Trả lời nhanh
Nếu hai mặt phẳng (α), (β) có một điểm chung M và lần lượt chứa hai đường thẳng song song a, b thì giao tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua M và song song với cả a lẫn b. Vậy muốn tìm giao tuyến: chỉ ra điểm chung, tìm cặp đường thẳng song song nằm trong hai mặt phẳng, rồi kẻ đường qua điểm chung song song với cặp đó.
1. Cơ sở lí thuyết cần nhớ
Hai mặt phẳng phân biệt mà có điểm chung thì cắt nhau theo một đường thẳng duy nhất, gọi là giao tuyến. Để xác định đường thẳng này ta cần hai điểm chung, hoặc một điểm chung cộng với một hướng. Quan hệ song song chính là cách cho ta “hướng” đó.
Định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng (dạng dùng trong bài này). Cho (α) ∩ (β) = d, a ⊂ (α), b ⊂ (β) và a // b. Khi đó xảy ra một trong ba khả năng: d // a // b, d trùng với a, hoặc d trùng với b.
Hai hệ quả thường dùng:
- Nếu a // (β) và a nằm trong (α), mà (α) cắt (β) theo d thì d // a.
- Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng a thì giao tuyến của chúng cũng song song với a.
2. Quy trình 4 bước tìm giao tuyến
- Tìm một điểm chung M của hai mặt phẳng (thường là đỉnh S của hình chóp, hoặc một điểm đề cho thuộc cả hai mặt).
- Tìm hai đường thẳng song song, mỗi đường nằm trong một mặt phẳng (cạnh đối của hình bình hành, hai đáy hình thang, đường trung bình của tam giác…).
- Kết luận hướng: giao tuyến là đường thẳng d qua M, d // a // b.
- Kiểm tra: M không nằm trên a hay b thì d không trùng chúng; nếu M thuộc a thì d chính là a.
Mẹo nhớ: “chung một điểm, song song một cặp – giao tuyến đi qua điểm và chạy cùng hướng với cặp”.
3. Giải chi tiết 5 câu điển hình
Câu 1. Hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành, d = (SAD) ∩ (SBC)
Hai mặt phẳng có điểm chung S. Trong (SAD) có AD, trong (SBC) có BC, và AD // BC vì ABCD là hình bình hành. Do đó d đi qua S và song song với BC (cũng song song với AD).
Đáp án: A (d qua S, song song BC). Loại B, C, D: DC, AB, BD không nằm trong hai mặt phẳng này theo cặp song song; riêng BD là đường chéo cắt AC nên không thể là hướng của giao tuyến.
Câu 2. Hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành, tìm (SAB) ∩ (SCD)
Điểm chung là S. AB ⊂ (SAB), CD ⊂ (SCD), AB // CD. Vậy giao tuyến là đường thẳng qua S song song với AB và CD.
Đáp án: A. Phương án “chỉ là điểm S” sai vì hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì giao nhau theo cả một đường; phương án “là mặt phẳng (SAD)” sai vì giao tuyến phải là đường thẳng.
Câu 3. Hình bình hành ABCD, S ngoài mặt phẳng đáy, (SAB) ∩ (SCD) song song với đường nào?
Cùng cách làm như câu 2: S là điểm chung, AB // CD nên giao tuyến Sx // AB // CD.
Đáp án: A (AB). AC, BC cắt CD hoặc AB nên không thể song song với giao tuyến; SA nằm trong (SAB) và cắt giao tuyến tại S (vì S ∈ SA), nên cũng không song song.
Câu 4. Tứ diện ABCD, I, J là trung điểm AD, AC; G là trọng tâm tam giác BCD
Điểm chung của (GIJ) và (BCD) là G. IJ là đường trung bình của tam giác ACD nên IJ // CD; IJ ⊂ (GIJ), CD ⊂ (BCD). Vậy giao tuyến qua G và song song với CD.
Đáp án: C. Các phương án còn lại sai điểm đi qua hoặc sai hướng: AB không nằm trong (BCD); BD và BC không song song với IJ.
Câu 5. Hình chóp S.ABCD, đáy hình thang (AB // CD); I, J là trung điểm AD, BC; G là trọng tâm tam giác SAB. Tìm (SAB) ∩ (IJG)
G là điểm chung. IJ là đường trung bình của hình thang nên IJ // AB // CD. Mà IJ ⊂ (IJG), AB ⊂ (SAB). Vậy giao tuyến là đường thẳng qua G song song với AB.
Vì AB, CD và IJ song song với nhau nên cả ba phát biểu A, B, C đều đúng. Đáp án: D.
Mở rộng: gọi giao tuyến trên cắt SA, SB lần lượt tại P, Q. Gọi M là trung điểm AB thì G nằm trên SM với SG = (2/3)·SM, nên theo định lí Ta-lét PQ = (2/3)·AB.
4. Lỗi sai thường gặp
- Thấy “đáy là hình thang” là kết luận song song ngay. Chỉ hai đáy song song; hai cạnh bên AD, BC cắt nhau tại E, nên (SAD) ∩ (SBC) = SE, không song song với gì cả.
- Quên điểm chung. Hai đường song song chưa đủ; không có điểm chung thì chưa có giao tuyến để nói.
- Bỏ sót trường hợp trùng. Nếu điểm chung nằm trên a thì giao tuyến chính là a.
- Nhầm với bài tìm giao tuyến bằng hai điểm chung. Khi đã tìm được hai điểm chung, cứ nối chúng lại; chỉ dùng song song khi mới có một điểm chung.
5. Bài luyện tập có đáp án
Bài 1
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang, AB // CD, AB > CD. Tìm (SAB) ∩ (SCD) và (SAD) ∩ (SBC).
Đáp án. (SAB) ∩ (SCD) = Sx, với Sx // AB // CD. Còn AD cắt BC tại E nên (SAD) ∩ (SBC) = SE (hai điểm chung S và E).
Bài 2
Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tìm giao tuyến của (DMN) và (DBC).
Đáp án. Điểm chung là D. MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // BC; MN ⊂ (DMN), BC ⊂ (DBC). Giao tuyến là đường thẳng qua D song song với BC.
Bài 3
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Lấy M thuộc cạnh SC (M khác S, C). Tìm giao tuyến của (ABM) và (SCD), từ đó chỉ ra thiết diện của hình chóp cắt bởi (ABM).
Đáp án. M là điểm chung. AB ⊂ (ABM), CD ⊂ (SCD), AB // CD. Giao tuyến là đường thẳng qua M song song với CD, cắt SD tại N. Thiết diện là tứ giác ABMN có MN // AB, tức là một hình thang.
6. Học tiếp những dạng liên quan
- Chứng minh bốn điểm đồng phẳng và ba đường thẳng đồng quy
- Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
- Chứng minh hai mặt phẳng song song
- Xác định thiết diện của hình chóp
Câu hỏi thường gặp
Khi nào dùng quan hệ song song để tìm giao tuyến?
Khi hai mặt phẳng mới có một điểm chung rõ ràng và trong mỗi mặt phẳng có sẵn một đường thẳng, hai đường này song song (cạnh đối hình bình hành, hai đáy hình thang, đường trung bình). Lúc đó giao tuyến đi qua điểm chung và cùng phương với hai đường ấy.
Giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song có luôn song song với hai đường đó không?
Không phải luôn luôn. Giao tuyến song song với hai đường đó hoặc trùng với một trong hai đường. Trường hợp trùng xảy ra khi điểm chung nằm trên một trong hai đường thẳng song song.
Đáy là hình thang thì giao tuyến của hai mặt bên đối nhau có song song với đáy không?
Chỉ hai mặt bên chứa hai đáy song song (ví dụ (SAB) và (SCD) với AB // CD) mới có giao tuyến qua S song song với đáy. Hai mặt bên chứa hai cạnh bên cắt nhau tại E thì giao tuyến là đường SE.
Nếu không tìm được cặp đường thẳng song song thì làm thế nào?
Ta quay về cách cơ bản: tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng (thường là giao điểm của hai đường thẳng đồng phẳng, mỗi đường thuộc một mặt phẳng) rồi nối hai điểm đó lại.