Gọi ∆x là số gia của đối số và ∆y là số gia tương ứng của hàm số.

Ta có :

Với số gia ∆x của đối số x tại x₀ = -1 ,ta có:

Nhận xét: Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = x₀ thì phải liên tục tại điểm đó.

Bài 8: Tìm số gia của hàm số f(x) = x³, biết rằng:

Lời giải:

Số gia của hàm số được tính theo công thức:

Δy = f(x) – f(x₀) = f(x₀ + Δx) – f(x₀)

a. Δy = f(1 + 1) – f(1) = f(2) – f(1) = 23 – 13 = 7

b. Δy = f(1 – 0,1) – f(1) = f(0,9) – f(1) = (0,9)3 – 13 = -0,271.

Bài 9

Lời giải:

Bài 10 Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số tại các điểm đã chỉ ra:

Lời giải:

y = x² + x tại x₀ = 1

*Giả sử Δx là số gia của đối số tại x₀ = 1. Ta có:

∆Δy = f(x₀+Δx)-f(x₀) = f(1-Δx) = f(1)

= (1+Δx)₂ +(1+Δx)-(12 +1)

= Δx(3+Δx)

* $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ = 3+x

* lim_{$\frac{\Delta x}{\Delta y}$} = lim(3-Δx) = 3(vớiΔx →0)

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Chứng minh rằng hàm số:

Không có đạo hàm tại điểm x = 0 nhưng có đạo hàm tại điểm x = 2.

Bài 2 Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y = x³

a. Tại điểm (-1; -1);

b. Tại điểm có hoành độ bằng 2;

c. Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến của hypebol y = 1/x

Bài 4 Một vật rơi tự do theo phương trình s=$\frac{1}{2}$ gt², trong đó g≈9,8m/s² là gia tốc trọng trường.

a. Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t+Δt, trong các trường hợp Δt = 0,1s; Δt = 0,05s; Δt = 0,001s.

b. Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s.

Bài 5 Tìm số gia của hàm số $f(x)=x^3$, biết rằng :

a) $x_0=1;∆x=1$

b) $x_0=1;∆x=-0,1$

Bài 6 Tính $∆y$ và $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$ của các hàm số sau theo $x$ và $∆x$ :

Bài 7 Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

a) $y=x^2+x$ tại $x_0=1$;

b) $y=\frac{1}{x}$ tại $x_0=2$;

c) $y=\frac{x+1}{x-1}$ tại $x_0=0$.

Bài 8 Chứng minh rằng hàm số 

$f(x)=\{\begin{array}{c}(x-1{)}^2\text{ nếu }x\ge 0\hfill \\ -x^2\text{ nếu }x<0\hfill \end{array}$

không có đạo hàm tại điểm $x=0$ nhưng có đạo hàm tại điểm $x=2$.

Bài 9 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $y=x^3$:

a) Tại điểm có tọa độ $(-1;-1)$;

b) Tại điểm có hoành độ bằng $2$;

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng $3$

Bài 10 Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol $y=\frac{1}{x}$:

a) Tại điểm $(\frac{1}{2};2)$

b) Tại điểm có hoành độ bằng $-1$;

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng -$\frac{1}{4}$.

B. Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm.

I. Đạo hàm tại một điểm

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x₀ thuộc (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn): $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ và được kí hiệu là f^'(x₀). Vậy $\boxed{\mathrm{f}\text{'}\left({\mathrm{x}}_0\right)=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0}.}$

* Chú ý:

Đại lượng ∆x = x- x₀ được gọi là số gia của đối số tại x₀.

Đại lượng ∆y= f(x) – f(x₀)= f(x₀ + ∆x) –  f(x₀) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy: $\mathrm{y}\text{'}\left({\mathrm{x}}_0\right)=\underset{\mathrm{\Delta x}\to \infty }{\lim }\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}$. 

2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ bằng định nghĩa, ta có quy tắc sau đây:

+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x₀ tính:

∆y= f(x₀ + ∆x) – f( x₀) .

+ Bước 2: Lập tỉ số $\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}.$.

+ Bước 3: Tìm $\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}.$

Ví dụ 1. Cho hàm số $\mathrm{y}=\sqrt{2\mathrm{x}-3}$, có $\mathrm{\Delta x}$ là số gia của đối số tại x = 2. Khi đó $\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}$ bằng bao nhiêu.

Lời giải

Tập xác định của hàm số đã cho là: $\mathrm{D}=\left[\frac{3}{2};+\infty \right)$.

Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x₀ = 2. Ta có: $\mathrm{\Delta y}=\mathrm{f}\left(2+\mathrm{\Delta x}\right)-\mathrm{f}\left(2\right)=\sqrt{2.\left(2+\mathrm{\Delta x}\right)-3}$ $-\sqrt{2.2-3}=\sqrt{2\mathrm{\Delta x}+1}-1$

Khi đó:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}=\frac{\sqrt{2\mathrm{\Delta x}+1}-1}{\mathrm{\Delta x}} \\ \Rightarrow \underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{2\mathrm{\Delta x}+1}-1}{\mathrm{\Delta x}}= \\ \underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\lim }\frac{\left(\sqrt{2\mathrm{\Delta x}+1}-1\right).\left(\sqrt{2\mathrm{\Delta x}+1}+1\right)}{\mathrm{\Delta x}.\left(\sqrt{2\mathrm{\Delta x}+1}+1\right)} \\ =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\lim }\frac{2\mathrm{\Delta x}}{\mathrm{\Delta x}.\left(\sqrt{2\mathrm{\Delta x}+1}+1\right)} \\ =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\lim }\frac{2}{\sqrt{2\mathrm{\Delta x}+1}+1}=1 \end{gathered}$$

Vậy f’(2) = 1.

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lý 1. Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

Chú ý:

+ Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.

+ Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

Ví dụ 2. Chẳng hạn hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}-{\mathrm{x}}^2\mathrm{khi}\mathrm{x}\ge 0\\ \mathrm{x}\mathrm{khi}\mathrm{x}<0\end{array}\right.$ liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó. Ta nhận xét rằng đồ thị của hàm số này là một đường liền, nhưng bị gãy tại điểm O(0;0) như hình vẽ sau:

4. Ý nghĩa của đạo hàm

a) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

+) Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x = x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến M₀T của đồ thị hàm số y= f( x) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)).

+) Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) là:

y – y₀= f’(x₀) ( x- x₀) trong đó y₀= f(x₀).

Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x³ – 3x² + 2 tại điểm có hoành độ x = 3.

Lời giải

Bằng định nghĩa ta tính được: y’(3) = 9.

Do đó hệ số góc của tiếp tuyến là 9.

Ta có: y(3) = 2.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ x = 3 là:

y = 9(x – 3) + 2 = 9x – 27 + 2 = 9x – 25.

b) Ý nghĩa vật lý của đạo hàm:

+) Vận tốc tức thời:

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s= s(t); với s= s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s= s(t) tại t₀: v(t₀) = s’(t₀).

+) Cường độ tức thời:

Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q= Q(t) ( là hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q= Q(t) tại t₀: I(t₀) = Q’(t₀) .

Ví dụ 4. Một xe máy chuyển động theo phương trình : s(t)= t² + 6t+ 10 trong đó t đơn vị là giây; s là quãng đường đi được đơn vị m. Tính vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3.

Lời giải

Phương trình vận tốc của xe là v( t)=s' ( t)=2t+6 ( m/s)

⇒ Vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3 là:

V(3)= 2.3+ 6 = 12 (m/s)

Chọn A.

II. Đạo hàm trên một khoảng

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Khi đó ta gọi hàm số f’:

 $$\begin{gathered} \left(\mathrm{a};\mathrm{b}\right)\to \mathrm{ℝ} \\ \mathrm{x}\mapsto \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right) \end{gathered}$$

là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b), kí hiệu là y’ hay f’(x).

Ví dụ 5. Hàm số y = x² – 2x có đạo hàm y’ = 2x – 2 trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$.

Hàm số $\mathrm{y}=\frac{2}{\mathrm{x}}$ có đạo hàm $\mathrm{y}\text{'}=-\frac{2}{{\mathrm{x}}^2}$ trên các khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ và $\left(0;+\infty \right)$.