Vậy (*) đúng với n = k + 1. Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Chọn đáp án B

Chọn đáp án D

Chọn đáp án A

Chọn đáp án C

Chọn đáp án B

Chọn đáp án A

Chọn đáp án A

Chọn đáp án C

Chọn đáp án A

II. Bài tập tự luận có lời giải

Vậy (1) đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

* Ta có u₁ = 9.1 - 1 = 8 chia hết cho 8 (đúng với n = 1).

* Giả sử uk = 9k - 1 chia hết cho 8.

Ta cần chứng minh uk + 1 = 9k + 1 - 1 chia hết cho 8.

Thật vậy, ta có:

uk + 1 = 9k + 1 - 1 = 9.9k - 1 = 9(9k - 1) + 8 = 9uk + 8.

Vì 9uk và 8 đều chia hết cho 8, nên uk + 1 cũng chia hết cho 8.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 8.

* Với n = 2 ta có 2.2+1 > 2.2 + 3 ⇔ 8 > 7 (đúng).

Vậy (*) đúng với n = 2 .

* Giả sử với n = k, k ≥ 2 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2k + 1 > 2k + 3 (1).

* Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

2k + 2 > 2(k + 1) + 3

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:

2.2k + 1 > 2(2k + 3) ⇔ 2k + 2 > 4k + 6 > 2k + 5.

(vì 4k + 6 > 4k + 5 > 2k + 5)

Hay 2k + 2 > 2(k + 1)+ 3

Vậy (*) đúng với n = k + 1.

Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 3 .

Chọn đáp án B

Chọn đáp án C

Vậy (1) đúng khi n= k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Bài 9:

Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có các đẳng thức:

a.    (1)

b.               (2)

c.        (3)

Lời giải:

a. Với n = 1, ta có:

VT = 3 – 1 = 2

VP = 

Vậy VT = VP (1) đúng với n = 1

Giả thiết (1) đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:

 (1a)

Ta chứng minh (1a) đúng với n = k + 1 nghĩa là chứng minh:

(1) đúng với n = k +1, vậy (1a) đúng với 

b. 

Với n = 1 thì 

Vậy (2) đúng với n = 1

Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là:

Khi đó ta chứng minh (2) đúng với n = k +1

Ta có :

(2) đúng với n = k + 1. Vậy nó đúng với mọi n ∈ N*

c.  (3)

Khi n = 1 vế trái bằng 1

Vậy (3) đúng với n = 1

Giả sử đẳng thức (3) đúng với n = k nghĩa là:

 (3a)

Ta phải chứng minh (3a) đúng khi n = k + 1

+ Ta cộng 2 vế của (3) cho (k + 1)²

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1. Do đó, đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*

Bài 10 Chứng minh rằng với n ∈ N*

a. n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3.

b.  chia hết cho 9

c. n³ + 11n chia hết cho 6.

Lời giải:

Đặt A_n = 

+ Ta có: với n = 1

 chia hết 3

+ Giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

 chia hết 3 (giả thiết quy nạp)

+ Ta chứng minh  chia hết 3

Thật vậy, ta có:

Theo giả thiết quy nạp  chia hết 3, hơn nữa 9(k + 1) chia hết 3

Nên  = n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3 với mọi ∀n ∈ N*

b. 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9

Đặt 

với n = 1 =>  = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9

+ Giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

 chia hết 9 (giả thiết quy nạp)

+ Ta chứng minh:  chia hết 9

Thật vậy, ta có:

A_k+1 = (4^k+1 + 15(k + 1) – 1) = 4^k.4¹ + 15k + 15 – 1

= (4^k + 15k – 1) + (3.4^k + 15) = A_k + 3(4^k + 5)

Theo giả thiết quy nạp  chia hết 9, hơn nữa:

3(4^k + 5) chia hết 9 ( chứng minh tương tự) ∀k ≥ 1 nên  chia hết 9

Vậy A_n = 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9 ∀n ∈ N*

c. n³ + 11n chia hết cho 6.

Đặt Un = n³ + 11n

+ Với n = 1 => U₁ = 12 chia hết 6

+ Giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

 chia hết 6 (giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh: U_k+1 chia hết 6

Thật vậy ta có:

U_k+1 = (k + 1)³ + 11(k +1) = 

+ Theo giả thiết quy nạp thì:

 chia hết 6, hơn nữa  chia hết 6 ∀k ≥ 1 (2 số liên tiếp nhân với nhau chia hết cho 2)

Do đó: U_k+1 chia hết 6

Vậy: U_n = n³ + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

a. 3ⁿ > 3n + 1

b. 2ⁿ⁺¹ > 2n + 3

Bài 2 Cho tổng  với 

a. Tính S₁, S₂, S₃

b. Dự đoán công thức tính tổng S_n và chứng minh bằng quy nạp.

Bài 3 Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là 

Bài 4 Chứng minh rằng với n Є N^*, ta có đẳng thức:

a) 2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 = $\frac{n(3n+1)}{2}$;

b) $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^n}$;

c) 1² + 2² + 3² +….+ n^{2 = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.}

Bài 5 Chứng minh rằng với n ε  N^*    ta luôn có:

a) n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3;

b) 4ⁿ + 15n - 1 chia hết cho 9;

c) n³ + 11n chia hết cho 6.

Bài 6 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

a) 3ⁿ > 3n + 1;                  

b) 2^{n + 1} > 2n + 3

Bài 7

a) Tính S₁, S₂, S_3.

b) Dự đoán công thức tính tổng S_n và chứng minh bằng quy nạp.

Bài 8 Tìm công thức tính số hạng tổng quát u_n theo n của dãy số sau 

Bài 9 Xét tính tăng giảm của dãy số (u_n) biết: 

Bài 10 Cho dãy số . Tìm mệnh đề đúng?

B. Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học

I. Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:

- Bước 1. Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.

- Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.

II. Ví dụ áp dụng

- Ví dụ 1. Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta có:

$1+2+3+\mathrm{...}+\text{\hspace{0.17em}}n=\frac{n(n+\text{\hspace{0.17em}}1)}{2}$  (*)

Lời giải:

Bước 1: Với n = 1 ta có:

Vế trái = 1 và vế phải = 1

Vậy hệ thức đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử hệ thức đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1  tức là:

 $1+2+3+\mathrm{...}+\text{\hspace{0.17em}}k$$=\frac{k(k+\text{\hspace{0.17em}}1)}{2}$ (1)

Ta cần chứng minh hệ thức đúng với n = k + 1, tức là:

$1+2+3+\mathrm{...}+\text{\hspace{0.17em}}k+k+\text{}1$$=\frac{(k+\text{}1)(k+2)}{2}$  (2)

Thật vậy:

Vế trái = 1 + 2 + 3+ … + k + k + 1

Vậy hệ thức đã cho đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

- Ví dụ 2. Chứng minh rằng với , ta có bất đẳng thức

$\frac{\mathrm{1.3.5....}(2n-1)}{\mathrm{2.4.6.}..2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$

Lời giải:

- Với n = 1, bất đẳng thức cho trở thành: $\frac{1}{2}<\frac{1}{\sqrt{3}}$ (đúng).

Vậy bất đẳng thức cho đúng với n = 1.

- Giả sử bất đẳng thức cho  đúng với  mọi số tự nhiên n = k ≥ 1, tức là :

$\frac{\mathrm{1.3.5....}(2k-1)}{\mathrm{2.4.6.}..2k}$$<\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$ (1)

-Ta chứng minh bất đẳng thức cho đúng với n = k + 1, tức là :

$\frac{\mathrm{1.3.5....}(2k-1)(2k+\text{}1)}{\mathrm{2.4.6.}..2k(2k+\text{\hspace{0.17em}}2)}$$\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}<\frac{1}{\sqrt{2k+3}}$  (2)

Thật vậy, ta có :

$VT\left(2\right)=\frac{\mathrm{1.3.5....}(2k-1)}{\mathrm{2.4.6.}..2k}.$$\frac{2k+\text{}1}{2k+\text{}2}<\frac{1}{\sqrt{2k+1}}.$$\frac{2k+\text{}1}{2k+\text{}2}=\frac{\sqrt{2k+\text{\hspace{0.17em}}1}}{2k+\text{}2}$  (theo (1))

Ta chứng minh:

Vậy bất đẳng thức đã cho đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

- Chú ý:

Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là một số tự nhiên) thì:

+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;

+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n = k ≥ p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.