Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản (Cánh diều 2024) hay, chi tiết

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản (Cánh diều 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 11

Admin Vietjack Ngày: 30-12-2023 Lớp 11

3.7 K

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 11.

Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

A. Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản

1. Khái niệm phương trình tương đương

- Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

- Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết $f (x) = 0 \Leftrightarrow g (x) = 0$

*Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là hai phương trình tương đương.

- Các phép biến đổi tương đương:

+ Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức.

+ Nhân hoặc chia 2 vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

2. Phương trình $s i n x = m$

Phương trình sinx=m có nghiệm khi và chỉ khi $| m | \leq 1$ .

Khi $| m | \leq 1$ sẽ tồn tại duy nhất $α \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ thoả mãn $\sin α = m$ . Khi đó:

$s i n x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin α$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α + k 2 π \\ x = π - α + k 2 π \end{array} (k \in Z)$

* Chú ý:

a, Nếu số đo của góc $α$ được cho bằng đơn vị độ thì $\sin x = \sin α^{o} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α^{o} + k 360^{o} \\ x = 180^{o} - α^{o} + k 360^{o} \end{array} (k \in Z)$

b, Một số trường hợp đặc biệt

$\begin{array}{l} \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k π, k \in Z . \\ \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in Z . \\ \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π, k \in Z . \end{array}$

3. Phương trình $c o s x = m$

Phương trình $c o s x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $| m | \leq 1$ .

Khi $| m | \leq 1$ sẽ tồn tại duy nhất $α \in [0; π]$ thoả mãn $c o s α = m$ . Khi đó:

$c o s x = m \Leftrightarrow c o s x = c o s α$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α + k 2 π \\ x = - α + k 2 π \end{array} (k \in Z)$

* Chú ý:

a, Nếu số đo của góc $α$ được cho bằng đơn vị độ thì $\cos x = \cos α^{o} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α^{o} + k 360^{o} \\ x = - α^{o} + k 360^{o} \end{array} (k \in Z)$

b, Một số trường hợp đặc biệt

$\begin{array}{l} c o s x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π, k \in Z . \\ c o s x = 1 \Leftrightarrow x = k 2 π, k \in Z . \\ c o s x = - 1 \Leftrightarrow x = π + k 2 π, k \in Z . \end{array}$

4. Phương trình $\tan x = m$

Phương trình $\tan x = m$ có nghiệm với mọi m.

Với mọi $m \in R$ , tồn tại duy nhất $α \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ thoả mãn $\tan α = m$ . Khi đó:

$\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan α \Leftrightarrow x = α + k π, k \in Z .$

*Chú ý: Nếu số đo của góc $α$ được cho bằng đơn vị độ thì

$\tan x = \tan α^{o} \Leftrightarrow x = α^{o} + k 180^{o}, k \in Z .$

5. Phương trình $\cot x = m$

Phương trình $\cot x = m$ có nghiệm với mọi m.

Với mọi $m \in R$ , tồn tại duy nhất $α \in (0; π)$ thoả mãn $\cot α = m$ . Khi đó:

$\cot x = m \Leftrightarrow \cot x = \cot α \Leftrightarrow x = α + k π, k \in Z .$

*Chú ý: Nếu số đo của góc $α$ được cho bằng đơn vị độ thì

$\cot x = \cot α^{o} \Leftrightarrow x = α^{o} + k 180^{o}, k \in Z .$

6. Sử dụng máy tính cầm tay tìm góc khi biết giá trị lượng giác của nó

Bước 1. Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian).

Muốn tìm số đo độ, ta ấn: SHIFT $\to$ MODE $\to$ 3 (CASIO FX570VN).

Muốn tìm số đo radian, ta ấn: SHIFT $\to$ MODE $\to$ 4 (CASIO FX570VN).

Bước 2. Tìm số đo góc.

Khi biết SIN, COS, TANG của góc $α$ ta cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím SHIFT và một trong các phím SIN, COS, TANG rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím “BẰNG =”. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc $α$

B. Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1. Giải các phương trình sau:

Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Hướng dẫn giải

Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

⇔ x = –60° + k360° (k ∈ ℤ).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = –60° + k360° (k ∈ ℤ).

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) sinx.cos2x = sin2x.cos3x;

Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Hướng dẫn giải

a) sinx.cos2x = sin2x.cos3x.

Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

c) $2 \sin^{2} \frac{x}{2} = \cos 5 x + 1$ .

$\Leftrightarrow \cos 5 x + 1 - 2 \sin^{2} \frac{x}{2} = 0$ .

⇔ cos5x + cosx = 0.

⇔ 2cos3x.cos2x = 0.

Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản .

Bài 3.

a) Cho phương trình $\sin \frac{x}{3} = m^{2} + 9$ , m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho vô nghiệm?

b) Cho phương trình Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản , m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có nghiệm?

Hướng dẫn giải

a) TXĐ: D = ℝ.

Phương trình $\sin \frac{x}{3} = m^{2} + 9$ vô nghiệm ⇔ |m² + 9| > 1.

⇔ m² + 9 > 1.

⇔ m² > –8, ∀m ∈ ℝ.

Vậy phương trình $\sin \frac{x}{3} = m^{2} + 9$ vô nghiệm, ∀m ∈ ℝ.

b) TXĐ: D = ℝ.

Phương trình Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản có nghiệm

Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 4. Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản , với t là thời gian tính bằng giây và x là quãng đường tính bằng cm. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?