Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1; 2; 3) và N(−1; 2; −1). Mặt cầu đường kính MN có phương trình là:

Đáp án đúng là:  B

Trung điểm I của MN có tọa độ I (0; 2; 1).

Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{IM}}$  = (1; 0; 2), R = $\sqrt{5}$ .

Phương trình mặt cầu đường kính MN đi qua điểm I (0; 2; 1) và có R = $\sqrt{5}$  là:

x² + (y – 2)² + (z – 1)² = 5.

Viết phương trình mặt cầu

Phương pháp chung:

Cách 1: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng tổng quát.

- Tìm tâm và bán kính mặt cầu, từ đó viết phương trình theo dạng:

(x - x_o)² + (y – y_o)² + (z – z_o)² = R².

Cách 2: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng khai triển.

- Gọi mặt cầu có phương trình $x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0$

- Sử dụng điều kiện bài cho để tìm $a,b,c,d$.

Một số bài toán hay gặp:

- Viết phương trình mặt cầu với tâm và bán kính đã cho.

- Mặt cầu có đường kính $AB$: tâm là trung điểm của $AB$ và bán kính $R={\displaystyle \frac{AB}{2}}$.

- Mặt cầu đi qua $4$ điểm $A,B,C,D$:

* Cách 1:

+) Gọi mặt cầu có phương trình $x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0$

+) Thay tọa độ các điểm bài cho vào phương trình và tìm $a,b,c,d$.

*Cách 2:

+) Gọi I(a,b,c) là tâm của mặt cầu.

+) Lập hệ phương trình 

$\{\begin{array}{l}IA=IB\\ IA=IC\\ IA=ID\end{array}$

tìm a, b, c.

+) Bán kính $R=IA$.

* Cách 3:

+) Tìm mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng AB, AC, AD. Mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm của AB và nhận AB làm một vectơ pháp tuyến.

+) Tâm mặt cầu là giao của 3 mặt phẳng đó.

+) Bán kính $R=IA$.

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Phương trình mặt cầu: lý thuyết, các dạng bài tập và phương pháp giải

Bộ 20 đề thi Toán lớp 12 Giữa kì 2

Bộ 15 Đề thi Toán 12 Giữa kì 2