Tứ diện đều chi tiết, đầy đủ 2024

ttinhin Ngày: 06-08-2024 Lớp 12

4.4 K

1. Tứ diện

Tứ diện là hình có bốn đỉnh, thường được kí hiệu A, B, C, D. Bất kì điểm nào trong số các điểm trên được gọi là đỉnh, mặt tam giác đối diện với đỉnh đó được gọi là đáy.
Ví dụ: Chọn A là đỉnh thì (BCD) là mặt đáy.

2. Tứ diện đều

Tứ diện đều là tứ diện có 4 mặt là tam giác đều.
Tứ diện đều là một hình chóp tam giác đều.
Hình chóp tam giác đều có thêm điều kiện cạnh bên bằng cạnh đáy là tứ diện đều.

3. Tính chất tứ diện đều

- Tứ diện đều có các tính chất như sau:

+ Bốn mặt xung quanh là các tam giác đều bằng nhau.
+ Các mặt của tứ diện là những tam giác có ba góc đều nhọn.
+ Tổng các góc tại một đỉnh bất kì của tứ diện là 180.

+ Hai cặp cạnh đối diện trong một tứ diện có độ dài bằng nhau.
+ Tất cả các mặt của tứ diện đều tương đương nhau.
+ Bốn đường cao của tứ diện đều có độ dài bằng nhau.
+ Tâm của các mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp nhau, trùng với tâm của tứ diện.
+ Hình hộp ngoại tiếp tứ diện là hình hộp chữ nhật.
+ Các góc phẳng nhị diện ứng với mỗi cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.
+ Đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện là một đường thẳng đứng vuông góc của cả hai cạnh đó.
+ Một tứ diện có ba trục đối xứng.
+ Tổng các cos của các góc phẳng nhị diện chứa cùng một mặt của tứ diện bằng 1.

4. Cách vẽ tứ diện đều

Bước 1: Đầu tiên các bạn hãy xem hình tứ diện đều là môt hình chóp tam giác đều ABCD.
Bước 2: Tiến hành vẽ mặt là cạnh đáy ví dụ là mặt BCD.
Bước 3: Tiếp theo các bạn tiến hành vẽ một đường trung tuyến của mặt đáy BCD. Ví dụ đường trung tuyến này là BM.
Bước 4: Sau đó các bạn tiến hành xác định trọng tâm G của tam giác BCD này
Bước 5: Tiến hành dựng đường cao.
Bước 6: Xác định điểm A trên đường vừa dựng và hoàn thiện hình tứ diện đều.

5. Thể tích tứ diện đều

- Một tứ diện đều sẽ có 6 cạnh bằng nhau và 4 mặt tam giác đều sẽ có các công thức tính thể tích như sau:

+ Thể tích tứ diện ABCD: Thể tích của một khối tứ diện bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối tứ diện tương ứng: $V=\dfrac{1}{3}.S_{BCD}.AH$
+ Thể tích tứ diện đều tam giác S.ABC: Thể tích của một khối chóp bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối chóp đó: $V=\dfrac{1}{3}.B.h$

6. Công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều cạnh a

Tứ diện đều chi tiết, đầy đủ 2024 (ảnh 1)

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. từ A kẻ AH là đường cao của hình chóp A.BCD, H thuộc (BCD) thì H sẽ là tâm của tam giác đều BCD. Suy ra

Chiều cao của hình chóp A.BCD đều cạnh a là $h = AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}$
Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là $V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

7. Một số bài tập ứng dụng

Ví dụ 1: Hãy tính thể tích khối tứ diện đều ABCD biết:

a) cạnh AB = 4 cm

b) cạnh CD = 6 cm

c) cạnh BD = 3 cm

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện đều cạnh a: $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$

a) Vì ABCD là tứ diện đều nên các cạnh có độ dài bằng nhau: BC = CD = DA = BD = AC = AB = 4 cm nên a= 4 (cm). Khi đó thể tích ABCD là: V = 7,54 cm3

b) Vì là tứ diện đều nên AB = BC = DA = BD = AC = CD = 6 cm nên a= 6 (cm). Khi đó thể tích ABCD là: V = 25,46 cm3

c) Vì là tứ diện đều nên AB = BC = CD = DA = AC = BD = 3 cm nên a = 3 (cm). Khi đó thể tích ABCD là: V = 3,18 cm3

Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD (đáy là hình vuông), đường SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Xác định hình chóp này có mặt đối xứng nào.

Hướng dẫn giải:

Ta có: BD vuông góc với AC, BD vuông góc với SA.

Từ đó suy ra, BD vuông góc với (SAC) => (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.

Ta kết luận rằng, (SAC) là mặt đối xứng của hình chóp và đây là mặt phẳng duy nhất.

Ví dụ 3: Tìm số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều.

Hướng dẫn giải:

Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung điểm cạnh đối diện. Vì vậy, hình tứ diện đều sẽ có 6 mặt phẳng đối xứng.

Ví dụ 4: Khối chóp tứ diện đều cạnh a có thể tích bằng: