Giải Toán 10 trang 71 Tập 1 Cánh diều

ndiep Ngày: 31-01-2023 Lớp 10

362

Với Giải Toán lớp 10 trang 71 Tập 1 Cánh diều tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 10 trang 71 Tập 1 Cánh diều

Bài 1 trang 71 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có $A B = 3, 5; A C = 7, 5; \hat{A} = 135^{o} .$ Tính độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính BC, bằng cách áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos A$

Bước 2: Tính R, dựa vào định lí sin trong tam giác ABC:

$\frac{B C}{\sin A} = 2 R \Rightarrow R = \frac{B C}{2. \sin A}$

Lời giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2 A C . A B . \cos A$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow B C^{2} = 7, 5^{2} + 3, 5^{2} - 2.7, 5.3, 5. \cos 135^{o} \\ \Leftrightarrow B C^{2} \approx 105, 6 \\ \Leftrightarrow B C \approx 10, 3 \end{array}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{B C}{\sin A} = 2 R$

$\Rightarrow R = \frac{B C}{2. \sin A} = \frac{10, 3}{2. \sin 135^{o}} \approx 7, 3$

Bài 2 trang 71 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có $\hat{B} = 75^{o}, \hat{C} = 45^{o}$ và BC = 50. Tính độ dài cạnh AB.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính $\hat{A}$

Bước 2: Tính AB, bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC:

Lời giải:

Ta có: $\hat{B} = 75^{o}, \hat{C} = 45^{o}$ $\Rightarrow \hat{A} = 180^{o} - (75^{o} + 45^{o}) = 60^{o}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{A B}{\sin C} = \frac{B C}{\sin A}$

$\Rightarrow A B = \sin C . \frac{B C}{\sin A} = \sin 45^{o} . \frac{50}{\sin 60^{o}} \approx 40, 8$

Vậy độ dài cạnh AB là 40,8.

Bài 3 trang 71 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có $A B = 6, A C = 7, B C = 8$ . Tính $\cos A, \sin A$ và bán kính R của đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính cosA, bằng cách áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC:

$B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2. A C . A B . \cos A$

Bước 2: Tính sinA, dựa vào cos A.

Bước 3: Tính R, bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC

$\frac{B C}{\sin A} = 2 R \Rightarrow R = \frac{B C}{2. \sin A}$

Lời giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2. A C . A B . \cos A$

$\Rightarrow \cos A = \frac{A C^{2} + A B^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} = \frac{7^{2} + 6^{2} - 8^{2}}{2.7.6} = \frac{1}{4}$

Lại có: $\sin^{2} A + \cos^{2} A = 1 \Rightarrow \sin A = \sqrt{1 - \cos^{2} A}$ (do $0^{o} < A \leq 90^{o}$ )

$\Rightarrow \sin A = \sqrt{1 - {(\frac{1}{4})}^{2}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{B C}{\sin A} = 2 R$

$\Rightarrow R = \frac{B C}{2. \sin A} = \frac{8}{2. \frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{16 \sqrt{15}}{15} .$

Vậy $\cos A = \frac{1}{4};$ $\sin A = \frac{\sqrt{15}}{4};$ $R = \frac{16 \sqrt{15}}{15} .$

Bài 4 trang 71 Toán lớp 10: Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính cầm tay):

a) $A = \cos 0^{o} + \cos 40^{o} + \cos 120^{o} + \cos 140^{o}$

b) $B = \sin 5^{o} + \sin 150^{o} - \sin 175^{o} + \sin 180^{o}$

c) $C = \cos 15^{o} + \cos 35^{o} - \sin 75^{o} - \sin 55^{o}$

d) $D = \tan 25^{o} . \tan 45^{o} . \tan 115^{o}$

e) $E = \cot 10^{o} . \cot 30^{o} . \cot 100^{o}$

Phương pháp giải:

a) Bước 1: Tìm $\cos 0^{o}; \cos 120^{o}$ dựa vào bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Bước 2: Tính $\cos 140^{o}$ theo $\cos 40^{o}$ dựa vào công thức: $\cos α = - \cos (180^{o} - α)$

Bước 3: Rút gọn biểu thức.

b) Bước 1: Tìm $\sin 150^{o}; \sin 180^{o}$ dựa vào bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Bước 2: Tính $\sin 175^{o}$ theo $\sin 5^{o}$ dựa vào công thức: $\sin α = \sin (180^{o} - α)$

Bước 3: Rút gọn biểu thức.

c) Bước 1: Tính $\sin 75^{o}$ theo $\cos 15^{o}$ dựa vào công thức: $\sin α = \cos (90^{o} - α)$

Bước 2: Tính $\sin 55^{o}$ theo $\cos 35^{o}$ dựa vào công thức: $\sin α = \sin (180^{o} - α)$

Bước 3: Rút gọn biểu thức.

d) Bước 1: Tính $\tan 115^{o}$ theo $\tan 65^{o}$ dựa vào công thức: $\tan α = - \tan (180^{o} - α)$

Bước 2: Tính $\tan 65^{o}$ theo $\cot 25^{o}$ dựa vào công thức: $\tan α = \cot (90^{o} - α)$

Bước 3: Rút gọn biểu thức.

e) Bước 1: Tính $\cot 100^{o}$ theo $\cot 80^{o}$ dựa vào công thức: $\cot α = - \cot (180^{o} - α)$

Bước 2: Tính $\cot 80^{o}$ theo $\tan 10^{o}$ dựa vào công thức: $\cot α = \tan (90^{o} - α)$

Bước 3: Rút gọn biểu thức.

Lời giải:

a) $A = \cos 0^{o} + \cos 40^{o} + \cos 120^{o} + \cos 140^{o}$

Tra bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\cos 0^{o} = 1; \cos 120^{o} = - \frac{1}{2}$

Lại có: $\cos 140^{o} = - \cos (180^{o} - 40^{o}) = - \cos 40^{o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = 1 + \cos 40^{o} + (- \frac{1}{2}) - \cos 40^{o} \\ \Leftrightarrow A = \frac{1}{2} . \end{array}$

b) $B = \sin 5^{o} + \sin 150^{o} - \sin 175^{o} + \sin 180^{o}$

Tra bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\sin 150^{o} = \frac{1}{2}; \sin 180^{o} = 0$

Lại có: $\sin 175^{o} = \sin (180^{o} - 175^{o}) = \sin 5^{o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B = \sin 5^{o} + \frac{1}{2} - \sin 5^{o} + 0 \\ \Leftrightarrow B = \frac{1}{2} . \end{array}$

c) $C = \cos 15^{o} + \cos 35^{o} - \sin 75^{o} - \sin 55^{o}$

Ta có: $\sin 75^{o} = \sin (90^{o} - 75^{o}) = \cos 15^{o}$ ; $\sin 55^{o} = \sin (90^{o} - 55^{o}) = \cos 35^{o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow C = \cos 15^{o} + \cos 35^{o} - \cos 15^{o} - \cos 35^{o} \\ \Leftrightarrow C = 0. \end{array}$

d) $D = \tan 25^{o} . \tan 45^{o} . \tan 115^{o}$

Ta có: $\tan 115^{o} = - \tan (180^{o} - 115^{o}) = - \tan 65^{o}$

Mà: $\tan 65^{o} = \cot (90^{o} - 65^{o}) = \cot 25^{o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow D = \tan 25^{o} . \tan 45^{o} . \cot 25^{o} \\ \Leftrightarrow D = \tan 45^{o} = 1 \end{array}$

e) $E = \cot 10^{o} . \cot 30^{o} . \cot 100^{o}$

Ta có: $\cot 100^{o} = - \cot (180^{o} - 100^{o}) = - \cot 80^{o}$

Mà: $\cot 80^{o} = \tan (90^{o} - 80^{o}) = \tan 10^{o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow E = \cot 10^{o} . \cot 30^{o} . \tan 10^{o} \\ \Leftrightarrow E = \cot 30^{o} = \sqrt{3} . \end{array}$

Bài 5 trang 71 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC. Chứng minh:

a) $\sin \frac{A}{2} = \cos \frac{B + C}{2}$

b) $\tan \frac{B + C}{2} = \cot \frac{A}{2}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm mối liên hệ giữa góc $\frac{\hat{A}}{2}$ và góc $\frac{\hat{B} + \hat{C}}{2}$

Bước 2: Áp dung: $\sin α = \cos (90^{o} - α)$ và $\tan α = \cot (90^{o} - α)$ suy ra đpcm.

Lời giải:

Xét tam giác ABC, ta có:

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{o} \Rightarrow \frac{\hat{A}}{2} + \frac{\hat{B} + \hat{C}}{2} = 90^{o}$

Do đó $\frac{\hat{A}}{2}$ và $\frac{\hat{B} + \hat{C}}{2}$ là hai góc phụ nhau.

a) Ta có: $\sin \frac{A}{2} = \cos (90^{o} - \frac{A}{2}) = \cos \frac{B + C}{2}$

b) Ta có: $\tan \frac{B + C}{2} = \cot (90^{o} - \frac{B + C}{2}) = \cot \frac{A}{2}$

Bài 6 trang 71 Toán lớp 10: Để đo khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B ở hai bên bờ một cái ao, bạn An đi dọc bờ ao từ vị trí A đến vị trí C và tiến hành đo các góc BAC, BCA. Biết AC = 25 m, $\hat{B A C} = 59, 95^{o}; \hat{B C A} = 82, 15^{o} .$ Hỏi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Bài 6 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1 I Cánh diều (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm góc ABC.

Bước 2: Tính AB: Áp dụng định lí sin trong tam giác BAC: $\frac{A B}{\sin C} = \frac{A C}{\sin B}$

Lời giải:

Xét tam giác ABC, ta có: $\hat{B A C} = 59, 95^{o}; \hat{B C A} = 82, 15^{o} .$

$\Rightarrow \hat{A B C} = 180^{o} - (59, 95 + 82, 15^{o}) = 37, 9^{o}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác BAC ta có: $\frac{A B}{\sin C} = \frac{A C}{\sin B}$

$\Rightarrow A B = \sin C . \frac{A C}{\sin B} = \sin 82, 15^{o} . \frac{25}{\sin 59, 95^{o}} \approx 28, 6$

Vậy khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B là 28,6 m.

Bài 7 trang 71 Toán lớp 10: Hai tàu đánh cá cùng xuất phát từ bến A và đi thẳng đều về hai vùng biển khác nhau, theo hai hướng tạo với nhau góc $75^{o}$ . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 8 hải lí một giờ và tàu thứ hai chạy với tốc độ 12 hải lí một giờ. Sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu hải lí (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Phương pháp giải:

Bước 1: Quãng đường mỗi tàu đi được sau 2,5 giờ.

Bước 2: Tính khoảng cách giữa hai tàu bằng cách áp dụng định lí cosin.

Lời giải:

Gọi B, C lần lượt là vị trí của tàu thứ nhất và tàu thứ hai sau 2,5 giờ.

Sau 2,5 giờ:

Quãng đường tàu thứ nhất đi được là: AB = 8.2,5 = 20 (hải lí)

Quãng đường tàu thứ hai đi được là: AC = 12.2,5 = 30 (hải lí)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2. A C . A B . \cos A$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B C^{2} = 30^{2} + 20^{2} - 2.30.20. \cos 75^{o} \\ \Rightarrow B C^{2} \approx 989, 4 \\ \Rightarrow B C \approx 31, 5 \end{array}$

Vậy hai tàu cách nhau 31,5 hải lí.

Bài 8 trang 71 Toán lớp 10: Bạn A đứng ở đỉnh của tòa nhà và quan sát chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng giữa phương từ mắt của bạn A tới chiếc diều và phương nằm ngang) là $α = 35^{o}$ ; khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt bạn A là 1,5 m. Cùng lúc đó ở dưới chân tòa nhà, bạn B cũng quan sát chiếc diều và thấy góc nâng là $β = 75^{o}$ ; khoảng cách từ mặt đất đến mắt bạn B cũng là 1,5 m. Biết chiều cao của tòa nhà là h = 20 m (Hình 17). Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Bài 8 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1 I Cánh diều (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Bài 8 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1 I Cánh diều (ảnh 2)

Bước 1: Vẽ hình, gọi các điểm O, C, D, H như hình vẽ.

Bước 2: Đặt x = OC. Tính AC, BD theo $x, α, β$ .

Bước 3: Lập luận tìm x. Từ đó suy ra khoảng cách OH.

Lời giải:

Gọi các điểm:

O là vị trí của chiếc diều.

H là hình chiếu vuông góc của chiếc diều trên mặt đất.

C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên OH.

Đặt OC = x, suy ra OH = x + 20 + 1,5 =x + 21,5.

Xét tam giác OAC, ta có: $\tan α = \frac{O C}{A C} \Rightarrow A C = \frac{O C}{\tan α} = \frac{x}{\tan 35^{o}}$

Xét tam giác OBD, ta có: $\tan β = \frac{O D}{B D} \Rightarrow B D = \frac{O D}{\tan β} = \frac{x + 20}{\tan 75^{o}}$

Mà: $A C = B D$ $\Rightarrow \frac{x}{\tan 35^{o}} = \frac{x + 20}{\tan 75^{o}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x . \tan 75^{o} = (x + 20) . \tan 35^{o} \\ \Leftrightarrow x = \frac{20. \tan 35^{o}}{\tan 75^{o} - \tan 35^{o}} \approx 4, 6 \end{array}$