Cho hàm số $y=f\left(x\right)$có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn$f\left(x\right)+x{f}^{\text{'}}\left(x\right)=4x^3+4x+2,\forall x\in ℝ$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left(x\right)$ và $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ bằng

Chọn C

Ta có: $f\left(x\right)+x.f^{\text{'}}\left(x\right)=4x^3+4x+2$$\iff (x{)}^{\text{'}}\cdot f(x)+x.f^{\text{'}}(x)=4x^3+4x+2$

$\iff [x.f(x){]}^{\text{'}}=4x^3+4x+2$$\iff x.f\left(x\right)=x^4+2x^2+2x+C$$\iff f\left(x\right)=\frac{x^4+2x^2+2x+C}{x}$

Vì do $f\left(x\right)$ liên tục trên R nên C=0. Do đó $f\left(x\right)=x^3+2x+2$$\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2+2$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $y=f\left(x\right)$ và $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$, ta có:

$x^3+2x+2=3x^2+2\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=2\end{array}\right.$. Vậy diện tích phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left(x\right)$và $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$là: $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|f\left(x\right)-f^{\text{'}}\left(x\right)\right|\text{d}x=\frac{1}{2}$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong.

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Khi đó diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$.

Tương tự như chú ý ở trên thì ở bài toán này ta cũng phải xét đoạn mà dấu của $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ không đổi.

Chú ý:

- Giả sử phương trình có hai nghiệm $c;d\left(c<d\right)$. Khi đó $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ không đổi dấu trên các đoạn $\left[a;b\right],\left[c;d\right],\left[d;b\right]$. Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn $\left[a;c\right]$ thì ta có:

$\underset{a}{\overset{c}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx=\left|\underset{a}{\overset{c}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx\right|$

- Khi tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số ta có:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|d\text{x}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|h\left(x\right)\right|d\text{x}$

ta xét dấu bằng cách làm hoàn toàn tương tự như trên phần 1.

- Nếu đề bài không cho các đường thẳng giới hạn x = a; x = b ta giải phương trình f(x) = g(x) (hoặc f(x) = 0 trong trường hợp g(x) là trục hoành) để tìm cận của tích phân.

Bài tập liên quan: 

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;3] thỏa mãn f(1) =2 và f(3)=9. Tính ${\int }_1^{3}f\text{'}\left(x\right) dx$

A. I = 11

B. I = 7

C. I = 2

D. I = 18

Cách giải:

Đáp án B

${\int }_1^{3}f\text{'}\left(x\right)dx = f \left(x\right){|}_1^3 = f \left(3\right) - f \left(1\right) =9 - 2 = 7$

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Phương pháp giải về Ứng dụng của tích phân 2024 (lý thuyết và bài tập)

Đề thi thử Toán trường THPT chuyên Thái Bình 2024 

Đề thi thử Toán trường THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ (Hòa Bình) 2024