Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 11.

Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

A. Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị

1. Hàm số lượng giác

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu y = sinx. Tập xác định của hàm số sin là $\mathbb{R}$.

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx được gọi là hàm số cos, kí hiệu y = cosx. Tập xác định của hàm số côsin là $\mathbb{R}$.

Hàm số cho bằng công thức $y=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Hàm số cho bằng công thức $y=\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

a, Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.

Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu $\mathrm{\forall }x\in D$thì $-x\in D$ và $f(-x)=f(x)$. Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng.

Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu $\mathrm{\forall }x\in D$thì $-x\in D$ và $f(-x)=-f(x)$. Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

b, Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T $\ne$ 0 sao cho với mọi $x\in D$ta có $x\pm T\in D$ và $f(x+T)=f(x)$

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn cách điều kiện trên (nêu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

* Nhận xét:

Các hàm số y = sinx, y=cosx tuần hoàn chu kì 2$\pi$.

Các hàm số y = tanx, y=cotx tuần hoàn chu kì $\pi$.

3. Đồ thị của các hàm số lượng giác

 a, Hàm số y =  sinx

Tập xác định là $\mathbb{R}$.

Tập giá trị là [-1;1].

Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì 2$\pi$.

Đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi \right)$.

Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.

b, Hàm số y =  cosx

Tập xác định là $\mathbb{R}$.

Tập giá trị là [-1;1].

Là hàm số chẵn và tuần hoàn chu kì 2$\pi$.

Đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\pi +k2\pi ;k2\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(k2\pi ;\pi +k2\pi \right)$.

Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

c, Hàm số y =  tanx

Tập xác định là $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Tập giá trị là $\mathbb{R}$.

Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì $\pi$.

Đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$, $k\in \mathbb{Z}$.

Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

d, Hàm số y =  cotx

Tập xác định là $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Tập giá trị là $\mathbb{R}$.

Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì $\pi$.

Đồng biến trên mỗi khoảng $\left(k\pi ;\pi +k\pi \right)$, $k\in \mathbb{Z}$.

Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Sơ đồ tư duy Hàm số lượng giác và đồ thị.

B. Bài tập Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=\frac{x^2}{\sin x+\tan x}.$

b) f(x) = |x|.sin x.

Hướng dẫn giải

⇔ sin 2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠ kπ ⇔ $x\ne \frac{k\pi }{2}$, k ∈ ℤ.

Vậy hàm số f(x) xác định trên  là tập đối xứng.

Ta có: $f\left(-x\right)=\frac{{\left(-x\right)}^2}{\sin \left(-x\right)+\tan \left(-x\right)}=-\frac{x^2}{\sin x+\tan x}=-f\left(x\right)$

Vậy hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2}{\sin x+\tan x}$ là hàm số lẻ.

b) Hàm số f(x) xác định trên D = ℝ là tập đối xứng

Ta có: f(−x) = |−x|.sin (−x) = |x|.sin x = −f(x).

Vậy hàm số f(x) = |x|.sin x là hàm số lẻ.

Bài 2. Tìm tập xác định của hàm số: $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}.$

Hướng dẫn giải

Hàm số $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$ xác định ⇔

Vì $-1\le \cos x\le 1,\forall x\in ℝ$ nên 

⇒ $\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\ge 0,\left(1-\cos x\right)\ne 0.$

Do đó y xác định khi và chỉ khi $1-\cos x\ne 0$ ⇔ cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k2π.

Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ \ {k2π, k ∈ ℤ}.

Bài 3. Dựa vào đồ thị của hàm số y = sin x, vẽ đồ thị của hàm số y = |sin x|.

Hướng dẫn giải

Ta biết đồ thị hàm số y = sin x có dạng như sau:

Với hàm số y = |sin x| ta có:

Từ dồ thị hàm số y = sin x ta có thể suy ra đồ thị hàm số y = |sin x| bằng cách:

- Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục Ox (sin x > 0).

- Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới Ox qua Ox.

Như vậy, ta được đồ thị hàm số y = |sin x| có dạng như sau (nét liền).

Video bài giảng Toán 11 Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị - Chân trời sáng tạo

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 3: Các công thức lượng giác

Lý thuyết Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

Lý thuyết Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản

Lý thuyết Bài 1: Dãy số

Lý thuyết Bài 2: Cấp số cộng

Lý thuyết Bài 3: Cấp số nhân

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Lý thuyết Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục