Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Phương pháp phân tích thành nhân tử trong việc giải phương trình lượng giác tài liệu bao gồm 32 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Phương pháp phân tích thành nhân tử trong việc giải phương trình lượng giác

B. Phương pháp phân tích thành nhân tủ trong việc giải phương trình lượng giác

I. Nhận dạng nhân tử chung dựa vào đẳng thức cơ bản

Khi trong phương trình lượng giác xuất hiện những biểu thức có dấu hiệu cùng nhân tử chung nếu nhận dạng được ta sẽ biến đổi đúng hướng và dễ dàng giải được. Việc phát hiện nhân tử chung đòi hỏi phải nắm được những đẳng thức cơ bản. Sau đây là một số đẳng thức quen thuộc:

* Nhân tử \(\sin x + \cos x\) :

\(\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)\)

\(1 + \sin 2x = {(\sin x + \cos x)^2}\)

\(1 + \tan x = \frac{{\cos x + \sin x}}{{\cos x}}\)

\(1 + \cot x = \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x}}\)

\(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x + \cos x\)

* Nhân tử \(\sin x - \cos x\) :

\(\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)\)

\(1 - \sin 2x = {(\sin x - \cos x)^2}\)

\(1 - \tan x = \frac{{\cos x - \sin x}}{{\cos x}}\)

\(1 - \cot x = \frac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x}}\)

\(\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) =  - \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x - \cos x\)

* Nhân tử \(1 \pm \sin x:{\cos ^2}x = (1 + \sin x)(1 - \sin x)\)

* Nhân tử \(1 \pm \cos x\) : \({\sin ^2}x = (1 + \cos x)(1 - \cos x)\)

* Nhân tử \(1 \pm 2\sin x\) :

\[4{\cos ^2}x - 3 = 1 - 4{\sin ^2}x = (1 - 2\sin x)(1 + 2\sin x)\]

\(\cos 3x = \cos x\left( {4{{\cos }^2}x - 3} \right) = \cos x(1 - 2\sin x)(1 + 2\sin x)\)

* Nhân tử \(1 \pm 2\cos x\) :

- \(4{\sin ^2}x - 3 = 1 - 4{\cos ^2}x = (1 - 2\cos x)(1 + 2\cos x)\)

- \(\sin 3x = \sin x\left( {3 - 4{{\sin }^2}x} \right) = \sin x(2\cos x - 1)(2\cos x + 1)\)

* Một số đẳng thức khác:

- \(\quad \cot x - \tan x = 2\cot 2x\)

- \(\tan x + \cot x = \frac{2}{{\sin 2x}}\)

- \(\cos 3x + \sin 3x = (\cos x - \sin x)(1 + 2\sin 2x)\)

- \(\cos 3x - \sin 3x = (\cos x + \sin x)(1 - 2\sin 2x)\)

Để thấy rõ hơn tầm quan trọng và lợi ích của các đẳng thức cơ bản trên ta xem một vài ví dụ.

Ví dụ 1.1(ĐH 2007 - KA). Giải phương trình:

\(\left( {1 + {{\sin }^2}x} \right)\cos x + \left( {1 + {{\cos }^2}x} \right)\sin x = 1 + \sin 2x\) (1.1)

Phân tích: Khai triển vế trái phương trình thấy đối xứng với \(\sin x,\cos x\) nên xuất hiện nhân tử \(\sin x + \cos x\). Vế phải là \(1 + \sin 2x = {(\sin x + \cos x)^2}\) chứa nhân tử \(\sin x + \cos x\). Vì vậy ta có lời giải.

Giải:

\(\begin{array}{l}Pt(1.1) \Leftrightarrow \sin x + \cos x + \sin x\cos x(\sin x + \cos x) = {(\sin x + \cos x)^2}\\ \Leftrightarrow (\sin x + \cos x)(1 + \sin x\cos x - \sin x - \cos x) = 0\\ \Leftrightarrow (\sin x + \cos x)(1 - \sin x)(1 - \cos x) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x + \cos x = 0}\\{\sin x = 1}\\{\cos x = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi }\\{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{x = k2\pi }\end{array}\quad (k \in \mathbb{Z}).} \right.} \right.\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm,

Ví dụ 1.2 (ĐH 2005 - KB). Giải phương trình:

\(1 + \sin x + \cos x + \sin 2x + \cos 2x = 0\)(1.2)

Phân tích: Vì trong phương trình xuất hiện \(\sin x + \cos x,1 + \sin 2x,\cos 2x\) nên dễ dàng nhận thấy nhân tử là \(\sin x + \cos x\).

Giải:

\(\begin{array}{l}{\mathop{\rm pt}\nolimits} (1.2) \Leftrightarrow \sin x + \cos x + {(\sin x + \cos x)^2} + {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = 0\\ \Leftrightarrow \sin x + \cos x + {(\sin x + \cos x)^2} + (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow (\sin x + \cos x)(1 + \sin x + \cos x + \cos x - \sin x) = 0\)

\( \Leftrightarrow (\sin x + \cos x)(1 + 2\cos x) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x + \cos x = 0}\\{\cos x =  - \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi }\\{x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}).} \right.} \right.\)

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.

Ví dụ 1.3. Giải phương trình:

\(\sin 4x + 4\sin \left( {\frac{{5\pi }}{2} + 2x} \right) = 4(\sin x + \cos x)\)

Phân tích: Pt(1.3) \( \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos 2x + 4\cos 2x - 4(\sin x + \cos x) = 0\).

Vậy phương trình chứa nhân tử \(\sin x + \cos x\).

Giải:

\(\begin{array}{l}{\mathop{\rm Pt}\nolimits} (1.3) \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos 2x + 4\cos 2x - 4(\sin x + \cos x) = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin 2x\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) + 4\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) - 4(\sin x + \cos x) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{ }}4\sin x\cos x(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) + 4(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x){\rm{ }} - 4(\sin x + \cos x) = 0\)

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow (\sin x + \cos x)(\sin x\cos x(\cos x - \sin x) + \cos x - \sin x - 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x + \cos x = 0(1.3.1)}\\{\sin x\cos x(\cos x - \sin x) + \cos x - \sin x - 1 = 0(1.3.2)}\end{array}} \right.\end{array}\]

Giải (1.3.1): \(\sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Giải ( 1. 3.2) : Đặt \[t = \cos x - \sin x = \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right), - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 \]. Phương trình ( 1. 3.2) trở thành :

\(\frac{{1 - {t^2}}}{2}t + t - 1 = 0 \Leftrightarrow {t^3} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

Với t = 1 \( \Rightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = k2\pi }\\{x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}).} \right.\)

Ví dụ 1.4 ( ĐH 2003 – KA). Giải phương trình

\(\cot x - 1 = \frac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}} + {\sin ^2}x - \frac{1}{2}\sin 2x\)(1.4)

Phân tích: Phương trình có chứa \(\cot x - 1,\cos 2x\) nên ta nghĩ đến nhân tử chung \(\sin x - \cos x\)

Giải:

ĐKXĐ: \(x \ne k \cdot \frac{\pi }{2},x \ne  - \frac{\pi }{4} + k\pi \).

\({\mathop{\rm Pt}\nolimits} (1.4) \Leftrightarrow \frac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x}} = \frac{{\cos x\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)}}{{\sin x + \cos x}} + {\sin ^2}x - \sin x\cos x\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x}} = \frac{{\cos x(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}}{{\sin x + \cos x}} + \sin x(\sin x - \cos x)\)

\( \Leftrightarrow (\cos x - \sin x)\left( {1 - \sin x\cos x + {{\sin }^2}x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x - \sin x = 0}\\{1 - \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}({\rm{tm}})}\\{\sin 2x + \cos 2x = 3({\rm{vn}})}\end{array}.} \right.} \right.\)

Vậy phương trình có một họ nghiệm.

Ví dụ 1.5(ĐH 2008 - KD). Giải phương trình:

\(2\sin x(1 + \cos 2x) + \sin 2x = 1 + 2\cos x\)

Phân tích: Phương trình xuất hiện \(1 - \sin 2x,\cos 2x,\cos x - \sin x\) nên dễ thấy phương trình có nhân tử \(\cos x - \sin x\).

Giải:

\(\begin{array}{l}{\mathop{\rm Pt}\nolimits} (1.5) \Leftrightarrow 2\sin x - 2\cos x + 2\sin x\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) + 2\sin x\cos x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2(\sin x - \cos x) + 2\sin x(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) - {(\sin x - \cos x)^2} = 0\\ \Leftrightarrow (\sin x - \cos x)\left( {2 - 2\sin x\cos x - 2{{\sin }^2}x - \sin x + \cos x} \right) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow (\sin x - \cos x)\left( { - 2\sin x\cos x + 2{{\cos }^2}x - \sin x + \cos x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {(\sin x - \cos x)^2}(2\cos x + 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x - \cos x = 0}\\{\cos x =  - \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{4} + k\pi }\\{x \ne  \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}\quad (k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.\)

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.

Ví dụ 1.6. Giải phương trình: \({\cos ^2}x + \cos x + {\sin ^3}x = 0\)(1.6)