Khối đa diện lồi trong thực tế: kim tự tháp Ai Cập, viên kim cương, rubic

Khối đa diện không lồi trong thực tế: cái bàn

Lời giải:

Khối bát diện đều có 6 đỉnh và 12 cạnh.

Lời giải:

$ABCD$ là tứ diện đều ⇒ tam giác $ABC$ đều $\Rightarrow AB=BC=CA=a$

$I,E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC,AB,BC$ nên ta có $IE,IF,EF$ là các đường trung bình của tam giác $ABC$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow IE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a\\ & \mathrm{I}\mathrm{F}=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a\\ & \mathrm{E}\mathrm{F}=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a\end{array}$

Nên tam giác $IEF$ là tam giác đều cạnh bằng ${\displaystyle \frac{a}{2}}$

Chứng minh tương tự ta có:$IFM,IMN,INE,JEF,JFM,JMN$ và $JNE$ là những tam giác đều cạnh bằng ${\displaystyle \frac{a}{2}}$

Lời giải:

$ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình lập phương cạnh $a$ nên các mặt là các hình vuông cạnh $a$.

Tứ diện $A{B}^{\prime }C{D}^{\prime }$ có các cạnh là các đường chéo của các mặt bên hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ nên tứ diện $A{B}^{\prime }C{D}^{\prime }$ có các cạnh bằng nhau

$\Rightarrow A{B}^{\prime }C{D}^{\prime }$ là tứ diện đều

Cạnh của tứ diện đều $A{B}^{\prime }C{D}^{\prime }$ bằng độ dài đường chéo của hình vuông cạnh $a$ và bằng $a\sqrt{2}$.

Giả sử khối lập phương có cạnh bằng $a$. Khi đó diện tích toàn phần của nó là: $S_1=6a^2$

Gọi $M$ là tâm của hình vuông $ABCD$; $Q$ là tâm hình vuông $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$; $P$ là tâm hình vuông $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$; $N$ là tâm hình vuông $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$; $E$ là tâm hình vuông $DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ và $F$ là tâm hình vuông $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Xét bát diện đều thu được, khi đó diện tích toàn phần của nó là $8$ lần diện tích tam giác đều $MQE$ (hình vẽ)

Xét tam giác $AC{D}^{\prime }$, ta có $M,Q$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $A{D}^{\prime }$ nên $MQ$ là đường trung bình của tam giác $AC{D}^{\prime }$, do đó $MQ={\displaystyle \frac{1}{2}C{\mathrm{D}}^{\prime }={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}}$ 

Ta có $S_{MQE}={\displaystyle \frac{1}{2}{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}\right)}^2.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}{a}^2}{8}}$ 

Diện tích xung quanh của bát diện đều là: $S_2=8.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}{a}^2}{8}=a^2\sqrt{3}}$

Do đó: ${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}=\frac{6{\mathrm{a}}^2}{a^2\sqrt{3}}=2\sqrt{3}}$

Gọi $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác đều $BCD,ACD,ABD,ABC$.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$:

Ta có: ${\displaystyle \frac{M{D}^{\prime }}{MA}}={\displaystyle \frac{M{A}^{\prime }}{MD}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ (tính chất đường trung tuyến).

$\Rightarrow A^{\prime }{D}^{\prime }//A\mathrm{D}$  (định lý Ta-lét).

và $A^{\prime }{D}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{3}}AD={\displaystyle \frac{a}{3}}$ 

Tương tự $A^{\prime }{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }=C^{\prime }{A}^{\prime }=B^{\prime }{D}^{\prime }=C^{\prime }{D}^{\prime }={\displaystyle \frac{a}{3}}$ 

Vậy $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là tứ diện đều.

Lý thuyết Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

1. Khối đa diện lồi

Khối đa diện $(H)$ được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của $(H)$ luôn thuộc $(H)$. Khi đó đa diện giới hạn $(H)$ được gọi là đa diện lồi.

Cách định nghĩa khác: Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó.

2. Khối đa diện đều

Một khối đa diện lồi được gọi là khối đa diện đều loại $\left\{p,q\right\}$ nếu:

a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều $p$ cạnh.

b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng $q$ mặt.

Nhận xét

+) Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều và bằng nhau.

+) Có năm loại khối đa diện đều. Đó là các khối đa diện đều loại $\left\{3,3\right\}$, loại $\left\{4,3\right\}$, loại $\left\{3,4\right\}$, loại $\left\{5,3\right\}$, và loại $\left\{3,5\right\}$.

Tùy theo số mặt của chúng, năm loại khối đa diện đều kể trên theo theo thứ tự được gọi là khối đa diện đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều.

Khối đa diện đều loại $\left\{n;p\right\}$ có $\text{Đ}$ đỉnh, $C$ cạnh và $M$ mặt thì: $p\text{Đ}=2C=nM$

- Khi trải phẳng các khối đa diện đều trên ta sẽ được các hình vẽ sau: