Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 11.

Lý thuyết Toán lớp 11 Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

A. Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

1. Góc lượng giác

1.1. Khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác

– Trong mặt phẳng, cho hai tia Ou, Ov. Xét tia Om cùng nằm trong mặt phẳng này. Nếu tia Om quay quanh điểm O, theo một chiều nhất định từ Ou đến Ov, thì ta nói nó quét một góc lượng giác với tia đầu Ou, tia cuối Ov và kí hiệu là (Ou, Ov).

– Góc lượng giác (Ou, Ov) chỉ được xác định khi ta biết được chuyển động quay của tia Om từ tia đầu Ou đến tia cuối Ov (H.1.3). Ta quy ước: Chiều quay ngược với chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương, chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.

Khi đó, nếu tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng ta nói tia Om quay góc 360°, quay đúng 2 vòng ta nói nó quay góc 720°; quay theo chiều âm nửa vòng ta nói nó quay góc –180°, quay theo chiều âm 1,5 vòng ta nói nó quay góc –1,5.360° = –540°, …

Khi tia Om quay góc α° thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo α°. Số đo của góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov được kí hiệu là sđ (Ou, Ov).

– Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của nó.

Chú ý: Cho hai tia Ou, Ov thì có vô số góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov. Mỗi góc lượng giác như thế đều kí hiệu là (Ou, Ov). Số đo của các góc lượng giác này sai khác nhau một bội nguyên của 360°.

1.2. Hệ thức Chasles

Với ba tia Ou, Ov, Ow bất kì, ta có:

sđ (Ou, Ov) + sđ (Ov, Ow) = sđ (Ou, Ow) + k360° (k ∈ ℤ).

Nhận xét: Từ hệ thức Chasles, ta suy ra:

Với ba tia tùy ý Ox, Ou, Ov ta có:

sđ (Ou, Ov) = sđ (Ox, Ov) – sđ (Ox, Ou) + k360° (k ∈ ℤ).

2. Đơn vị đo góc và độ dài cung tròn

2.1. Đơn vị đo góc và cung tròn

– Đơn vị độ: Để đo góc, ta dùng đơn vị độ. Ta đã biết: Góc 1° bằng $\frac{1}{180}$ góc bẹt.

Đơn vị độ được chia thành những đơn vị nhỏ hơn 1° = 60´; 1´ = 60".

– Đơn vị rađian: Cho đường tròn (O) tâm O, bán kính R và một cung AB trên (O).

Ta nói cung tròn AB có số đo bằng 1 rađian nếu độ dài của nó đúng bằng bán kính R.

Khi đó ta cũng nói rằng góc AOB có số đo bằng 1 rađian và viết  = 1 rad.

– Quan hệ giữa độ và rađian: Do đường tròn có độ dài 2ℼR nên nó có số đo 2ℼ rad. Mặt khác, đường tròn có số đo bằng 360° nên ta có 360° = 2ℼ rad.

Do đó ta viết $1°=\frac{\pi }{180}$rad và 1 rad = .

Chú ý:

– Khi viết số đo của một góc theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ rad sau số đo. Chẳng hạn góc $\frac{\pi }{2}$ được hiểu là góc $\frac{\pi }{2}$ rad.

– Dưới đây là bảng tương ứng giữa số đo bằng độ và số đo bằng rađian của các góc đặc biệt trong phạm vi từ 0° đến 180°.

2.2. Độ dài cung tròn

Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo α rad thì có độ dài l = Rα.

3. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

3.1. Đường tròn lượng giác

– Đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 1, được định hướng và lấy điểm A(1; 0) làm điểm gốc của đường tròn.

– Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo α (độ hoặc rađian) là điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho sđ (OA, OM) = α.

3.2. Các giá trị lượng giác của góc lượng giác

– Hoành độ x của điểm M được gọi là côsin của α, kí hiệu là cos α.

cosα = x.

– Tung độ y của điểm M được gọi là sin của α, kí hiệu là sin α.

sinα = y.

– Nếu cosα ≠ 0, tỉ số $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$được gọi là tang của α, kí hiệu là tanα.

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{y}{x}(x\ne 0)$.

– Nếu sinα ≠ 0, tỉ số $\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$được gọi là côtang của α, kí hiệu là cotα.

$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{x}{y}(y\ne 0)$.

– Các giá trị cosα, sinα, tanα, cotα được gọi là giá trị lượng giác của α.

Chú ý:

– Ta còn gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.

– Từ định nghĩa ta suy ra:

+ sinα, cosα xác định với mọi giá trị của α và ta có:

–1 ≤ sinα ≤ 1;–1 ≤ cosα ≤ 1;

sin (α + k2ℼ) = sinα; cos (α + k2ℼ) = cosα(k ∈ ℤ).

+ tanα xác định khi $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$

+ cotα xác định khi $\alpha \ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$.

+ Dấu của các giá trị lượng giác của một góc lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm biểu diễn M trên đường tròn lượng giác.

3.3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

3.4. Sử dụng máy tính cầm tay để đổi số đo và tìm giác trị lượng giác của góc.

– Có thể dùng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của góc lượng giác và đổi số đo độ của cung tròn ra rađian và ngược lại.

4. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

a) Các công thức lượng giác cơ bản

sin² α + cos² α = 1

$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$

$1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$

tanα . cotα = 1 

b) Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

– Góc đối nhau (α và –α )

cos(–α) = cos α

sin(–α) = – sin α

tan(–α) = – tan α

cot(–α) = – cot α

– Góc bù nhau (α và ℼ – α)

sin(ℼ – α) = sin α

cos(ℼ – α) = – cos α

tan(ℼ – α) = – tan α

cot(ℼ – α) = – cot α

– Góc phụ nhau (α và $\frac{\pi }{2}-\alpha$)

sin = cosα

cos = sinα

tan = cotα

cot = tanα

– Góc hơn kém ℼ (α và ℼ + α)

sin (ℼ + α) = – sin α

cos (ℼ + α) = – cos α

tan (ℼ + α) = tan α

cot (ℼ + α) = cot α

Chú ý: Nhờ các công thức trên, ta có thể đưa việc tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác bất kì về việc tính giá trị lượng giác của góc α với $0\le \alpha \le \frac{\pi }{2}$.

5. Công thức lượng giác

5.1. Công thức cộng

cos (a – b) = cosa cosb + sina sinb

cos (a + b) = cosa cosb – sina sinb

sin (a – b) = sina cosb – cosa sinb

sin (a + b) = sina cosb + cosa sinb

$\tan$(a-b)$=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$

$\tan$(a+b) $=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$

(giả thiết các biểu thức đều có nghĩa).

5.2. Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina cosa

cos2a = cos²a – sin²a = 2cos² – 1 = 1 – 2sin²a

tan2a = $\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}$.

Chú ý: Từ công thức nhân đôi suy ra công thức hạ bậc:

${\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$

${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2}$.

5.3. Công thức biến đổi tích thành tổng

cosacosb = $\frac{1}{2}$[cos(a-b)+cos(a+b)]

sinasinb = $\frac{1}{2}$[cos(a-b)-cos(a+b)]

sinacosb = $\frac{1}{2}$[sin(a-b)+sin(a+b)].

5.4. Công thức biến đổi tổng thành tích

cosu + cosv = 2cos$\frac{u+v}{2}$cos$\frac{u-v}{2}$

cosu - cosv = -2sin$\frac{u+v}{2}$sin$\frac{u-v}{2}$

sinu + sinv = 2sin$\frac{u+v}{2}$cos$\frac{u-v}{2}$

sinu - sinv = 2cos$\frac{u+v}{2}$sin$\frac{u-v}{2}$.

6. Định nghĩa hàm số lượng giác

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx.

Tập xác định của hàm số sin là ℝ.

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cosx.

Tập xác định của hàm số côsin là ℝ.

- Hàm số cho bằng công thức y = $\frac{\sin x}{\cos x}$ được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx.

Tập xác định của hàm số tang là R\.

- Hàm số cho bằng công thức y = $\frac{\cos x}{\sin x}$ được gọi là hàm số côtang, kí hiệu là y = cotx.

Tập xác định của hàm số côtang là R\{k$\pi$|k$\in$Z}.

7. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

7.1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.

- Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu ∀x ∈ D thì –x ∈ D thì f(–x) = f(x).

Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng.

- Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu ∀x ∈ D thì –x ∈ D thì f(–x) = – f(x).

Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.

Nhận xét: Để vẽ đồ thị của một hàm số chẵn (tương ứng, lẻ), ta chỉ cần vẽ phần đồ thị của hàm số nằm ở bên phải trục tung, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị đã vẽ qua trục tung (tương ứng, qua gốc tọa độ), ta sẽ được đồ thị của hàm số đã cho.

7.2. Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T ≠ 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có:

i) x + T ∈ D và x – T ∈ D;

ii) f(x + T) = f(x).

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

Nhận xét:

a) Các hàm số y = sinx và y = cosx tuần hoàn với chu kì 2ℼ. Các hàm số y = tanx và y = cotx tuần hoàn với chu kì ℼ.

b) Để vẽ đồ thị của một hàm số tuần hoàn với chu kì T, ta chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên đoạn [a; a + T], sau đó dịch chuyển song song với trục hoành phần đồ thị đã vẽ sang phải và sang trái các đoạn có độ dài lần lượt là T, 2T, 3T, … ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.

Chú ý: Tổng quát, người ta chứng minh được các hàm số y = Asinωx và y = Acosωx (ω ≠ 0) là những hàm số tuần hoàn với chu kì T = .

8. Đồ thị và tính chất của hàm số y = sin x

Hàm số y = sin x

- Có tập xác định là ℝ và tập giá trị là [–1 ; 1];

- Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì 2ℼ;

- Đồng biến trên mỗi khoảng  và nghịch biến trên mỗi khoảng , k ∈ ℤ;

- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.

9. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cosx

Hàm số y = cos x

- Có tập xác định là ℝ và tập giá trị là [–1 ; 1];

- Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì 2ℼ;

- Đồng biến trên mỗi khoảng ($-\pi +k2\pi ;k2\pi$) và nghịch biến trên mỗi khoảng ($k2\pi ;\pi +k2\pi$), k∈ ℤ;

- Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

10. Đồ thị và tính chất của hàm số y = tan x

Hàm số y = tan x

- Có tập xác định là R\ và tập giá trị là ℝ;

- Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì ℼ;

- Đồng biến trên mỗi khoảng ;

- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

11. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cot x

Hàm số y = cot x

- Có tập xác định là R\{k$\pi$|k$\in$Z} và tập giá trị là ℝ ;

- Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì ℼ;

- Nghịch biến trên mỗi khoảng ($k\pi ;\pi +k\pi$), k$\in$Z;

- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

12. Khái niệm phương trình tương đương

- Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

- Nếu phương trình f(x) = 0 tương đương với phương trình g(x) = 0 thì ta viết

f(x) = 0 ⇔ g(x) = 0.

Chú ý:

- Hai phương trình vô nghiệm là tương đương.

- Để giải phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy gọi là các phép biến đổi tương đương.

Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho:

a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc một biểu thức:

f(x) = g(x) ⇔ f(x) + h(x) = g(x) + h(x).

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0:

f(x) = g(x) ⇔ f(x)h(x) = g(x)h(x), (h(x) ≠ 0).

13. Các phương trình lượng giác cơ bản

13.1. Phương trình sinx = m

- Phương trình sinx = m có nghiệm khi và chỉ khi |m| ≤ 1;

- Khi |m| ≤ 1 sẽ tồn tại duy nhất  thỏa mãn sinα = m. Khi đó

sin x = m ⇔ sin x = sinα ⇔ 

Chú ý:

a) Nếu số đo của góc α được cho bằng đơn vị độ thì

sin x = sin α° ⇔ 

b) Một số trường hợp đặc biệt

+) sin x = 0 ⇔ x = kℼ, k ∈ ℤ.

+) sin x = 1 ⇔ $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ , k ∈ ℤ.

+ sin x = –1 ⇔ $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$ , k ∈ ℤ.

c) sin u = sin v ⇔

13.2. Phương trình cosx = m

- Phương trình cosx = m có nghiệm khi và chỉ khi |m| ≤ 1;

- Khi |m| ≤ 1 sẽ tồn tại duy nhất α ∈ [0; ℼ] thỏa mãn cosα = m. Khi đó

cos x = m ⇔ cosx = cosα ⇔ 

Chú ý:

a) Nếu số đo của góc α được cho bằng đơn vị độ thì

cos x = cos α° ⇔ 

b) Một số trường hợp đặc biệt

+) cos x = 0 ⇔ $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ , k ∈ ℤ.

+) cos x = 1 ⇔ x = k2ℼ, k ∈ ℤ.

+) cos x = –1 ⇔ x = ℼ + k2ℼ, k ∈ ℤ.

c) cos u = cos v ⇔ u = ±v + k2ℼ (k ∈ ℤ).

13.3. Phương trình tan x = m

- Phương trình tan x = m có nghiệm với mọi m.

- Với mọi m ∈ ℝ, tồn tại duy nhất $\alpha \in$ thỏa mãn tan α = m. Khi đó

tan x = m ⇔ tanx = tan α ⇔ x = α + kℼ (k ∈ ℤ).

Chú ý: Nếu số đo của góc α được cho bằng đơn vị độ thì

tanx = tan α° ⇔ x = α° + k180° (k ∈ ℤ).

13.4. Phương trình cot x = m

- Phương trình cot x = m có nghiệm với mọi m.

- Với mọi m ∈ ℝ, tồn tại duy nhất α ∈ (0; ℼ) thỏa mãn cot α = m. Khi đó

cot x = m ⇔ cotx = cot α ⇔ x = α + kℼ (k ∈ ℤ).

Chú ý: Nếu số đo của góc α được cho bằng đơn vị độ thì

cot x = cot α° ⇔ x = α° + k180° (k ∈ ℤ).

14. Sử dụng máy tính cầm tay tìm một góc khi biết giá trị lượng giác của nó

Để tìm số đo ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc rađian).

Muốn tìm số đo độ (dòng trên cùng của màn hình xuất hiện chữ nhỏ D), ta ấn 

Muốn tìm số đo rađian (dòng trên cùng của màn hình xuất hiện chữ nhỏ R), ta ấn 

Bước 2: Tìm số đo góc

Khi biết sin, côsin hay tang của góc α cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím  và một trong các phím  và  , rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím  . Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc α (độ hoặc rađian).

Chú ý:

- Khi ở chế độ rađian, các phím (sin^–1), (tan^–1), cho ta kết quả là một số thuộc khoảng , phím (cos^–1) cho kết quả là một số thuộc khoảng (0; ℼ), tất nhiên với (sin^–1), (cos^–1) thì |m| ≤ 1.

- Khi ở chế độ số đo độ, các phím (sin^–1) và (tan^–1) cho kết quả là số đo góc α từ –90° đến 90°, phím (cos^–1) cho kết quả là số đo góc α từ 0° đến 180°, với (sin^–1) và (cos^–1) thì |m| ≤ 1.

- Khi có kết quả (trường hợp chọn đơn vị đo độ), ấn phím  thì đưa kết quả về dạng độ – phút – giây.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trên một đường tròn có bán kính bằng 5 cm, tìm độ dài của cung có số đo $\frac{2\pi }{3}$.

Hướng dẫn giải

Ta có R = 5 cm; $\alpha =\frac{2\pi }{3}$. Suy ra l = Rα = 5.$\frac{2\pi }{3}$ ≈ 10,5 (cm).

Vậy độ dài cung tròn là 10,5 cm.

Bài 2. Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết sinα = $-\frac{2}{5}$ và $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ .

Hướng dẫn giải

Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên cos α > 0. Mặt khác, từ sin² α + cos² α = 1 suy ra

$\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=$= $\sqrt{\frac{21}{25}}=\frac{\sqrt{21}}{5}$

Do đó, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}}=-\frac{2\sqrt{21}}{21}$và $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{-\frac{2}{5}}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$.

Bài 3. Tính

a) sin;

b) tan(–780°).

Hướng dẫn giải

a)  = -sin$\frac{\pi }{3}$ = -$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

b) tan(– 780°) = tan(–60° – 2.360°) = tan(–60°) = – tan60° = $-\sqrt{3}$.

Bài 4. Dùng máy tính cầm tay để:

a) Đổi 56°32’ sang rađian.

b) Tính tan.

Hướng dẫn giải

a) Để đổi 56°32’ sang rađian ta bấm lần lượt như sau:

Màn hình hiển thị kết quả: 0,9866928038

Vậy 56°32’ bằng 0,9866928038 rađian.

b) Để tính tan ta bấm lần lượt như sau:

Màn hình hiển thị kết quả: 1,253960338

Vậy tanbằng 1,253960338.

Bài 5. Tính sin2a và tan2a biết cos a = $\frac{1}{4}$ và $\frac{3\pi }{2}<a<2\pi$.

Hướng dẫn giải

Vì $\frac{3\pi }{2}<a<2\pi$nên sina < 0.

Ta có:

sin²a + cos²a = 1 ⇒ sin²a = 1 – cos²a = 1-= $\frac{15}{16}$

⇒ sina = $-\frac{\sqrt{15}}{4}$.

Ta có: sin2a = 2sina cosa = 2..$\frac{1}{4}$ = $-\frac{\sqrt{15}}{8}$

Ta có: tana = $\frac{\sin a}{\cos a}=-\sqrt{15}$

⇒ tan2a = $\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}$=  = $\frac{-2\sqrt{15}}{-14}=\frac{\sqrt{15}}{7}$.

Bài 6. Tính

a) sin biếtsin a = $\frac{3}{4}$ và 0 < a < $\frac{\pi }{2}$ ;

b) cos$\frac{3\pi }{8}$.cos$\frac{\pi }{8}$ + sin$\frac{3\pi }{8}$sin$\frac{\pi }{8}$.

Hướng dẫn giải

a) Vì 0<a<$\frac{\pi }{2}$ nên cosa > 0.

Ta có: sin²a + cos²a = 1 ⇒ cos²a = 1 – sin²a = 1-= $\frac{7}{16}$

⇒ cosa = $\frac{\sqrt{7}}{4}$ .

Vậy sin=$\sin a\cos \frac{\pi }{3}-\cos a\sin \frac{\pi }{3}=\frac{3}{4}.\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{7}}{4}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3-\sqrt{21}}{8}$ .

b) Ta có:

Ta có:

Suy ra: $\cos \frac{3\pi }{8}.\cos \frac{\pi }{8}+\sin \frac{3\pi }{8}.\sin \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Bài 7. Tính

a) cos(–15°) + cos255°;

b) sin$\frac{13\pi }{24}$sin$\frac{5\pi }{24}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

cos(–15°) + cos255° = 2.cos$\frac{-15°+255°}{2}$.cos$\frac{-15°-255°}{2}$

$=2.\cos 120°.\cos \left(-135°\right)=2$= $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy cos(–15°) + cos255° = = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

b) Ta có:

Vậy $\sin \frac{13\pi }{24}\sin \frac{5\pi }{24}=\frac{1+\sqrt{2}}{4}$.

Bài 8. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1+\sin x}{\cos x}$ ;

b) $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$.

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức $\frac{1+\sin x}{\cos x}$có nghĩa khi cos x ≠ 0, tức là x ≠ $\frac{\pi }{2}+k\pi$ (k ∈ ℤ).

Vậy tập xác định của hàm số $y=\frac{1+\sin x}{\cos x}$là D = R\.

b) Biểu thức $\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$có nghĩa khi (1)

Mặt khác, vì –1 ≤ cosx ≤ 1 ∀x ∈ ℝ nên 1 + cosx ≥ 0 và 1 – cosx ≥ 0

⇒ $\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\ge 0$khi 1 – cosx ≠ 0

Do đó (1) ⇔ 1 – cosx ≠ 0 ⇔ cosx ≠ 1 ⇔ x ≠ k2ℼ (k ∈ ℤ).

Vậy tập xác định của hàm số y = $\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$là D = ℝ \ {k2ℼ | k ∈ ℤ}.

Bài 9. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) f(x) = sinx cosx;

b) g(x) = sin²x + cos2x.

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ.

Do đó, nếu x ∈ D thì –x ∈ D.

Ta có f(–x) = sin(–x) cos(–x) = –sinx . cosx = – f(x).

Vậy hàm số f(x) = sinx cosx là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số g(x) là D = ℝ.

Do đó, nếu x ∈ D thì –x ∈ D.

Ta có g(–x) = sin²(–x) + cos2(–x) = [–sinx]² + cos(–2x) = sin²x + cos2x = f(x).

Vậy hàm số g(x) = sin²x + cos2x là hàm số chẵn.

Bài 10. Tìm tập giá trị của hàm số sau:

a) y = 1+$\sqrt{s\text{inx}}$;

b) y = 3cos-1.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của hàm số là sin x ≥ 0;

Vì –1 ≤ sin x ≤ 1 nên kết hợp với điều kiện xác định, ta có 0 ≤ sin x ≤ 1

Suy ra $0\le \sqrt{s\text{inx}}\le 1$ ⇒ 1+0 $\le$ 1+$\sqrt{\sin x}\le$ 1+1 ⇒ 1$\le$ 1+$\sqrt{\sin x}\le$2

⇒ 1 ≤ y ≤ 2

Vậy tập giá trị của hàm số y = 1+$\sqrt{\sin x}$ là [1; 2].

b) Ta có -1$\le$cos $\le$1, ∀x ∈ ℝ ⇔ -3$\le$3cos$\le$3, ∀x ∈ ℝ

⇔ -4$\le$3cos-1$\le$2, ∀x ∈ ℝ

⇔–4 ≤ y ≤ 2, ∀x ∈ ℝ.

Vậy tập giá trị của hàm số y = 3cos - 1 là [–4; 2].

Bài 11. Giải các phương trình sau:

a) sin x = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

b) cot (2x – 3) = cot $\frac{\pi }{7}$.

Hướng dẫn giải

a) sin x = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

⇔ sinx = sin

b) cot (2x – 3) = cot$\frac{\pi }{7}$

⇔ 2x – 3 = $\frac{\pi }{7}$ + k$\pi$

⇔ x = $\frac{\pi +21}{14}+k\frac{\pi }{2}$ (k ∈ ℤ).

Bài 12. Giải các phương trình sau:

a) sin x + cos 2x = 0;

b) cos2x = – cos 5x.

Hướng dẫn giải

a) Ta có sin x + cos 2x = 0

⇔ sin x + 1 – 2sin² x = 0

⇔ – 2sin² x + sin x + 1 = 0

⇔ 

+ Với sin x = 1 ta có: sinx = 1 ⇔ x = $\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\text{(k}\in \mathbb{Z}\text{).}$

+ Với sin x = $-\frac{1}{2}$ , ta có: sin x = $-\frac{1}{2}$ 

Vậy $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi ,x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi ,x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\text{(k}\in \mathbb{Z}\text{).}$

b) Ta có cos2x = – cos 5x ⇔ cos2x = cos($\pi$-5x)

Video bài giảng Toán 11 Bài tập cuối chương 1 trang 40 - Kết nối tri thức

Lý thuyết Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Xem chi tiết

Lý thuyết Bài 2: Công thức lượng giác

Xem chi tiết

Lý thuyết Bài 3: Hàm số lượng giác

Xem ch tiết

Lý thuyết Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Xem chi tiết