Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu 67 câu trắc nghiệm tọa độ không gian phân theo dạng, tài liệu bao gồm 67 trang, 67 câu trắc nghiệm và có đáp án chi tiết. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

67 câu trắc nghiệm tọa độ không gian phân theo dạng - có lời giải chi tiết

TĐKG: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vecto pháp tuyến

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng (P): x –3y + 2z – 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).

Giải:

(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P)

\[ \Rightarrow \](Q) có VTPT \[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = (0; - 8; - 12) \ne \overrightarrow 0 \]

\[ \Rightarrow \](Q): 2y + 3z – 11 = 0.

Câu hỏi tương tự:

a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), (P) : x + 2y + 3z + 3 = 3.

ĐS: (Q): x - 2y + z – 2 = 0

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A B (2;1;3), (1;-2;1) và song song với đường thẳng d: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 1 + t}\\{y = 2t}\\{z =  - 3 - 2t}\end{array}} \right.\].

Giải:

Ta có \[\overrightarrow {BA}  = (1;3;2)\], d có VTCP \[\overrightarrow u  = (1;2; - 2)\].

Gọi \[\overrightarrow n \] là VTPT của (P)\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow n  \bot \overrightarrow {BA} }\\{\overrightarrow n  \bot \overrightarrow u }\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow \]chọn  \[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow u } \right] = ( - 10;4; - 1)\].

\[ \Rightarrow \]Phương trình của (P): 10x - 4y + z – 19 = 0.

Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng (d₁) và (d₂) có phương trình: (d₁): \[\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 2}}{1}\], (d₂): \[\frac{{x - 4}}{6} = \frac{{y - 1}}{9} = \frac{{z - 3}}{3}\]. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d₁) và (d₂).

Giải

Chứng tỏ (d₁) // (d₂). (P): x + y – 5z +10 = 0

Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 6y - 4z - 2 = 0\]. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ \[\overrightarrow v  = (1;6;2)\],vuông góc với mặt phẳng (\[\alpha \]): x + 4y + z – 11 = 0 và tiếp xúc với (S).

Giải

(S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của (\[\alpha \]) là \[\overrightarrow n  = (1;4;1)\]

\[ \Rightarrow \]VTPT của (P) là: \[{\overrightarrow n _P} = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow v } \right] = (2; - 1;2)\]

\[ \Rightarrow \]PT của (P) có dạng: 2x - y + 2z + m = 0.

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên \[d(I,(P)) = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m =  - 21}\\{m = 3}\end{array}} \right.\].

Vậy: (P): 2x - y + 2z + 3 = 0 hoặc (P): 2x – y + 2z - 21 = 0.

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng (d₁): \[\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{{ - 3}}\]và (d₂) : \[\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 4}}{5}\]. Chứng minh rằng điểm M, d₁, d₂ cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó.

Giải

d₁ qua M₁ (0;-1;0) và có \[\overrightarrow {{u_1}}  = (1; - 2; - 3)\], d₂ qua M₂ (0;1;4) và có \[\overrightarrow {{u_2}}  = (1;2;5)\].

\[\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 4; - 8;4) \ne \overrightarrow 0 \], \[\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = (0;2;4)\]

\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 0 \Rightarrow {d_1},{d_2}\]đồng phẳng.

Gọi (P) là mặt phẳng chứa \[{d_1},{d_2}\]

\[ \Rightarrow \]  (P) có VTPT \[\overrightarrow n  = (1;2; - 1)\] và đi qua M₁ nên có phương trình x + 2y – z + 2 = 0. Kiểm tra thấy điểm M (1;–1;1) \[ \in \] (P).

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu

Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: \[\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{z}{1}\]và mặt cầu (S): \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 4z + 2 = 0\]. Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).

Giải

(S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP \[\overrightarrow u  = (2;2;1)\].

(P) // d, Ox\[ \Rightarrow \](P) có VTPT \[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right] = (0;1; - 2)\]\[ \Rightarrow \]PT của (P) có dạng:\[y - 2z + D = 0\]

(P) tiếp xúc với (S) \[ \Leftrightarrow d(I,(P)) = R\]\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - 4 + D} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = 2 \Leftrightarrow |D - 3| = 2\sqrt 5  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{D = 3 + 2\sqrt 5 }\\{D = 3 - 2\sqrt 5 }\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow (P):y - 2z + 3 + 2\sqrt 5  = 0\] hoặc \[(P):y - 2z + 3 - 2\sqrt 5  = 0\].

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 4 = 0\]và mặt phẳng (P): \[x + z - 3 = 0\]. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1;-1) vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

Giải

(S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT \[\overrightarrow {{n_P}}  = (1;0;1)\].

PT (Q) đi qua M có dạng: \[A(x - 3) + B(y - 1) + C(z + 1) = 0,{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\]

(Q) tiếp xúc với (S) \[ \Leftrightarrow \]\[d(I,(Q)) = R\]

\[ \Leftrightarrow \left| { - 4A + B + C} \right| = 3\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \] (*)

(Q) \[ \bot \](P)\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0 \Leftrightarrow A + C = 0 \Leftrightarrow C =  - A\] (**)

Từ (*), (**)

\[\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {B - 5A} \right| = 3\sqrt {2{A^2} + {B^2}} \\ \Leftrightarrow 8{B^2} - 7{A^2} + 10AB = 0\\ \Leftrightarrow A = 2B \vee 7A =  - 4B\end{array}\]

Với A = 2B. Chọn B = 1, A = 2, C = –2

\[ \Rightarrow \] PT (Q): 2x + y - 2z - 9 = 0

Với 7A = -4B. Chọn B = –7, A = 4, C = –4

\[ \Rightarrow \] PT (Q): 4x - 7y - 4z - 9 = 0

Câu hỏi tương tự:

a) Với (S): \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 4z + 5 = 0\], (P): 2x + y - 6z + 5 = 0, M(1;1;2).

ĐS: (Q): 2x + 2y + z - 6 = 0 hoặc (Q): 11x - 10y + 2z  - 5 = 0 .

Câu 8. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\]. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r = 3.

(S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox \[ \Rightarrow (P):ay + bz = 0\].

Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I. Suy ra: –2a – b = 0 \[ \Leftrightarrow \] b = –2a (a ≠ 0) \[ \Rightarrow (P):y - 2z = 0\].

Câu 9. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y + 2z - 1 = 0\] và đường thẳng \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y - 2 = 0}\\{2x - z - 6 = 0}\end{array}} \right.\]. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r =1.

(S) có tâm I(-1;1;-1), bán kính R = 2. PT mặt phẳng (P) có dạng:\[ax + by + cz + d = 0\]   (\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0\]).

Chọn M(2;0;-2), N(3;1;0) \[ \in \]d .

Ta có:

 \[\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M \in (P)}\\{N \in (P)}\\{d(I,(P)) = \sqrt {{R^2} - {r^2}} }\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = b,2c =  - (a + b),d =  - 3a - b(1)}\\{17a =  - 7b,2c =  - (a + b),d =  - 3a - b(2)}\end{array}} \right.\end{array}\]

Với (1) \[ \Rightarrow (P):x + y - z - 4 = 0\]

Với (2) \[ \Rightarrow (P):7x - 17y + 5z - 4 = 0\]

Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng \[{\Delta _1}:\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\] , \[{\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\] và mặt cầu (S):\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y + 4z - 3 = 0\]. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\].

\[(P):y + z + 3 + 3\sqrt 2  = 0\] hoặc \[(P):y + z + 3 - 3\sqrt 2  = 0\]

Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 11 = 0\] và mặt phẳng (\[\alpha \]) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (\[\beta \]) song song với (\[\alpha \]) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng \[p = 6\pi \].

Do (\[\beta \])// (\[\alpha \]) nên (\[\beta \]) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D ≠ 17)

(S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6p nên có bán kính r = 3.

Khoảng cách từ I tới (\[\beta \]) là \[h = \sqrt {{R^2} - {r^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4\]

Do đó \[\frac{{\left| {2.1 + 2.( - 2) - 3 + D} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = 4 \Leftrightarrow \left| { - 5 + D} \right| = 12 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{D =  - 7}\\{D = 17(loai)}\end{array}} \right.\]

Vậy (\[\beta \]) có phương trình 2x + 2y – z – 7 = 0 .

Câu hỏi tương tự:

a) (S):  \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z - 11 = 0\], \[(\alpha ):2x + y - 2z + 19 = 0,p = 8\pi \]

ĐS: \[(\beta ):2x + y - 2z + 1 = 0\].

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách

Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): x + y + z = 0 và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng \[\sqrt 2 \].

Giải

PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: \[Ax + By + Cz = 0\] (với \[{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\]).

Vì (P) \[ \bot \](Q) nên: 1.A +1.B + 1.C = 0 \[ \Leftrightarrow \]C = -A - B (1)

\[\begin{array}{l}d(M,(P)) = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {A + 2B - C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {(A + 2B - C)^2} = 2({A^2} + {B^2} + {C^2})\end{array}\]    (2)

Từ (1) và (2) ta được: \[8AB + 5{B^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{B = 0(3)}\\{8A + 5B = 0(4)}\end{array}} \right.\]·

Từ (3): \[B = 0 \Rightarrow C =  - A\]. Chọn A = 1, C = –1\[ \Rightarrow (P):x - z = 0\]

Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 \[ \Rightarrow \]C = 3 \[ \Rightarrow (P):5x - 8y + 3z = 0\].

Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \[\Delta :\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{z}{4}\] và điểm M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường thẳng \[\Delta \], đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng \[\Delta \] và mặt phẳng (P) bằng 4.

Giải

Phương trình (P) đi qua M(0;–2; 0) có dạng: ax + by + cz + 2b = 2 (\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0\])

\[\Delta \] đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP \[\overrightarrow u  = (1;1;4)\]

Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta //(P)}\\{d(A;(P)) = d}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b + 4c = 0}\\{\frac{{\left| {a + 5b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 4c}\\{a =  - 2c}\end{array}} \right.\].

Với a = 4c. Chọn a = 4, c = 1\[ \Rightarrow \]b = -8 \[ \Rightarrow \]Phương trình \[(P):4x - 8y + z - 16 = 0\]

Với a = -2c. Chọn a = 2, c = -1\[ \Rightarrow \]b = 2\[ \Rightarrow \]Phương trình \[(P):2x + 2y - z + 4 = 0\]

Câu hỏi tương tự:

a) Với \[\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{4};M(0;3; - 2),d = 3\].

ĐS: \[(P):2x + 2y - z - 8 = 0\] hoặc \[(P):4x - 8y + z + 26 = 0\].

Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d): \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y =  - 1 + 2t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\] và điểm A(-1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3.

Giải

(d) đi qua điểm M(0;-1;1) và có VTCT \[\overrightarrow u  = (1;2;0)\]. Gọi \[\overrightarrow n  = (a;b;c)\]với \[{a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0\] là VTPT của (P) .

PT mặt phẳng (P): a(x - 0) + b(y +1) + c(z -1) = 0\[ \Leftrightarrow \]ax + by + cz + b - c = 0 (1).

Do (P) chứa (d) nên: \[\overrightarrow u .\overrightarrow n  = 0 \Leftrightarrow a + 2b = 0 \Leftrightarrow a =  - 2b\] (2)

\[\begin{array}{l}d(A,(P)) = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| { - a + 3b + 2c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 3\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {5b + 2c} \right|}}{{\sqrt {5{b^2} + {c^2}} }} = 3\\ \Leftrightarrow \left| {5b + 2c} \right| = 3\sqrt {5{b^2} + {c^2}} \end{array}\]

\[ \Leftrightarrow 4{b^2} - 4bc + {c^2} = 0 \Leftrightarrow {(2b - c)^2} = 0 \Leftrightarrow c = 2b\]             (3)

Từ (2) và (3), chọn b = -1 \[ \Rightarrow \]a = 2, c = -2 \[ \Rightarrow \]PT mặt phẳng (P): \[2x - y - 2z + 1 = 0\].

Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M(-1;1;0), N(0;0;-2), I(1;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng 3

Giải

PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0\]).

Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M \in (P)}\\{N \in (P)}\\{d(I,(P)) = \sqrt 3 }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - b,2c = a - b,d = a - b(1)}\\{5a = 7b,2c = a - b,d = a - b(2)}\end{array}} \right.\]

Với (1) \[ \Rightarrow (P):x - y + z + 2 = 0\]

Với (2) \[ \Rightarrow (P):7x + 5y + z + 2 = 0\].

Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1;-1;2), B(1;3;0), C(-3;4;1), D(1;2;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).

Giải

PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0\]).

Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A \in (P)}\\{B \in (P)}\\{d(C,(P)) = d(D,(P))}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - b + 2c + d = 0}\\{a + 3b + d = 0}\\{\frac{{\left| { - 3a + 4b + c + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| {a + 2b + c + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2b,c = 4a,d =  - 7a}\\{c = 2a,b = a,d =  - 4a}\end{array}} \right.\]

Với b = 2a, c = 4a, d = -7a \[ \Rightarrow (P):x + 2y + 4z - 7 = 0\].

Với c = 2a, b = a, d = -4a \[ \Rightarrow (P):x + y + 2z - 4 = 0\].

Câu hỏi tương tự:

a) Với A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1), D(0;3;1).

ĐS: \[(P):4x + 2y + 7z - 15 = 0\] hoặc \[(P):2x + 3z - 5 = 0\].

Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;3), B(0;-1;2), C(1;1;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng khoảng cách từ C đến (P).

Giải

Vì \[O \in (P)\]nên (P): \[ax + by + cz = 0\], với \[{a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0\].

Do \[A \in (P)\]\[ \Rightarrow \]\[a + 2b + 3c = 0\] (1) và \[d(B,(P)) = d(C,(P))\]\[ \Leftrightarrow \left| { - b + 3c} \right| = \left| {a + b + c} \right|\]      (2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \]b = 0 hoặc c = 0.

Với b = 0 thì a = -3c \[ \Rightarrow \](P): 3x - z = 0

Với c = 0 thì a = -2b \[ \Rightarrow \](P): 2x - y = 0

Câu hỏi tương tự:

a) Với A(1;2;0), B(0;4;0), C(0;0;3).

ĐS: -6x + 3y + 4z = 0 hoặc 6x - 3y + 4z = 0 .

Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;-1), B(1;1;2), C(-1;2;-2) và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (\[\alpha \]) đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB = 2IC .

Giải

PT (\[\alpha \]) có dạng: \[ax + by + cz = 0\], với \[{a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0\].

Do A(1;1;-1) \[ \in \] (\[\alpha \]) nên: a + b - c + d = 0 (1);

(\[\alpha \])\[ \bot \](P) nên a - 2b + c = 0   (2)

\[\begin{array}{l}IB = 2IC \Rightarrow d(B,(\alpha )) = 2d(C;(\alpha ))\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + b + 2c + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 2\frac{{\left| { - a + 2b - 2c + d} \right|}}{{\sqrt {5{b^2} + {c^2}} }}\end{array}\]