Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian, tài liệu bao gồm 18 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian

Phương trình tổng quát của đường thẳng

I. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Định nghĩa 1. Vectơ \[\overrightarrow n  \ne \overrightarrow 0 \] có giá vuông góc với đường thẳng ∆ gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.

Tính chất 1. Ta có các tính chất sau:

a) Các vectơ pháp tuyến của cùng một đường thẳng thì cùng phương.

b) Hai đường thẳng song song thì vectơ phát tuyến cùng phương.

c) Hai đường thẳng vuông góc thì vectơ pháp tuyến vuông góc.

Định lý 1. Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm I(x₀; y₀), vectơ \[\overrightarrow n \]. Đường thẳng qua I nhận \[\overrightarrow n  = (a;b)\]là vectơ pháp tuyến có phương trình: a(x – x₀) + b(y – y₀) = 0

Định lý 2. Trong mặt phằng tọa, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng ax + by + c = 0 với \[{a^2} + {b^2} \ne 0\].

Trong đó \[\overrightarrow n  = (a;b)\]là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

Định lý 3. (Phương trình đoạn chắn) Phương trình đường thẳng qua điểm A(a; 0) và B(0; b) (\[a,b \ne 0\]) là \[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\].

Định nghĩa 2. Xét đường thẳng ∆ : y = kx + m cắt Ox tại M. Tia Mt phía trên trục hoành. Gọi α là góc tạo bởi tia Mt và tia Ox. Khi đó tan α được gọi là hệ số góc của ∆ và k = tan α.

Ví dụ 1. Cho đường thẳng a : 3x + 4y + 1 = 0.

a) Tìm một vectơ pháp tuyến của a.

b) Trong các điểm sau, điểm nào thuộc a: A(−1; 0), B(1; −1), C(0, 1).

c) Tìm điểm thuộc a mà hoành độ bằng hai lần tung độ.

d) Điểm M(3; 2) có thuộc a không? Nếu M không thuộc a, hãy viết phương trình đường thẳng qua M song song với a.

Lời giải

a) Một vectơ pháp tuyến của (a) là : \[\overrightarrow n  = (3;4)\]

b) Thay tọa độ điểm A, B, C vào đường thẳng (a) ta có:

Điểm A: 3.(−1) + 4.0 + 1 = −2 ≠ 0 nên A không thuộc (a).

Điểm B : 3.1 + 4.(−1) + 1 = 0 nên B thuộc (a).

Điểm C: 3.0+4.1+1 = 5 ≠ 0 nên C không thuộc (a).

c) Gọi D là điểm thuộc (a) mà hoành độ bằng hai lần tung độ.

Khi đó ta có: x_D = 2y_D. Thay tọa độ điểm D vào ta có:

3y_D + 4y_D + 1 = 0 ⇔ 7y_D + 1 = 0 ⇔ y_D = \[ - \frac{1}{7}\]

Với y_D = \[ - \frac{1}{7}\] ⇒ x_D = \[ - \frac{2}{7}\].

Vậy tọa độ điểm D là D(\[ - \frac{2}{7}\];\[ - \frac{1}{7}\])

d) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng (a) ta có:

3.3 + 4.2 + 1 = 18 ≠ 0 nên M không thuộc đường thẳng a

Gọi (b) là đường thẳng đi qua M và song song với (a)

Ta có: \[\overrightarrow {{n_b}}  = \overrightarrow {{n_a}}  = (3;4)\]

Phương trình đường thẳng (b) là:

3(x − 3) + 4(y − 2) = 0 ⇔ 3x + 4y − −17 = 0

Ví dụ 2. Cho đường thẳng (d) : ax + 2y + c = 0.

a) Tìm a biết vectơ pháp tuyến của d cùng phương với \[\overrightarrow n  = (2;1)\]

b) Tìm c biết đường thẳng qua điểm M(−1; 5).

Lời giải

a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng (d) là\[\overrightarrow {{n_d}}  = (a;2)\]

Do vectơ pháp tuyến của (d) cùng phương với \[\overrightarrow n  = (2;1)\] nên ta có:  \[\frac{a}{2} = \frac{2}{1}\]⇒ a = 4

b) Điểm M thuộc vào đường thẳng (d) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng (d) ta có: 4.(−1) + 2.5 + c = 0 ⇔ c = −6

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có A(−1; 1), B(2, −1), C(0, 4).

a) Viết phương trình đường cao AH.

b) Viết phương trình đường trung trực của BC.

c) Viết phương trình đường thẳng AB.

Lời giải

a) Ta có: \[\overrightarrow {BC}  = ( - 2,5)\]

Mà BC ⊥ AH nên \[\overrightarrow {{n_{AH}}}  = \overrightarrow {BC}  = ( - 2,5)\]

Đường thẳng AH đi qua điểm A và nhận \[\overrightarrow {BC} \] làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng AH là:

−2(x + 1) + 5(y − 1) = 0 ⇔ −2x + 5y − 7 = 0 ⇔ 2x − 5y + 7 = 0

b) Gọi I là trung điểm của B, C. Khi đó tọa độ điểm I là:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_I} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}}\\{{y_I} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_I} = 1}\\{{y_I} = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\]

Đường trung trực của BC là đường thẳng đi qua I nhận \[\overrightarrow {BC} \] làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường trung trực của BC là:

−2(x − 1) + 5(y − 3 2 ) = 0

⇔ −2x + 5y − 11 2 = 0 ⇔ 4x − 10y + 11 = 0

c) Ta có: \[\overrightarrow {AB}  = (3, - 2)\]khi đó ta có: \[\overrightarrow {{n_{AB}}}  = (2;3)\]

Phương trình đường thẳng AB là:

2(x + 1) + 3(y − 1) = 0 ⇔ 2x + 3y − 1 = 0

Vậy tọa độ giao điểm là: (\[\frac{{19}}{{13}}\]; \[\frac{{17}}{{13}}\]).

II. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Tính chất 2. Cho hai đường thẳng ∆₁ : a₁x + b₁y + c₁ = 0; ∆₂ : a₂x + b₂y + c₂ = 0. Khi đó:

∆₁, ∆₂ cắt nhau ⇔ \[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}\]; Khi đó tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0}\\{{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0}\end{array}} \right.\]

∆₁ // ∆₂ ⇔ \[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\]

∆₁ ≡ ∆₂ ⇔ \[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\]

Ví dụ 1. Cho đường thẳng a : 2x − 3y + 1 = 0 và điểm A(1; 2).

a) Viết phương trình đường thẳng qua A song song với a.

b) Viết phương trình đường thẳng b qua A vuông góc với a. Tìm tọa độ giao điểm của a và b.

Lời giải

a) Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và song song với a.

Khi đó: \[\overrightarrow d  = \overrightarrow a  = (2; - 3)\]

Phương trình đường thẳng (d):

2(x − 1) − 3(y − 2) = 0 ⇔ 2x − 3y + 4 = 0

b) Đường thẳng (b) vuông góc với đường thẳng (a) nên \[\overrightarrow b  = (3;2)\]

Vậy phương trình đường thẳng (b) là:

3(x − 1) + 2(y − 2) = 0 ⇔ 3x + 2y − 7 = 0

Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 3y + 1 = 0}\\{3x + 2y - 7 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{19}}{{13}}}\\{y = \frac{{17}}{{13}}}\end{array}} \right.\].

III. Bài tập

1. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(−1; −2) và C(−1; 3).

a) Viết phương trình tổng quát của đường cao hạ từ A (Đ/s: y = 2)

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC

(Đ/s: x = −1)

c) Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB.

(Đ/s: x + 2y = 0)

2. Cho tam giác A(−1; 3), B(1; 5) và C(3; −1).

a) Viết phương trình đường trung trực của AB và BC.

(Đ/s: AB : x + y − 1 = 0, BC : x − 3y + 4 = 0)

b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

(Đ/s: Tâm đường tròn ngoại tiếp \[\left( {\frac{{ - 1}}{4};\frac{5}{4}} \right)\]).

3. Cho đường thẳng d₁ : 3x−2y−1 = 0 và d₂ : x+y−2 = 0.

a) Chứng minh A(0; 2) thuộc d₂ và không thuộc d₁.

(Đ/s: Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d₂ và d₁:

3.0 − 2.2 − 1 = −5 ≠ 0 ⇒ A không thuộc vào đường thẳng d₁

0 + 2 − 2 = 0 ⇒ A thuộc vào đường thẳng d₂)

b) Chứng minh d₁ và d₂ cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm của d₁ và d₂.

(Đ/s: \[\frac{3}{1} \ne \frac{{ - 2}}{1}\] nên hai đường thẳng cắt nhau. Tọa độ giao điểm là: (1; 1))

c) Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với d₂. (Đ/s: x − y + 2 = 0)

d) Viết phương trình đường thẳng qua A và song song với d₁. (Đ/s: 3x − 2y + 4 = 0)

4. Cho tam giác ABC có phương trình 3 cạnh lần lượt là (AB) : x+4y−7 = 0,

(AC) : x+y−3 = 0,(BC) : 3x+8y+1 = 0.

a) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác. (Đ/s: A \[\left( {\frac{5}{3};\frac{4}{3}} \right)\], \[\left( { - 15;\frac{{11}}{2}} \right)\], C(5; −2))

b) Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua BC.

(Đ/s: Tọa độ điểm đối xứng vơi A qua BC là: \[\left( {\frac{{65}}{{219}};\frac{{ - 508}}{{219}}} \right)\])

5. Cho đường thẳng d₁ : 2x + 3y − 5 = 0 và điểm A(4; 5). Tìm tọa độ điểm B ∈ d₁ sao cho AB = 5. (Đ/s: B(1; 1), B \[\left( {\frac{{19}}{{13}};\frac{9}{{13}}} \right)\]).

6. Cho đường thẳng (d) : 3x − 2y + 3 = 0 và điểm A(2, 3).

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua A song song với d.

(Đ/s: 3x − 2y = 0)

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua A vuông góc với d.

(Đ/s: 2x + 3y − 13 = 0)

7. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(−3; 4) và C(2; 0).

a) Viết phương trình đường trung tuyến AM. (Đ/s: y = 2)

b) Viết phương trình đường cao BK. (Đ/s: x − 2y + 11 = 0)

c) Viết phương trình đường trung trực của AB. (Đ/s: 2x − y + 5 = 0)

8. Cho tam giác ABC có A(0; 1), B(−2; 3) và C(2; 0).

a) Viết phương trình đường cao AD, BE và tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC. (Đ/s: AD : 4x − 3y + 3 = 0, BE : 2x − y + 7 = 0, H(−9; −11))

b) Viết phương trình trung trực của cạnh AB, AC và tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. (Đ/s: Đường trung trực của cạnh AB: x − y + 3 = 0

Đường trung trực của cạnh AC: 2x − y \[ - \frac{3}{2}\]= 0 Tọa độ điểm I\[\left( {\frac{9}{2};\frac{{15}}{2}} \right)\])

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC và chứng minh H, I, G thẳng hàng.

(Đ/s: \[G(0;\frac{4}{3})\] ;\[\overrightarrow {GH}  = \left( { - 9;\frac{{ - 37}}{3}} \right)\] ; \[\overrightarrow {HI}  = \left( {\frac{{27}}{2};\frac{{37}}{2}} \right)\]

Ta có: \[\frac{{ - 9}}{{\frac{{27}}{2}}} = \frac{{\frac{{ - 37}}{3}}}{{\frac{{37}}{2}}}\] suy ra 3 điểm thẳng hàng).

Phương trình tham số của đường thẳng

I. Lý thuyết

Định nghĩa 1. Vectơ \[\overrightarrow u  \ne \overrightarrow 0 \] có giá song song hoặc trùng với ∆ gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

Tính chất 1. Vectơ chỉ phương có các tính chất sau:

Các vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì cùng phương với nhau và vuông góc với vectơ pháp tuyến.

Hai đường thẳng song song thì vectơ chỉ phương của đường này là vectơ chỉ phương của đường thẳng kia.

Hai đường thẳng vuông góc thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia.

Định lý 1. Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm I(x_o; y_o), vectơ \[\overrightarrow u \]. Đường thẳng qua I nhận \[\overrightarrow u  = (a;b)\]là vectơ chỉ phương có phương trình tham số: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} + at}\\{y = {y_0} + bt}\end{array}} \right.\]

Ghi chú. Khi khử tham số t thì phương trình trên được viết lại dưới dạng

\[\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}\] (a, b ≠ 0).

Phương trình này được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng (trong trường hợp ab = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc).

Ghi chú. Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(x_A, y_B), B(x_B, y_B) có dạng \[\frac{{x - {x_A}}}{{{x_B} - {x_A}}} = \frac{{y - {y_A}}}{{{y_B} - {y_A}}}\]

(Trong trường hợp trên ta cần có x_B ≠ x_A, y_B ≠ y_A).

II. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho đường thẳng d có phương trình tham số \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y =  - 1 + 4t}\end{array}} \right.\]

a) Tìm một vectơ chỉ phương của d.

b) Tìm điểm thuộc đường thẳng có hoành độ bằng 5.

c) Tìm điểm thuộc đường thẳng có hoành độ bằng 3 tung độ.

d) Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A(−1; 1) song song với d.

Lời giải

a) Một vectơ chỉ phương của d là: \[\overrightarrow u  = (2;4)\]

b) Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d có hoành độ bằng 5, khi đó tọa độ điểm M có dạng M(5, y_M). Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta có:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 = 3 + 2t}\\{{y_M} =  - 1 + 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{{y_M} = 3}\end{array}} \right.\]

Vậy tọa độ điểm M là M(5; 3)

c) Gọi N(x_N, y_N) là điểm thuộc đường thẳng d có hoành độ bằng ba lần tung độ, khi đó ta có: x_N = 3y_N. Thay tọa độ điểm N vào phương trình đường thẳng d ta có:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{y_N} = 3 + 2t}\\{{y_N} =  - 1 + 4t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{3}{5}}\\{{y_N} = \frac{7}{5}}\end{array}} \right.\]

Với \[{y_N} = \frac{7}{5}\] ⇒ \[{x_N} = \frac{{21}}{5}\].

Vậy tọa độ điểm N là N( \[\frac{{21}}{5}\]; \[\frac{7}{5}\])

d) Gọi d₁ là đường thẳng đi qua A và song song với d. Khi đó ta có: \[\overrightarrow {{u_{{d_1}}}}  = \overrightarrow {{u_d}}  = (2;4)\]

Phương trình tham số đường thẳng d₁ là: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 1 + 2t}\\{y = 1 + 4t}\end{array}} \right.\]

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có 3 đỉnh là A(1; 2), B(−1; 4), C(−2; 0).

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A song song với BC.

c) Tìm điểm D thuộc BC sao cho AD vuông góc với BC.

Lời giải

a) Ta có: \[\overrightarrow {AB}  = ( - 2;2)\]. Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là: \[\overrightarrow {{u_{AB}}}  = (1; - 1)\]

Phương trình tham số của đường thẳng AB là: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - t}\end{array}} \right.\]

b) Ta có: \[\overrightarrow {BC}  = ( - 1; - 4)\]. Gọi d là đường thẳng đi qua A và song song với BC.

Khi đó: \[\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {BC}  = ( - 1; - 4)\]

Phương trình tham số của đường thẳng BC là: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - t}\\{y = 2 - 4t}\end{array}} \right.\]

c) Phương trình đường thẳng BC là: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 2 - t}\\{y =  - 4t}\end{array}} \right.\]

Ta có: AD ⊥ BC. Khi đó: \[\overrightarrow {{u_{AD}}}  = (4; - 1)\].

Phương trình tham số của đường thẳng AD là : \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 4{t_1}}\\{y = 2 - {t_1}}\end{array}} \right.\]

D = AD ∩ BC. Khi đó:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2 - t = 1 + 4{t_1}}\\{ - 4t = 2 - {t_1}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t =  - 1}\\{{t_1} =  - 2}\end{array}} \right.\]

Với t = −1 vậy tọa độ điểm D là D(−1; 4)

III. Bài tập

1. Cho đường thẳng d: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 3 + 2t}\\{y = 1 - 3t}\end{array}} \right.\]

a) Tìm điểm thuộc đường thẳng có tung độ bằng 5. (Đ/s: (\[\frac{{ - 7}}{3};5\]))

b) Tìm điểm thuộc đường thẳng có tung độ bằng 3 lần hoành độ. (Đ/s: (\[\frac{{ - 7}}{3};\frac{{10}}{9}\]))

c) Cho điểm A(−1; 0). A có thuộc d không? Tìm điểm B thuộc d sao cho AB = \[\sqrt 5 \]. (Đ/s: A không thuộc vào d . Tọa độ điểm B là B(−3; 1) hoặc B(\[\frac{{ - 11}}{{13}};\frac{{ - 29}}{{13}}\]))