Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 11.

Lý thuyết Toán lớp 11 Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

A. Lý thuyết Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1.1. Dãy số có giới hạn là 0

- Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$ hay u_n → 0 khi n → +∞.

Chú ý: Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có các kết quả sau:

+) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n^k}=0$ với k là một số nguyên dương;

+) $\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n$= 0 nếu |q| < 1;

+) Nếu |u_n| ≤ v_n với mọi n ≥ 1 và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n$= 0 thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$= 0.

1.2. Dãy số có giới hạn hữu hạn

- Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }$(u_n-a) = 0, kí hiệu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$ = a hay u_n → a khi n → +∞.

Chú ý: Nếu u_n = c (c là hằng số) thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$= c.

2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

Các quy tắc tính giới hạn:

a) Nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$ = a và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n$ = b thì

$\underset{n\to +\infty }{\lim }$(u_n+v_n) = a+b;

$\underset{n\to +\infty }{\lim }$ (u_n-v_n) = a-b;

$\underset{n\to +\infty }{\lim }$(u_n.v_n) = a.b;

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=\frac{a}{b}$ (nếu b ≠ 0).

b) Nếu u_n ≥ 0 với mọi n và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$ = a thì

a ≥ 0 và $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{u_n}=\sqrt{a}$.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội q với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) với công bội q. Khi đó

S_n = u₁ + u₂ + … + u_n = .

Vì |q| < 1 nên qⁿ → 0 khi n → +∞. Do đó, ta có:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }$ =$\frac{u_1}{1-q}$

Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) và kí hiệu là

S = u₁ + u₂ + … + u_{n + ….}

Như vậy

S = $\frac{u_1}{1-q}$ (|q|<1).

4. Giới hạn vô cực của dãy số

- Dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn +∞ khi n→ +∞ nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$ = +∞ hay u_n → +∞ khi n→ +∞.

- Dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn –∞ khi n→ +∞ nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }$(-u_n)= +∞, kí hiệu $\underset{n\to +\infty }{\lim }$(u_n) = –∞, hay u_n → – ∞ khi n→ +∞.

Theo định nghĩa trên, ta có:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }$(n^k) = +∞, với k là số nguyên dương;

$\underset{n\to +\infty }{\lim }$(qⁿ) = +∞, với q > 1.

Một số quy tắc tính giới hạn vô cực của dãy số:

+ Nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$ = a và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=+\infty$ (hoặc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=-\infty$) thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}$ = 0.

+ Nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$ = a > 0 và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n$ = 0 và v_n > 0 với mọi n thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=+\infty$.

+ Nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n$ = a > 0 thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n\cdot v_n=+\infty$.

5. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

5.1. Khái niệm giới hạn tại một điểm

- Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x₀ và hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), có thể trừ điểm x₀. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n ∈ (a; b), x_n ≠ x₀ và x_n → x₀, ta có f (x_n) → L, kí hiệu $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) = L hay f(x) → L khi x → x₀.

- Các quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm:

a) Nếu $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) = L và $\underset{x\to x_0}{\lim }$g(x) = M thì

$\underset{x\to x_0}{\lim }$[f(x) + g(x)] =L+M;

$\underset{x\to x_0}{\lim }$[f(x) - g(x)] =L-M;

$\underset{x\to x_0}{\lim }$[f(x) . g(x)] =L.M;

$\underset{x\to x_0}{\lim }$ = $\frac{L}{M}$, nếu M ≠ 0.

b) Nếu f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ (a; b) \ {x₀} và $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) = L thì L ≥ 0 và .

Chú ý:

$\underset{x\to x_0}{\lim }$c = c với c là hằng số.

$\underset{x\to x_0}{\lim }{x}^n=x_0^n$ với n ∈ ℕ.

5.2. Khái niệm giới hạn một bên

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x₀; b). Ta nói số L là giới hạn bên phải của f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì thỏa mãn x₀ < x_n < b và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L, kí hiệu $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }$f(x) = L.

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x₀). Ta nói số L là giới hạn bên trái của f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì thỏa mãn a < x_n < x₀ và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L, kí hiệu $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }$f(x) = L.

Chú ý: $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) = L khi và chỉ khi $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }$f(x) = L.

6. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

• Khái niệm giới hạn tại vô cực:

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì thỏa mãn x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → L, kí hiệu $\underset{x\to +\infty }{\lim }$f(x) = L hay f(x) → L khi x → +∞.

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (–∞; b). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì thỏa mãn x_n < b và x_n → –∞, ta có f(x_n) → L, kí hiệu $\underset{x\to -\infty }{\lim }$f(x) = L hay f(x) → L khi x → –∞.

• Chú ý:

- Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
- Với c là hằng số, ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$c = c, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$c = c.

- Với k là một số nguyên dương, ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x^k}$= 0, $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x^k}$= 0.

- Lưu ý: $a\sqrt{b}$ = .

7. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

7.1. Giới hạn vô cực

• Khái niệm giới hạn vô cực

Giả sử khoảng (a; b) chứa x₀ và hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) \ {x₀}. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n ∈ (a; b) \ {x₀}; x_n → x₀, ta có f(x_n) → +∞, kí hiệu $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) = +∞.

Ta nói hàm số f(x) có giới hạn –∞ khi x → x₀, kí hiệu $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) = -∞, nếu $\underset{x\to x_0}{\lim }$[-f(x)] = +$\infty$.

• Giới hạn một bên:

- Cho hàm số = f(x) xác định trên khoảng (x₀; b). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x → x₀ về bên phải nếu với dãy số (x_n) bất kì thỏa mãn x₀ < x_n < b, x_n → x₀, ta có f(x_n) → +∞, kí hiệu $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }$f(x) = +$\infty$.

- Cho hàm số = f(x) xác định trên khoảng (a; x₀). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x → x₀ về bên trái nếu với dãy số (x_n) bất kì thỏa mãn a < x_n < x₀, x_n → x₀, ta có f(x_n) → +∞, kí hiệu $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }$f(x) = +$\infty$.

- Các giới hạn một bên $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }$f(x)=$-\infty$, $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }$f(x) = $-\infty$ được định nghĩa tương tự.

Chú ý: Các giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }$f(x) = +$\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$f(x) = +$\infty$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }$f(x)=-$\infty$ và $\underset{x\to -\infty }{\lim }$f(x)=-$\infty$ được định nghĩa tương tự như giới hạn của hàm số f(x) tại vô cực. Chẳng hạn: Ta nói hàm số y = f(x), xác định trên khoảng (a; +∞), có giới hạn là – ∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → –∞, kí hiệu $\underset{x\to +\infty }{\lim }$f(x) = -$\infty$ hay f(x) → –∞ khi x → +∞.

Một số giới hạn đặc biệt:

+) $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$ với k nguyên dương;

+) $\underset{x\to -\infty }{\lim }$f(x) = +$\infty$ với k là số chẵn;

+) $\underset{x\to -\infty }{\lim }$f(x) = -$\infty$ với k là số lẻ.

7.2. Một số quy tắc tính giới hạn vô cực

Chú ý các quy tắc tính giới hạn hữu hạn không còn đúng cho giới hạn vô cực.

Ta có một số quy tắc tính giới hạn của tích và thương hai hàm số khi một trong hai hàm số đó có giới hạn vô cực.

• Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x). g(x).

Giả sử $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) = L≠ 0 và $\underset{x\to x_0}{\lim }$g(x) = +∞ (hoặc –∞). Khi đó $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x)g(x) được tính theo quy tắc trong bảng sau:

• Quy tắc tìm giới hạn của thương .

$\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x)	$\underset{x\to x_0}{\lim }$g(x)	Dấu của g(x)	$\underset{x\to x_0}{\lim }$
L	±∞	Tùy ý	0
L > 0	0	+	+∞
		–	–∞
L < 0	0	+	–∞
		–	+∞

Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x → $x_0^{+}$, x → $x_0^{-}$.

8. Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm x₀. Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) = f(x₀).

Hàm số f(x) không liên tục tại x₀ được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

9. Hàm số liên tục trên một khoảng

- Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

- Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và $\underset{x\to a^{+}}{\lim }$f(x) = f(a), $\underset{x\to b^{-}}{\lim }$f(x) = f(b).

- Các khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng như (a; b], [a; +∞),… được định nghĩa theo cách tương tự. Có thể thấy đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.

- Về tính liên tục của các hàm số sơ cấp cơ bản đã biết, ta có:

+ Hàm số đa thức và các hàm số y = sin x, y = cos x liên tục trên ℝ.

+ Các hàm số y = tan x, y = cot x, y = $\sqrt{x}$ và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

10. Một số tính chất cơ bản của hàm số liên tục

Giả sử hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm x₀. Khi đó:

a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x) . g(x) liên tục tại x₀;

b) Hàm số y =  liên tục tại x₀ nếu g(x₀) ≠ 0.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = $\frac{\cos x}{3-x}$.

Hướng dẫn giải:

Hàm số đã cho xác định trên các khoảng (–∞; 3) và (3; +∞). Trên các khoảng này, tử thức (hàm lượng giác) và mẫu thức (hàm đa thức) là các hàm số liên tục. Do đó, hàm số f(x) liên tục trên ℝ \{3}.

Nhận xét: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a) . f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.

B. Bài tập

Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }$(2n³-3n+2);

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n+1}{n-2}$;

c) 

Hướng dẫn giải

a)$\underset{n\to +\infty }{\lim }$(2n³-3n+2) = $\underset{n\to +\infty }{\lim }$ = +$\infty$

Vì $\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^3=+\infty$ và  = 2.

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n+1}{n-2}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{n}}{1-\frac{2}{n}}$= 2.

c) $=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{4n^2+3n+1}{9n^2-6n+1}$

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{4+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{9-\frac{6}{n}+\frac{1}{n^2}}=\frac{4}{9}$

Bài 2: Cho hai dãy số không âm (u_n) và (v_n) với $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=3$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=5$. Tìm giới hạn của: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{v_n^2}{v_n-u_n}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=5$, do đó $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n^2=\underset{n\to +\infty }{\lim }$(v_n.v_n)= 5.5 = 25.

$\underset{n\to +\infty }{\lim }$(v_n.v_n) = 5-3 = 2.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{v_n^2}{v_n-u_n}$ = $\frac{25}{2}$.

Bài 3: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 3; – 1; .

Hướng dẫn giải

u_n là cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u₁ = 3 và công bội q = $\frac{-1}{3}$.

Tổng của cấp số nhân này là: S = $\frac{u_1}{1-q}$ = $\frac{3}{1+\frac{1}{3}}=\frac{9}{4}$.

Bài 4: Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng các số hạng bằng 56, tổng bình phương các số hạng bằng 448. Số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

$\Rightarrow u_1^2\cdot \frac{1}{1-q^2}=448$

Suy ra: q = $\frac{3}{4}$.

Ta tìm được: u₁ = 14.

Bài 5: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2+1}{2\sqrt{x}}$;

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x-1}$.

Hướng dẫn giải

a) 

b) Vì (x – 1) → 0 hay khi x → 1, nên ta chưa thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm.

Nhưng với x ≠ 1, ta có:

Bài 6: Tìm các giới hạn một bên:

a) $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-3}{x-1}$;

b) $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x^2-2x+3}{4-x}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$(x-1) = 0 và x – 1 > 0 với mọi x > 1

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$(x-3) = 1-3 = -2 <0

Do đó: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-3}{x-1}$ = – ∞.

b) Ta có: $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }$(4-x) = 0 và 4 – x > 0 với mọi x < 4

$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }$(x²-2x+3) = 4²-8+3 = 11 > 0

Do đó: $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x^2-2x+3}{4-x}$ = +∞.

Bài 7: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }$(x³-2x);

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }$(x³-3x);

c) .

Hướng dẫn giải

c) Ta có: $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }$(x-1) = 0 và x – 1 < 0 với mọi x < 1.

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }$(2x - 4) = 2.1 - 4 = -2<0.

Do đó,  = +$\infty$.

Bài 8: Cho hàm số f(x) = $\frac{2x^2-2}{x-1}$ và g(x) = x + 3. Khẳng định nào sau đây là sai?

a) f(x) = g(x).

b) $\underset{x\to 1}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to 1}{\lim }$g(x).

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức f(x) có nghĩa khi x ≠ 1.

Ta có: f(x) =  = 2(x+1) = 2x+2 với mọi x ≠ 1.

Biểu thức g(x) có nghĩa với mọi x.

Do đó f(x) ≠ g(x). Suy ra khẳng định a) là khẳng định sai.

b) $\underset{x\to 1}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to 1}{\lim }$(2x+2) = 4

$\underset{x\to 1}{\lim }$g(x) = $\underset{x\to 1}{\lim }$(x+3) = 4

Vậy $\underset{x\to 1}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to 1}{\lim }$g(x), do đó khẳng định b) là khẳng định đúng.

Bài 9: Cho hàm số f(x) = . Tìm giá trị của m để f(x) liên tục trên [0; +∞).

Hướng dẫn giải

+) Với x ∈ (0; 9): f(x) = $\frac{3-\sqrt{9-x}}{x}$ liên tục trên (0; 9).

+) Với x ∈ [9; +∞) thì f(x) = $\frac{3}{x}$ liên tục trên [9; +∞).

+) Tại x = 0 ta có f(0) = m

Vậy để hàm số liên tục trên [0; +∞) khi nó phải liên tục tại x = 0.

Suy ra: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$f(x) = m$\Rightarrow$m = $\frac{1}{6}$.

Vậy m = $\frac{1}{6}$ thì f(x) liên tục trên [0; +∞).

Bài 10: Cho hàm số f(x) = . Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: f(0) = 0

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$(x²+1) = 1

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }$x = 0

Vậy f(x) gián đoạn tại x = 0.

Bài 11: Cho f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại x = 1. Biết f(1) = 3 và $\underset{x\to 1}{\lim }$[2f(x)-g(x)] = 4. Tính g(1).

Hướng dẫn giải

Vì hàm số f(x) liên tục tại x = 1 nên hàm số 2f(x) cũng liên tục tại x = 1.

Mà hàm số g(x) liên tục tại x = 1. Do đó, hàm số y = 2f(x) – g(x) liên tục tại x = 1.

Suy ra: $\underset{x\to 1}{\lim }$[2f(x)-g(x)] = 2f(1) – g(1) = 4

Mà f(1) = 3 nên ta có: 2 . 3 – g(1) = 4, suy ra g(1) = 2.

Vậy g(1) = 2.

Video bài giảng Toán 11 Bài tập cuối Chương 5 - Kết nối tri thức

Lý thuyết Bài 15: Giới hạn của dãy số

Xem chi tiết

Lý thuyết Bài 16: Giới hạn của hàm số

Xem chi tiết

Lý thuyết Bài 17: Hàm số liên tục

Xem chi tiết