Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz, tài liệu bao gồm 57 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz

BÀI 1. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ

Dạng 1. Tọa độ của vecto và các tính chất

Phương pháp

1. Định nghĩa: \[\overrightarrow a  = {a_1}\overrightarrow i  + a{}_2\overrightarrow j  + {a_3}\overrightarrow k  \Leftrightarrow \overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})\]

2. Tính chất: Cho \[\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})\]; \[\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3})\]

\[\overrightarrow a  = \overrightarrow b  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1} = {b_1}}\\{{a_2} = {b_2}}\\{{a_3} = {b_3}}\end{array}} \right.\]

\[\overrightarrow a  \pm \overrightarrow b  = ({a_1} \pm {b_1};{a_2} \pm {b_2};{a_3} \pm {b_3})\]

\[k\overrightarrow a  = (k{a_1};k{a_2};k{a_3})\], \[k \in R\]

\[\overrightarrow 0  = (0;0;0)\], \[\overrightarrow i  = (1;0;0)\], \[\overrightarrow j  = (0;1;0)\], \[\overrightarrow k  = (0;0;1)\]

\[\overrightarrow a \],\[\overrightarrow b \] cùng phương \[ \Leftrightarrow \exists k \in R:\overrightarrow a  = k.\overrightarrow b \]   (\[\overrightarrow b  \ne \overrightarrow 0 \])

\[ \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{{a_3}}}{{{b_3}}}\] \[({b_1};{b_2};{b_3} \ne 0)\]

A. Ví dụ minh họa:

 Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho \[\overrightarrow a  = (1;2; - 3);\overrightarrow b  = ( - 2;2;0)\]. Tọa độ vectơ \[\overrightarrow c  = 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b \] là

A. \[\overrightarrow c  = (4; - 1; - 3)\]

B. \[\overrightarrow c  = (8; - 2; - 6)\]

C. \[\overrightarrow c  = (2;1;3)\]

D. \[\overrightarrow c  = ( - 2;4;3)\]

Lời giải

Chọn B

Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\overrightarrow a  = (2;4; - 6)}\\{3\overrightarrow b  = ( - 6;6;0)}\end{array}} \right.\]

Suy ra  \[\overrightarrow c  = 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  = (2 + 6;4 - 6; - 6 - 0)\]\[ \Rightarrow \overrightarrow c  = (8; - 2; - 6)\]

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \[\overrightarrow c  = (2; - 5;3);\overrightarrow b  = (0;2; - 1)\]Tọa độ vectơ x thỏa mãn \[2\overrightarrow a  + \overrightarrow x  = \overrightarrow b \] là

A. (−4; 2; −7).

B. (−4; 2; 3) .

C. (−4; 12; −7).

D. (−4; 12;−3).

Lời giải

Chọn C

Ta có \[2\overrightarrow a  + \overrightarrow x  = \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow x  = \overrightarrow b  - 2\overrightarrow a \]

Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow b  = (0;2; - 1)}\\{2\overrightarrow a  = (4; - 10;6)}\end{array}} \right.\]

Suy ra \[\overrightarrow x  = \overrightarrow b  - 2\overrightarrow a  = (0 - 4;2 + 10; - 1 - 6)\]

\[ \Rightarrow \overrightarrow x  = ( - 4;12; - 7)\]

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ \[\overrightarrow a  = (3; - 2;1);\overrightarrow b  = ( - 1;1; - 2)\]\[\overrightarrow c  = (2;1; - 3),\overrightarrow u  = (11; - 6;5)\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \[\overrightarrow u  = 3\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b  + \overrightarrow c \]

B. \[\overrightarrow u  = 2\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b  + \overrightarrow c \]

C. \[\overrightarrow u  = 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  + \overrightarrow c \]

D. \[\overrightarrow u  = 3\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b  - 2\overrightarrow c \]

Lời giải

Giả sử \[\overrightarrow u  = x\overrightarrow a  + y\overrightarrow b  + z\overrightarrow c \]

Ta có hệ phương trình: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - y + 2z = 11}\\{ - 2x + y + z =  - 6}\\{z - 2y - 3z = 5}\end{array}} \right.\]

Giải hệ ta được: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y =  - 3}\\{z = 1}\end{array}} \right.\]

Vậy \[\overrightarrow u  = 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  + \overrightarrow c \].

B. Bài tập áp dụng:

Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \[\overrightarrow a  =  - \overrightarrow i  + 2\overrightarrow j  - 3\overrightarrow k \]. Tọa độ của vectơ \[\overrightarrow a \] là

A. (−1;2; −3).

B. (2; −3; −1).

C. (2; −1; −3).

D. (−3;2; −1).

Câu 2. Câu nào sau đây sai?

A. \[\overrightarrow a  =  - 3\overrightarrow i  + \overrightarrow j  + \frac{1}{2}\overrightarrow k  \Leftrightarrow \overrightarrow a  = \left( { - 3;1;\frac{1}{2}} \right)\]

B. \[\overrightarrow a  = \frac{1}{2}\overrightarrow i  - 5\overrightarrow j  \Leftrightarrow \overrightarrow a  = \left( {\frac{1}{2};0; - 5} \right)\]

C. \[\overrightarrow a  = 2\overrightarrow i  - 3\overrightarrow j  \Leftrightarrow \overrightarrow a  = \left( {2; - 3;0} \right)\]

D. \[\overrightarrow a  = \frac{2}{5}\overrightarrow j  + \overrightarrow k  - 3\overrightarrow i  \Leftrightarrow \overrightarrow a  = \left( { - 3;\frac{2}{5};1} \right)\]

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ \[\overrightarrow u  = ( - 1;3; - 2);\overrightarrow v  = (2;5; - 1)\]

Tìm tọa độ của vectơ \[\overrightarrow a  = 2\overrightarrow u  - 3\overrightarrow v \]

A. \[\overrightarrow a  = \left( { - 8;9; - 1} \right)\]

B. \[\overrightarrow a  = \left( { - 8; - 9;1} \right)\]

C. \[\overrightarrow a  = \left( {8; - 9; - 1} \right)\]

D. \[\overrightarrow a  = \left( { - 8; - 9; - 1} \right)\]

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \[\overrightarrow u  =  - 2\overrightarrow j  - 3\overrightarrow k \] và \[\overrightarrow u  = \overrightarrow i  + 2\overrightarrow k \]khi đó tọa độ của \[\overrightarrow u  + \overrightarrow v \] đối với hệ tọa độ Oxyz là:

A. (1; −2; −1).

B. (1;0;1).

C. (1;2;2).

D. (−1;0;2) .

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \[\overrightarrow a  = (2; - 3;1);\overrightarrow b  = ( - 1;0;4)\]

Tìm tọa độ vectơ \[\overrightarrow u  =  - 2\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b \].

A. \[\overrightarrow u  = \left( { - 7;6; - 10} \right)\]

B. \[\overrightarrow u  = \left( { - 7; - 6;10} \right)\]

C. \[\overrightarrow u  = \left( {7;6;10} \right)\]

D. \[\overrightarrow u  = \left( { - 7;6;10} \right)\]

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 vecto \[\overrightarrow a  = (5;4; - 1);\overrightarrow b  = (2; - 5;3)\] và \[\overrightarrow c \] thỏa mãn hệ thức \[\overrightarrow c  = 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b \]. Tìm tọa độ \[\overrightarrow c \] ?

A. \[\overrightarrow c  = \left( {4;23; - 11} \right)\]

B. \[\overrightarrow c  = \left( {16;19; - 10} \right)\]

C. \[\overrightarrow c  = \left( {4;7;7} \right)\]

D. \[\overrightarrow c  = \left( {16;23;7} \right)\]

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \[\overrightarrow a  = (1;2;3);\overrightarrow b  = (2;2; - 1)\],\[\overrightarrow c  = (4;0; - 4)\]. Tọa độ vectơ \[\overrightarrow d  = \overrightarrow a  - \overrightarrow b  + 2\overrightarrow c \] là

A. \[\overrightarrow d  = \left( { - 7;0; - 4} \right)\]

B. \[\overrightarrow d  = \left( { - 7;0;4} \right)\]

C. \[\overrightarrow d  = \left( {7;0; - 4} \right)\]

D. \[\overrightarrow d  = \left( {7;0;4} \right)\]

Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho \[\overrightarrow a  = (1;2;3 - );\overrightarrow b  = ( - 2; - 4;6)\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \[\overrightarrow a  = 2\overrightarrow b \]

B. \[\overrightarrow b  =  - 2\overrightarrow a \]

C. \[\overrightarrow a  =  - 2\overrightarrow b \]

D. \[\overrightarrow b  = 2\overrightarrow a \]

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, để hai véctơ \[\overrightarrow a  = (m;2;3);\overrightarrow b  = (1;n;2)\]cùng phương thì m + n bằng:

A. \[\frac{{11}}{6}\]

B. \[\frac{{13}}{6}\]

C. \[\frac{{17}}{6}\]

D. 2 .

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ \[\overrightarrow a  = (2;1;1);\overrightarrow b  = (3; - 1;2)\]. Tọa độ của vectơ \[\overrightarrow c \] thỏa mãn biểu thức \[2\overrightarrow b  - \overrightarrow a  + 3\overrightarrow c  = \overrightarrow 0 \] là:

A. \[\left( { - \frac{3}{2};1; - \frac{5}{2}} \right)\]

B. \[\left( { - \frac{1}{2}; - 2; - \frac{5}{2}} \right)\]

C. \[\left( { - \frac{7}{2};2; - \frac{5}{2}} \right)\]

D. \[\left( { - \frac{7}{2};1; - 1} \right)\]

Dạng 2. Tìm tọa độ điểm

1. Định nghĩa: \[M(x;y;z)\]\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {OM}  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k \]  (x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ)

2. Chú ý:

\[M \in (Oxy) \Leftrightarrow z = 0\]; \[M \in (Oyz) \Leftrightarrow x = 0\];

 \[M \in (Oxz) \Leftrightarrow y = 0\]

\[M \in Ox \Leftrightarrow y = z = 0\]; \[M \in Oy \Leftrightarrow x = z = 0\];

\[M \in Oz \Leftrightarrow x = y = 0\]

3. Tính chất: Cho \[A({x_A};{y_A};{z_A})\], \[B({x_B};{y_B};{z_B})\]

\[\overrightarrow {AB}  = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A})\]

\[AB = \sqrt {{{({x_B} - {x_A})}^2} + {{({y_B} - {y_A})}^2} + {{({z_B} - {z_A})}^2}} \]

Tọa độ trung điểm M là trung điểm của đoạn AB:

 \[M(\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2})\]

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:

 \[G = (\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3})\]

Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

\[G = (\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4})\]

A. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; −3;2), B (0;1; −1)   và C(5; −1;2) . Tọa độ là trọng tâm G của tam giác ABC là

A. G(2; −1;1) .

B. G(2;1;1).

C. G(2;1; −1) .

D. G(−2;1; −1).

Lời giải

Chọn A

G là trọng tâm tam giác ABC nên:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{ - 3 + 1 - 1}}{3} =  - 1}\\{{y_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{1 + 0 - 5}}{3} = 2}\\{{z_C} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{2 - 1 + 2}}{3} = 1}\end{array}} \right.\]

Vậy G(2; −1;1) .

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A (1;0; −2), B (2;1;−1), C(1; −3;3) và điểm M thỏa mãn hệ thức \[\overrightarrow {AM}  = 2\overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {BC} \]. Tìm tọa độ điểm M .

A. (0; −5; −6).

B. (0; −5;2).

C. (0; −10;12).

D. (0; −5;4).

Lời giải

Chọn C

Ta có: \[\overrightarrow {AB}  = (1;1;1) \Rightarrow 2\overrightarrow {AB}  = (2;2;2)\]

\[\overrightarrow {BC}  = ( - 1; - 4;4) \Rightarrow 3\overrightarrow {BC}  = ( - 3; - 12;12)\]

\[ \Rightarrow 2\overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {BC}  = ( - 1; - 10;14)\]

Gọi \[M(x;y;z)\]Þ \[\overrightarrow {AM}  = (x - 1;y;z + 2)\]

\[\overrightarrow {AM}  = 2\overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 =  - 1}\\{y =  - 10}\\{z + 2 = 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y =  - 10}\\{z = 12}\end{array}} \right.\]

Vậy M (0; -10;12)

B. Bài tập áp dụng:

Câu 11. Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1;2;3). Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục Ox .

A. (2;0;0).

B. (1;0;0).

C. (3;0;0).

D. (0;2;3).

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1;2;3) . Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (Oxy)

A. N (−1; −2; −3).

B. N (1;2;0) .

C. N (−1; −2;3).

D. N (1;2; −3).

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;1;0), B(0;3;3). Khi đó

A. \[\overrightarrow {AB}  = ( - 1;2;3)\]

B. \[\overrightarrow {AB}  = (1;2;3)\]

C. \[\overrightarrow {AB}  = ( - 1;4;3)\]

D. \[\overrightarrow {AB}  = (0;3;0)\]

Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A(1;2;0) ; B(3;−1;1) và C(1;1;1). Tính tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

A. \[G\left( {\frac{5}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\]

B. \[G\left( { - \frac{5}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\]

C. \[G\left( {\frac{5}{3}; - \frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\]

D. \[G\left( {\frac{5}{3}; - \frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\]

Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0; −2), B(2;1; −1). Tìm độ dài của đoạn thẳng AB ?

A. \[\sqrt 2 \].

B. \[\sqrt {18} \].

C. \[2\sqrt 7 \].

D. \[\sqrt 3 \].

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ \[\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j ;\overrightarrow k } \right)\] cho hai điểm AB, thỏa mãn \[\overrightarrow {OA}  = 2\overrightarrow i  - \overrightarrow j  + \overrightarrow k \] và \[\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow i  + \overrightarrow j  - 3\overrightarrow k \]. Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn AB .

A. \[M\left( { - \frac{1}{2};1; - 2} \right)\]

B. \[M\left( { - \frac{3}{2};0; - 1} \right)\]

C. M (3; 0; −2).

D. \[M\left( {\frac{1}{2}; - 1;2} \right)\]

Câu 17. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm là A(1;3; −1), B(3; −1;5). Tìm tọa độ của điểm M thỏa mãn hệ thức \[\overrightarrow {MA}  = 3\overrightarrow {MB} \].

A. \[M\left( {\frac{5}{3};\frac{{13}}{3};1} \right)\]

B. \[M\left( {\frac{7}{3};\frac{1}{3};3} \right)\]

C. \[M\left( {\frac{7}{3};\frac{1}{3};3} \right)\]

D. M (4; −3;8).

Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;2), B(−2;1;3) , C(3;2;4), D(6;9; −5) . Hãy tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD.

A. (2;3; −1) .

B. (2; −3;1) .

C. (2;3;1).

D. (−2;3;1) .

Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (1;2; −1), B (2; −1;3), C (−3;5;1). Tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành là

A. D(−4;8; −5).

B. D(−2;2;5).

C. D(−4;8; −3) .

D. D(−2;8; −3) .

Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \[\overrightarrow {OM}  = (1;5;2)\], \[\overrightarrow {ON}  = (3;7; - 4)\]. Gọi P là điểm đối xứng với M qua N . Tìm tọa độ điểm P .

A. P(5;9; −10) .

B. P(7;9; −10).

C. P(5;9; −3).

D. P(2;6; −1) .

Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M (0;1;2), N (7;3;2), C (−5; −3;2). Tìm tọa độ điểm Q thỏa mãn \[\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {QP} \].

A. Q(12;5;2) .

B. Q(−12;5;2) .

 C. Q(−12; −5;2).

D. Q(−2; −1;2) .

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;2; −1), B(3;0;3) . Tìm tọa độ điểm C sao cho G(2;2;2) là trọng tâm tam giác ABC .

A. C(2;4;4).

B. C(0;2;2).

C. C(8;10;10) .

D. C(−2; −4; −4).

Câu 23. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết tọa độ các đỉnh A(−3;2;1),C(4;2;0), B¢(−2;1;1) , D¢(3;5;4) . Tìm tọa độ điểm A¢ của hình hộp.

A. A¢(−3;3;1).

B. A¢(−3; −3;3).

C. A¢(−3;−3;−3).

D. A¢(−3;3;3).

Câu 24. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (3;2;1), B(1; −1;2), C(1;2; −1). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn \[\overrightarrow {OM}  = 2\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} \].

 A. M (−2; 6; −4).

B. M (2; −6; 4).

C. M (−2; −6; 4).

D. M (5; 5; 0) .