Trả lời nhanh
Để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d, ta dựng trong mỗi mặt phẳng một đường thẳng vuông góc với d tại cùng một điểm. Góc giữa hai đường thẳng đó chính là góc giữa hai mặt phẳng. Ngoài ra có thể dùng hai đường vuông góc với mặt phẳng, hoặc công thức cos φ = S’/S.
Nhắc lại định nghĩa và giá trị của góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Với hai mặt phẳng cắt nhau, ta thường dùng cách quen thuộc hơn: góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Góc giữa hai mặt phẳng luôn nằm trong khoảng từ 0° đến 90°. Vì vậy cos của góc này không bao giờ âm.
- Hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc bằng 0°.
- Hai mặt phẳng vuông góc khi góc giữa chúng bằng 90°. Phần chứng minh vuông góc xem thêm ở bài hai mặt phẳng vuông góc.
Muốn ôn kĩ hơn điều kiện vuông góc trước khi làm bài về góc, em xem phương pháp giải về hai mặt phẳng vuông góc và cách chứng minh quan hệ vuông góc.
Bốn cách xác định góc giữa hai mặt phẳng
Cách 1. Dùng giao tuyến (cách dùng nhiều nhất)
- Tìm giao tuyến d của (P) và (Q).
- Chọn một điểm H trên d. Trong (P) dựng đường thẳng a qua H, a ⟂ d. Trong (Q) dựng đường thẳng b qua H, b ⟂ d.
- Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa a và b (nếu góc đó tù thì lấy góc bù).
- Tính góc bằng hệ thức lượng trong tam giác hoặc định lí côsin.
Mẹo thực hành: nếu một mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia, hãy dựng đường vuông góc với giao tuyến ngay từ chân đường vuông góc đó. Khi đó tam giác vuông xuất hiện tự nhiên và việc tính tan, sin rất nhanh.
Cách 2. Dùng hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng
Tìm đường thẳng m ⟂ (P) và n ⟂ (Q). Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa m và n, hoặc bù với nó. Cách này hợp với bài có sẵn đường cao hoặc đường vuông góc với mặt đáy, khi giao tuyến khó vẽ.
Cách 3. Dùng công thức diện tích hình chiếu
Gọi S là diện tích một đa giác nằm trong (P), S’ là diện tích hình chiếu vuông góc của đa giác đó lên (Q), φ là góc giữa hai mặt phẳng. Khi đó:
S’ = S · cos φ, hay cos φ = S’/S.
Cách này rất hiệu quả khi tính được dễ dàng cả hai diện tích, nhất là với hình chóp có đường cao đi qua một đỉnh của đáy.
Cách 4. Dựng cụ thể rồi dùng hệ thức lượng
Đây là bước cuối của các cách trên: sau khi chỉ ra góc, ta đặt nó vào một tam giác (thường là tam giác vuông) rồi tính tan, sin, cos từ các cạnh đã biết. Em nên chứng minh góc dựng ra đúng là góc giữa hai mặt phẳng trước khi tính, vì đề thi tự luận chấm cả bước này.
| Dấu hiệu của bài toán | Cách nên chọn |
|---|---|
| Giao tuyến rõ ràng, có tam giác cân hoặc đường cao | Cách 1 |
| Có sẵn đường thẳng vuông góc với từng mặt phẳng | Cách 2 |
| Đa giác và hình chiếu của nó dễ tính diện tích | Cách 3 |
| Giao tuyến khó xác định, hai mặt phẳng “xa nhau” | Kéo dài để tìm giao tuyến, hoặc Cách 2 |
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Tứ diện đều
Đề: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi α là góc giữa (ABC) và (ABD). Tính cos α.
Giải: Giao tuyến của hai mặt phẳng là AB. Gọi M là trung điểm AB. Tam giác ABC đều nên CM ⟂ AB, tam giác ABD đều nên DM ⟂ AB. Vậy α = góc CMD.
Ta có CM = DM = a√3/2 và CD = a. Theo định lí côsin:
cos CMD = (CM² + DM² − CD²) / (2·CM·DM) = (3a²/4 + 3a²/4 − a²) / (2·3a²/4) = (a²/2) / (3a²/2) = 1/3.
Đáp số: cos α = 1/3 (α ≈ 70,5°). Em lưu ý: α không phải 60°, dù các mặt đều là tam giác đều. Góc 60° là góc giữa hai cạnh, không phải góc nhị diện.
Ví dụ 2. Nhận diện góc giữa hai mặt phẳng trong tứ diện
Đề: Tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi M là trung điểm CD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào không đúng?
- A. Góc giữa (ABC) và (ABD) là góc CBD.
- B. Góc giữa (ACD) và (BCD) là góc AMB.
- C. (BCD) ⟂ (ABM).
- D. (ACD) ⟂ (ABM).
Giải: Tam giác ACD cân tại A có M là trung điểm đáy nên AM ⟂ CD. Tam giác BCD cân tại B nên BM ⟂ CD. Suy ra CD ⟂ (ABM).
- B đúng: giao tuyến của (ACD) và (BCD) là CD, còn AM, BM cùng vuông góc với CD.
- C và D đúng: cả hai mặt phẳng (BCD), (ACD) đều chứa CD mà CD ⟂ (ABM).
- A không đúng: giao tuyến của (ABC) và (ABD) là AB. Muốn có góc giữa hai mặt phẳng, hai đường thẳng dựng phải vuông góc với AB, mà BC, BD nói chung không vuông góc với AB.
Chọn A. Lỗi hay gặp là thấy hai đường thẳng cắt nhau tại một đỉnh chung rồi vội kết luận đó là góc giữa hai mặt phẳng.
Ví dụ 3. Hình chóp có đáy là hình thoi
Đề: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a, góc BAD = 60°. Cạnh SC = a√6/2 và SC ⟂ (ABCD). Trong tam giác SAC kẻ IK ⟂ SA tại K. Tính số đo góc BKD.
Giải: Tam giác ABD cân có góc A = 60° nên đều, suy ra BD = a, IB = ID = a/2, AC = a√3, IA = a√3/2.
Tam giác SAC vuông tại C: SA² = AC² + SC² = 3a² + 3a²/2 = 9a²/2, nên SA = 3a√2/2. Do đó sin SAC = SC/SA = √3/3.
Trong tam giác vuông AKI: IK = IA · sin SAC = (a√3/2)·(√3/3) = a/2.
Vậy IK = IB = ID = a/2, nghĩa là K nằm trên đường tròn đường kính BD, nên góc BKD = 90°.
Đáp số: 90°. Thêm ý nghĩa: vì BD ⟂ (SAC) nên SA ⟂ (BDK), do đó BK ⟂ SA và DK ⟂ SA. Góc BKD chính là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD), nên hai mặt phẳng này vuông góc với nhau.
Ví dụ 4. Hình chóp có SA vuông góc với đáy (dùng hai cách để kiểm tra)
Đề: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⟂ (ABCD), SA = a. Tính góc giữa (SBC) và (ABCD).
Cách 1 (giao tuyến): Giao tuyến là BC. Ta có BC ⟂ AB và BC ⟂ SA nên BC ⟂ (SAB), suy ra BC ⟂ SB. Vậy góc cần tìm là góc SBA, với tan SBA = SA/AB = 1, tức là 45°.
Cách 2 (diện tích hình chiếu): Hình chiếu của tam giác SBC lên đáy là tam giác ABC, có S’ = a²/2. Tam giác SBC vuông tại B, SB = a√2, BC = a nên S = a²√2/2. Do đó cos φ = (a²/2)/(a²√2/2) = 1/√2, tức φ = 45°.
Hai cách cho cùng kết quả 45°. Khi làm bài, em có thể dùng cách thứ hai để kiểm tra lại kết quả vừa tìm được.
Ví dụ 5. Lăng trụ đứng
Đề: Lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông cân tại A, AB = AC = a, AA’ = a√2. Tính góc giữa (A’BC) và (ABC).
Giải: Gọi M là trung điểm BC. Tam giác ABC vuông cân nên AM ⟂ BC và AM = a√2/2. Vì A’B = A’C nên A’M ⟂ BC. Giao tuyến là BC nên góc cần tìm là góc A’MA.
Tam giác A’AM vuông tại A: tan A’MA = AA’/AM = a√2 / (a√2/2) = 2. Vậy góc bằng arctan 2, xấp xỉ 63,4°.
Kiểm tra bằng diện tích: A’M = a√10/2, S(A’BC) = ½ · a√2 · a√10/2 = a²√5/2, S(ABC) = a²/2, nên cos φ = 1/√5. Từ tan = 2 suy ra cos = 1/√5, khớp kết quả.
Lỗi sai thường gặp
- Không có giao tuyến đã vội dựng góc. Luôn xác định giao tuyến trước, nếu cần thì kéo dài hai mặt phẳng.
- Dựng đường thẳng vuông góc với giao tuyến nhưng không nằm trong mặt phẳng. Hai đường thẳng a, b bắt buộc phải nằm trong (P), (Q) tương ứng.
- Hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến tại hai điểm khác nhau. Cách dựng vẫn đúng nếu chúng song song với các đường dựng tại cùng một điểm, nhưng nên dựng tại cùng điểm để khỏi nhầm.
- Kết quả tù. Góc giữa hai mặt phẳng không vượt quá 90°. Nếu tính ra góc tù, lấy 180° trừ đi.
- Nhầm với góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Đây là hai khái niệm khác nhau; xem thêm bài về khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng để rèn cách dựng đường vuông góc, một kĩ năng cần cho cả hai dạng.
Bài luyện tập (có đáp án)
- Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính tan của góc giữa (A’BD) và (ABCD).
- Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, chiều cao SO = a/2. Tính góc giữa (SAB) và (ABCD).
- Hình chóp S.ABC có SA ⟂ (ABC), tam giác ABC đều cạnh a, SA = 3a/2. Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
Đáp án và gợi ý
- Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Giao tuyến là BD. Có AO ⟂ BD và A’O ⟂ BD (do A’B = A’D). Góc cần tìm là góc A’OA, với AO = a√2/2 và AA’ = a, nên tan = a / (a√2/2) = √2.
- Gọi M là trung điểm AB. Có OM ⟂ AB và SM ⟂ AB nên góc cần tìm là góc SMO. Ta có OM = a/2, SO = a/2, do đó tan SMO = 1 và góc bằng 45°.
- Gọi M là trung điểm BC thì AM ⟂ BC, SM ⟂ BC, góc cần tìm là góc SMA. Có AM = a√3/2 nên tan SMA = (3a/2)/(a√3/2) = √3, suy ra góc bằng 60°.
Cách nhớ nhanh
Với phần lớn bài hình chóp và lăng trụ, em chỉ cần nhớ chuỗi: tìm giao tuyến, tìm chân đường cao trên một mặt phẳng, hạ vuông góc xuống giao tuyến, rồi nối đỉnh với chân đó. Tam giác vuông tạo ra sẽ chứa góc cần tìm, và tan của góc bằng chiều cao chia khoảng cách từ chân đường cao đến giao tuyến.
Câu hỏi thường gặp
Góc giữa hai mặt phẳng có thể là góc tù không?
Không. Góc giữa hai mặt phẳng luôn nằm trong đoạn từ 0° đến 90°. Nếu góc giữa hai đường thẳng dựng được là góc tù thì lấy góc bù của nó làm góc giữa hai mặt phẳng.
Khi nào nên dùng công thức cos φ = S'/S?
Khi tính được dễ dàng diện tích một đa giác nằm trong mặt phẳng này và diện tích hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng kia, ví dụ hình chóp có đường cao đi qua một đỉnh của đáy.
Hai mặt phẳng song song thì góc giữa chúng bằng bao nhiêu?
Bằng 0°. Hai mặt phẳng trùng nhau cũng có góc bằng 0°. Hai mặt phẳng vuông góc thì có góc bằng 90°.
Làm sao tìm được giao tuyến khi hai mặt phẳng không cắt nhau trong hình vẽ?
Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng. Thường ta kéo dài các đường thẳng thuộc hai mặt phẳng cho đến khi chúng cắt nhau, giao điểm là điểm chung. Đường thẳng đi qua hai điểm chung là giao tuyến.