Lý thuyết Giới hạn của dãy số (Cánh diều 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 11

2.9 K

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 11.

Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

A. Lý thuyết Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

- Dãy số (un) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.

 Kí hiệu limn+un=0 hay un0 khi  n+ hay limun=0.

- Dãy số (un)có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu limn+(una)=0, kí hiệu limn+un=ahay una khi  n+hay limun=a.

* Chú ý: Nếu un=c (c là hằng số) thì limn+un=c

2. Một số giới hạn cơ bản

lim1n=0,lim1nk=0,kZ.

limcn=0,limcnk=0,kZ, c là hằng số.

+ Nếu |q|<1 thì limqn=0

lim(1+1n)n=e

3. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

a, Nếu limn+un=a,limn+vn=b thì

limn+(un±vn)=a±b

limn+(un.vn)=a.b

limn+(unvn)=ab(b0)

b, Nếu un0 thì với mọi n và limn+un=a thì a0 và limn+un=a.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn u1,u1q,...,u1qn1,... có công bội q thỏa mãn |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:

S=u11q(|q|<1)

4. Giới hạn vô cực

- Dãy số (un) được gọi là có giới hạn +khi n+ nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu limx+un=+ hay un+ khi n+.

- Dãy số (un) được gọi là có giới hạn khi n+ nếu limx+(un)=+, kí hiệu limx+un= hay un khi n+.

*Nhận xét:

  • limnk=+,kZ+limqn=+;qR,q>1.
  • Nếu limx+un=avà limx+vn=+(hoặclimx+vn=) thì limn+(unvn)=0.
  • Nếu limx+un=a>0và limx+vn=0,n thì limn+(unvn)=+.
  • limn+(unvn)=+.
  • Nếu limx+un=+limn+(un)=

Sơ đồ tư duy Giới hạn của dãy số.

 

B. Bài tập Giới hạn của dãy số

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

a) lim35n2;

b) lim4n+62n;

c) lim4n+6.2n3.4n;

d) lim5+3n24n.

Hướng dẫn giải

a) Ta có Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 1: Giới hạn của dãy số.

Vậy lim35n2=0.

b) Ta có Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 1: Giới hạn của dãy số.

Vậy lim4n+62n=2.

Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 1: Giới hạn của dãy số.

Vậy lim4n+6.2n3.4n=13.

d) Ta có: Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 1: Giới hạn của dãy số

Vậy lim5+3n24n=0.

Bài 2. Cho un=1n3+2 và vn=11n. Tính các giới hạn:

lim (un + vn); lim(un – vn); lim(un.vn);  limunvn.

Hướng dẫn giải

Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 1: Giới hạn của dãy số.

Khi đó:

• lim (un + vn) = lim un + lim vn = 2 + 1 = 3.

• lim (un – vn) = lim un – lim vn = 2 – 1 = 1.

• lim (un . vn) = lim un . lim vn = 2 . 1 = 2

 limunvn=limunlimvn=21=2.

Bài 3. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn biết u1 = 1, công bội q=23.

Hướng dẫn giải

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1, công bội q=23 là:

  S=u1+u1q+...+u1qn1+...=1123=3.

Vậy S = 3.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 3: Cấp số nhân

Lý thuyết Bài 1: Giới hạn của dãy số

Lý thuyết Bài 2: Giới hạn của hàm số

Lý thuyết Bài 3: Hàm số liên tục

Lý thuyết Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Lý thuyết Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Lý thuyết Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Lý thuyết Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

Đánh giá

0

0 đánh giá