{\rm{x}}^2}\left( {x - 3} \right) - 2x\left( {x - 3} \right) + 5\left( {x - 3} \right) = {\rm{0}}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 2x + 5} \right) = {\rm{0}}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = {\rm{0}}\\{x^2} - 2x + 5 = {\rm{0}}\end{array} \right.\end{array}\]

Nếu\[x - 3 = {\rm{0}}\]  thì \[x = 3\].

Phương trình \[{x^2} - 2x + 5 = {\rm{0}}\] vô nghiệm vì \[{x^2} - 2x + 5 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4 > {\rm{0}},\forall x\].

Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ 3 \right\}\] .

Nhận xét: Thực chất phương pháp làm trên là nhẩm nghiệm để tìm ra một nhân tử chung, từ đó phân tích được ve trái thành nhân tử để giải phương trình tích.

Ví dụ 3. Giải phương trình:\[{y^2}\left( {{y^4} - 29{y^2} + 244} \right) = 576\] (1)

Tìm cách giải: Chuyển vế rồi thay \[{y^2} = 4\] ta thấy vế trái nhận giá trị 0. Do đó vế trái nhận \[\left( {{y^2} - 4} \right)\] là nhân tử chung. Từ đó ta có cách giải sau:

Giải

\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow {y^6} - 29{y^4} + 244{y^2} - 576 = {\rm{0}}\]

\[ \Leftrightarrow {y^6} - 4{y^4} - 25{y^4} + 1{\rm{00}}{y^2} + 144{y^2} - 576 = {\rm{0}}\]

\[ \Leftrightarrow {y^4}\left( {{y^2} - 4} \right) - 25{y^2}\left( {{y^2} - 4} \right) + 144\left( {{y^2} - 4} \right) = {\rm{0}}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{y^2} - 4} \right)\left( {{y^4} - 25{y^2} + 144} \right) = {\rm{0}}\\ \Leftrightarrow \left( {{y^2} - 4} \right)\left( {{y^4} - 9{y^2} - 16{y^2} + 144} \right) = {\rm{0}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{y^2} - 4} \right)\left[ {{y^2}\left( {{y^2} - 9} \right) - 16\left( {{y^2} - 9} \right)} \right] = {\rm{0}}\\ \Leftrightarrow \left( {{y^2} - 4} \right)\left( {{y^2} - 9} \right)\left( {{y^2} - 16} \right) = {\rm{0}}\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow \left( {y - 4} \right)\left( {y - 3} \right)\left( {y - 2} \right)\left( {y + 2} \right)\left( {y + 3} \right)\left( {y + 4} \right) = {\rm{0}}\]

Vậy phương trình (1) có 6 nghiệm là: \[y =  \pm 2;y =  \pm 3;y =  \pm 4\]

Tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ { - 4; - 3; - 2;2;3;4} \right\}\]

Nhận xét. Sau khi phân tích vế trái (VT) thành \[\left( {{y^2} - 4} \right)\left( {{y^4} - 25{y^2} + 144} \right)\] ta dùng phương, pháp tách và thêm bớt, hoặc dùng phương pháp nhẩm nghiệm như trên để phân tích \[{y^4} - 25{y^2} + 144 = \left( {{y^2} - 9} \right)\left( {{y^2} - 16} \right)\].

Ví dụ 4. Giải phương trình \[{\left( {z + 3} \right)^3} - {\left( {z + 1} \right)^3} = 98\] (1)

Giải

\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow {z^3} + 9{z^2} + 27z + 27 - {z^3} - 3{z^2} - 3z - 1 = 98\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 6{z^2} + 24z - 72 = {\rm{0}}\\ \Leftrightarrow {z^2} + 4z - 12 = {\rm{0}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {z^2} + 6z - 2z - 12 = {\rm{0}}\\ \Leftrightarrow \left( {z + 6} \right)\left( {z - 2} \right) = {\rm{0}}\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z + 6 = {\rm{0}}\\z - 2 = {\rm{0}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z =  - 6\\z = 2\end{array} \right.\]

Tập nghiệm của phương trình (1) là \[S = \left\{ { - 6;2} \right\}\].

Nhận xét :Ta có cách giải khác:

Do z + 2 là trung bình cộng của z + 1 và z + 3 nên ta đặt z + 2 = y phương trình trở thành \[{\left( {y + 1} \right)^3} - {\left( {y - 1} \right)^3} = 98\].

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {y^3} + 3{y^2} + 3y + 1 - {y^3} + 3{y^2} - 3y + 1 = 98\\ \Leftrightarrow 6{y^2} = 96\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {y^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 4\\y =  - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z + 2 = 4\\z + 2 =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2\\z =  - 6\end{array} \right.\end{array}\]

Nghiệm của phương trình là \[z =  - 6;z = 2\].

Ví dụ 5. Tìm năm số tự nhiên liên tiếp, biết rằng tổng các lập phương của bốn số đầu hơn lập phương của số thứ năm là 8.

Tìm cách giải: Hai số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau 1 đơn vị.

Nếu gọi số nhỏ nhất là a thì các sổ tiếp theo là (a + 1); (a + 2); (a + 3); (a + 4) phân tích .

Dựa theo đầu bài ta lập phương trình

Giải

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là a; a + 1; a + 2; a + 3; a + 4; a + 5.

Ta có: \[{a^3} + {\left( {a + 1} \right)^3} + {\left( {a + 2} \right)^3} + {\left( {a + 3} \right)^3} - {\left( {a + 4} \right)^3} = 8\]

\[ \Leftrightarrow {a^3} + {a^3} + 3{a^2} + 3a + 1 + {a^3} + 6{a^2} + 12a + 8 + {a^3} + 9{a^2} + 27a + 27 - {a^3} - 12{a^2} - 48a - 64 = 8\]

\[ \Leftrightarrow 3{a^3} + 6{a^2} - 6a - 36 = {\rm{0}}\]

\[ \Leftrightarrow 3{a^3} - 6{a^2} + 12{a^2} - 24a + 18a - 36 = {\rm{0}}\]

\[ \Leftrightarrow 3{a^2}\left( {a - 2} \right) + 12a\left( {a - 2} \right) + 18\left( {a - 2} \right) = {\rm{0}}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {3{a^2} + 12a + 18} \right) = {\rm{0}}\\ \Leftrightarrow 3\left( {a - 2} \right)\left( {{a^2} + 4a + 6} \right) = {\rm{0}}\end{array}\]

Do \[{a^2} + 4a + 6 = {\left( {a + 2} \right)^2} + 2 > {\rm{0}}\forall {\rm{a}}\]nên \[a - 2 = {\rm{0}}\] hay \[a = 2\].

Vậy năm số tự nhiên liên tiếp cần tìm là 2; 3; 4; 5; 6.

Ví dụ 6. Giải phương trình: \[\left( {2{x^2} + x - 6} \right) + 3\left( {2{x^2} + x - 3} \right) - 9 = {\rm{0}}\].

Tìm cách giải: Ta thấy \[2{x^2} + x - 6\] và  \[2{x^2} + x - 3\] có các hạng tử chứa ẩn giống nhau. Phần số khác nhau. Ta đặt ẩn phụ.

Giải

Đặt \[2{x^2} + x - 6 = y\] thì \[2{x^2} + x - 3 = y + 3\] phương trình trở thành

\[\begin{array}{l}{y^2} + 3\left( {y + 3} \right) - 9 = {\rm{0}} \Leftrightarrow y\left( {y + 3} \right) = {\rm{0}}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = {\rm{0}}\\y + 3 = {\rm{0}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x^2} + x - 6 = {\rm{0}}\\2{x^2} + x - 3 = {\rm{0}}\end{array} \right.\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {2x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) = {\rm{0    }}\left( * \right)\\\left( {2x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) = {\rm{0    }}\left( {**} \right)\end{array} \right.\]

Từ \[\left( * \right) \Rightarrow x = 1,5;x =  - 2\]

Từ \[\left( {**} \right) \Rightarrow x =  - 1,5;x = 1\].

Tập nghiệm của phương trình là

 \[S = \left\{ { - 2; - 1,5;1;1,5} \right\}\].