Trả lời nhanh
Tích vô hướng của hai vectơ a, b khác 0 là một số thực, kí hiệu a·b, tính bằng |a|·|b|·cos(a,b). Kết quả dương khi góc nhọn, âm khi góc tù, bằng 0 khi hai vectơ vuông góc. Bài này còn có tính chất giao hoán, phân phối và ứng dụng tính công A = F·d.
Quy ước trong bài: chữ in đậm như a, AB là vectơ; AB (không in đậm) và |a| là độ dài. Hãy nhớ quy ước này, vì rất nhiều lỗi sai bắt nguồn từ việc lẫn lộn giữa “vectơ” và “độ dài”.
1. Góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ a và b khác 0. Từ một điểm O bất kì, vẽ OA = a và OB = b. Góc AOB, có số đo từ 0° đến 180°, gọi là góc giữa hai vectơ a và b, kí hiệu (a,b).
Điểm mấu chốt là hai vectơ phải cùng gốc thì mới đo được góc. Nếu đề cho hai vectơ nối đuôi nhau (ví dụ AB và BC), em phải “dời” một vectơ về cùng gốc rồi mới đọc góc.
Các trường hợp cần nhớ
| Quan hệ giữa a và b | Góc (a,b) |
|---|---|
| Cùng hướng | 0° |
| Ngược hướng | 180° |
| Vuông góc, kí hiệu a ⊥ b | 90° |
| Có ít nhất một vectơ là 0 | Quy ước tuỳ ý trong [0°; 180°] |
Ngoài ra (a,b) = (b,a): góc giữa hai vectơ không phụ thuộc thứ tự.
Ví dụ 1 – Góc trong tam giác đều
Cho tam giác đều ABC. Tính góc (AB,AC) và (AB,BC).
Giải. AB và AC cùng gốc A nên (AB,AC) = góc BAC = 60°.
Với AB và BC, hai vectơ nối đuôi nhau. Dời BC về gốc A (vẽ AD = BC), em được góc giữa AB và AD bằng 180° − 60° = 120°. Vậy (AB,BC) = 120°.
Lỗi thường gặp: thấy góc B của tam giác bằng 60° rồi kết luận ngay (AB,BC) = 60°. Thực ra góc trong tam giác là góc giữa BA và BC, còn AB là vectơ ngược hướng với BA nên góc phải bù lại thành 120°.
2. Định nghĩa tích vô hướng
Cho hai vectơ a, b khác 0. Tích vô hướng của chúng là một số (không phải vectơ):
a·b = |a|·|b|·cos(a,b)
Nếu có ít nhất một vectơ bằng 0 thì quy ước a·b = 0.
Dấu của tích vô hướng
Vì |a| và |b| luôn dương, dấu của a·b chỉ phụ thuộc cos của góc:
| Góc (a,b) | cos | Dấu của a·b |
|---|---|---|
| 0° ≤ góc < 90° (nhọn hoặc bằng 0°) | dương | dương |
| góc = 90° | 0 | bằng 0 |
| 90° < góc ≤ 180° (tù hoặc bằng 180°) | âm | âm |
Mẹo nhớ: tích vô hướng cho biết hai vectơ “đồng thuận” (dương), “vuông pha” (bằng 0) hay “đối nghịch” (âm).
Ba chú ý quan trọng
- a ⊥ b ⇔ a·b = 0 (với hai vectơ khác 0). Đây là cách chứng minh vuông góc rất hay dùng.
- Khi a = b, tích a·a viết là a² (bình phương vô hướng) và a² = |a|²·cos 0° = |a|². Vậy bình phương vô hướng của vectơ bằng bình phương độ dài của nó.
- Từ công thức suy ra cos(a,b) = (a·b) / (|a|·|b|), dùng để tìm góc khi biết tích vô hướng.
Ví dụ 2 – Hình vuông
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB·AC, AC·BD và AB·CD.
Giải.
- AC = a√2, góc giữa AB và AC là 45°. Do đó AB·AC = a·a√2·cos 45° = a·a√2·(√2/2) = a².
- Hai đường chéo của hình vuông vuông góc nên AC ⊥ BD, suy ra AC·BD = 0.
- AB và CD ngược hướng (AB // CD, AB = CD) nên góc là 180°: AB·CD = a·a·cos 180° = −a².
Ví dụ 3 – Tam giác vuông
Tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4. Tính AB·AC, BA·BC, AB·BC.
Giải. BC = √(9 + 16) = 5, cos B = AB/BC = 3/5.
- AB ⊥ AC nên AB·AC = 0.
- (BA,BC) là góc B nên BA·BC = 3·5·(3/5) = 9.
- AB = −BA nên AB·BC = −BA·BC = −9. (Kiểm tra: góc là 180° − B, cos = −3/5, kết quả 3·5·(−3/5) = −9.)
3. Ứng dụng trong Vật lí: công của một lực
Công A sinh bởi lực F khi vật có độ dịch chuyển d chính là tích vô hướng: A = F·d = |F|·|d|·cos(F,d).
Nhờ cos, em hiểu ngay: lực cùng hướng với chuyển động sinh công dương; lực vuông góc với chuyển động (như trọng lực khi vật đi ngang) không sinh công; lực cản ngược hướng sinh công âm.
Ví dụ 4
Một người kéo thùng hàng bằng lực 200 N, dây hợp với phương ngang góc 30°. Tính công của lực khi thùng đi được 10 m.
Giải. A = 200·10·cos 30° = 2000·(√3/2) = 1000√3 ≈ 1732 J.
4. Tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ a, b, c bất kì và mọi số thực k:
- Giao hoán: a·b = b·a.
- Phân phối: a·(b + c) = a·b + a·c.
- Kết hợp với số: (ka)·b = k(a·b) = a·(kb).
Các hằng đẳng thức vectơ (hệ quả)
- (a + b)² = a² + 2a·b + b²
- (a − b)² = a² − 2a·b + b²
- (a + b)·(a − b) = a² − b²
Giống hệt hằng đẳng thức đại số, chỉ khác là a² = |a|². Từ đó có công thức hữu ích: a·b = ½(|a|² + |b|² − |a − b|²). Áp dụng với a = AB, b = AC (khi đó a − b = CB), ta được AB·AC = ½(AB² + AC² − BC²).
Lưu ý: tích vô hướng không có tính kết hợp kiểu (a·b)c = a(b·c), và a·b = a·c không suy ra được b = c. Cũng đừng “rút gọn” vectơ ở hai vế.
Ví dụ 5 – Độ dài tổng và hiệu
Cho |a| = 3, |b| = 4, (a,b) = 60°. Tính |a + b| và |a − b|.
Giải. a·b = 3·4·cos 60° = 6.
- |a + b|² = 9 + 2·6 + 16 = 37, suy ra |a + b| = √37.
- |a − b|² = 9 − 2·6 + 16 = 13, suy ra |a − b| = √13.
Kĩ thuật chung: muốn tính độ dài một vectơ, hãy bình phương nó để biến thành tích vô hướng rồi khai triển.
Ví dụ 6 – Tìm góc từ tích vô hướng
Biết |a| = 2, |b| = 5, a·b = −5. Tìm (a,b).
Giải. cos(a,b) = −5/(2·5) = −1/2, nên (a,b) = 120°.
5. Mở rộng: biểu thức toạ độ
Khi học toạ độ vectơ, em sẽ gặp công thức: với a = (x1; y1) và b = (x2; y2) thì a·b = x1x2 + y1y2. Từ đó a ⊥ b ⇔ x1x2 + y1y2 = 0. Ví dụ: a = (2; 3) và b = (3; −2) có 2·3 + 3·(−2) = 0 nên vuông góc.
6. Tóm tắt nhanh và mẹo làm bài
- Đưa hai vectơ về cùng gốc để xác định góc.
- Áp dụng a·b = |a||b|cos(a,b); nhớ cos 0° = 1, cos 90° = 0, cos 180° = −1.
- Muốn chứng minh vuông góc: chứng minh tích vô hướng bằng 0.
- Muốn tính độ dài tổng/hiệu: bình phương rồi khai triển.
- Bài có nhiều vectơ: phân tích qua vectơ gốc rồi dùng tính chất phân phối.
Bài tự luyện (có đáp án)
- Cho |a| = |b| = 1 và (a,b) = 120°. Tính |a + b|.
Đáp án: a·b = −1/2; |a + b|² = 1 + 1 − 1 = 1 nên |a + b| = 1. - Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6, AD = 8. Tính AB·AC.
Đáp án: AC = 10, cos(AB,AC) = 6/10, nên AB·AC = 6·10·0,6 = 36 (cũng bằng AB² vì AD ⊥ AB). - Tìm m để a = (m; 2) vuông góc với b = (3; −6).
Đáp án: 3m − 12 = 0 nên m = 4.
Để học tiếp, em có thể xem thêm giải SGK Toán 10 Bài 4, sách bài tập Bài 4, 20 câu trắc nghiệm tích vô hướng và lý thuyết Bài 3: Tích của một số với một vectơ. Toàn bộ chương nằm trong lý thuyết Toán 10 Chương 5: Vectơ.
Câu hỏi thường gặp
Tích vô hướng của hai vectơ là vectơ hay là số?
Là một số thực. Kết quả có thể dương, âm hoặc bằng 0 tuỳ góc giữa hai vectơ, và không có hướng.
Khi nào tích vô hướng của hai vectơ bằng 0?
Khi một trong hai vectơ là vectơ không, hoặc hai vectơ khác 0 vuông góc với nhau (góc 90°, cos 90° = 0).
Làm sao xác định đúng góc giữa hai vectơ nối đuôi nhau như AB và BC?
Dời một vectơ để hai vectơ cùng gốc. Ví dụ trong tam giác đều, góc giữa AB và BC là 120°, không phải 60°.
Bình phương vô hướng của một vectơ bằng gì?
Bằng bình phương độ dài của vectơ đó: a² = |a|², vì góc giữa a và chính nó là 0° và cos 0° = 1.