Bài 7.35 trang 59 Toán 10 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Với giải Bài 7.35 trang 59 SGK Toán 10 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài tập cuối chương 7 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SGK Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 7

Bài 7.35 trang 59 Toán 10 Tập 2: Cho elip (E) : $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0)

a) Tìm các giao điểm A1, A2 của (E) với trục hoành và các giao điểm B1, B2 của (E) với trục tung. Tính A1A2; B1B2

b) Xét một điểm bất kì M(x0; y0) thuộc (E).

Chứng minh rằng: b2 ≤ $x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ ≤ a2 và b ≤ OM ≤ a

Chú ý: A1A2; B1B2 tương ứng được là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b

Lời giải:

a) Giao điểm của (E) với trục hoành có y = 0 nên $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1$ ⇒ x2 = a2 ⇒ x = ± a

Do đó, giao điểm của (E) với trục hoành lần lượt là: A1(−a; 0), A2(a; 0).

⇒ $\vec{A_{1} A_{2}} (2 a; 0)$ ⇒ A1A2 = $\sqrt{{(2 a)}^{2} + 0^{2}}$ = 2a.

Giao điểm của (E) với trục tung có x = 0 nên $\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ⇒ y2 = b2 ⇒ y = ± b

Do đó, giao điểm của (E) với trục tung lần lượt là: B1(0; −b), B2(0; b).

⇒ $\vec{B_{1} B_{2}} (0; 2 b)$ ⇒ B1B2 = $\sqrt{0^{2} + {(2 b)}^{2}}$ = 2b.

Vậy A1(−a; 0), A2(a; 0), B1(0; −b), B2(0; b), A1A2 = 2a, B1B2 = 2b.

b) Vì M(x0; y0) thuộc (E) nên $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1$

Vì a > b > 0 nên $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} \leq \frac{x_{0}^{2}}{b^{2}}$ (Dấu “=” xảy ra khi x0 = 0)

⇔ $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} \leq \frac{x_{0}^{2}}{b^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}$ hay $1 \leq \frac{x_{0}^{2}}{b^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = \frac{x_{0}^{2} + y_{0}^{2}}{b^{2}}$

⇒ b2 ≤ $x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ (1)

Tương tự ta có: $\frac{y_{0}^{2}}{a^{2}} \leq \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}$ (Dấu “=” xảy ra khi y0 = 0)

⇔ $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} \geq \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{a^{2}}$ hay $1 \geq \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{a^{2}}$ ⇒ $x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ ≤ a2 (2)