Ta sử dụng kiến thức: Độ dài $C$ của một đường tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: 

Lời giải:

Gọi phần bán kính tăng thêm của đường tròn bán kính $R$ là $a,$ phần bán kính tăng thêm của đường tròn bán kính $r$ là $b.$ Khi bán kính mỗi đường tròn tăng thêm $1m,$ ta có:

$2\pi (R+a)=2\pi R+1\Rightarrow 2\pi a=1$$\Rightarrow a={\displaystyle \frac{1}{2\pi }(m)}$

$2\pi (r+b)=2\pi r+1\Rightarrow 2\pi b=1$$\Rightarrow b={\displaystyle \frac{1}{2\pi }(m)}$

Vậy bán kính mỗi đường tròn đều tăng thêm ${\displaystyle \frac{1}{2\pi }(m)}$.

$a)$ Một lục giác đều có cạnh là $4cm;$

$b)$ Một hình vuông có cạnh là $4cm;$

$c)$ Một tam giác đều có cạnh là $6cm.$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Độ dài $C$ của một đường tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $C=2\pi R.$

+) Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác.

+) Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác.

Lời giải:

$a)$ 

Cạnh lục giác đều nội tiếp trong đường tròn $(O;R)$ bằng bán kính $R.$ Vì cạnh lục giác đều là $4cm$ $\Rightarrow R=4cm.$

$C=2\pi R=2.\pi .4=8\pi (cm)$

$b)$

Đường tròn ngoại tiếp hình vuông có đường kính là đường chéo của hình vuông.

Độ dài đường chéo hình vuông có cạnh bằng $4(cm)$ là $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=4\sqrt{2}$$(cm)$ (định lý Pytago)

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông:

$R={\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}}$

$C=2\pi R=2.\pi .2\sqrt{2}=4\pi \sqrt{2}(cm)$ 

$c)$

Vì tam giác đều nên giao điểm $3$ đường trung trực cũng là giao điểm $3$ đường cao, $3$ đường trung tuyến nên bán kính của đường tròn ngoại tiếp bằng ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ đường cao của tam giác đều.

Xét tam giác vuông $AHB,$ ta có: 

$AH=AB.\sin \hat{B}=6.\sin 60^{\circ }$$={\displaystyle 6.\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}}$

Bán kính $R={\displaystyle \frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}.3\sqrt{3}=2\sqrt{3}}$$(cm)$

$C=2\pi R=2\pi .2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\pi (cm).$

Ta sử dụng kiến thức: Độ dài $C$ của một đường tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $C=2\pi R$

Lời giải:

Gọi bán kính trái đất là $R$

Ta có: $2\pi R=40000(km)$

$\Rightarrow R={\displaystyle \frac{40000}{2\pi }\approx \frac{40000}{6,28}\approx 6369(km)}$

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của nửa đường tròn bằng ${180}^o.$

+) Trong đường tròn $R,$ độ dài $l$ của một cung $n^{\circ }$ được tính theo công thức: $l={\displaystyle \frac{\pi Rn}{180}}.$

Lời giải:

Ta có cung ${180}^{\circ }$ (một nửa đường tròn lớn) có độ dài bằng $20000km.$

Độ dài của cung ${56}^{\circ }$ là: $l={\displaystyle \frac{20000.56}{180}\approx 6222}$ $(km)$

Vậy Mát – xcơ – va cách xích đạo khoảng $6222km.$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

 +) Trong đường tròn $R,$ độ dài $l$ của một cung $n^{\circ }$ được tính theo công thức: $l={\displaystyle \frac{\pi Rn}{180}}.$

Lời giải:

Đường cong $a$ là nửa đường tròn đường kính $12cm$

Đường cong $a$ có độ dài $l_1={\displaystyle \frac{1}{2}\pi .12=6\pi }$ (cm)

Đường cong $b$ gồm 3 nửa đường tròn có đường kính là 4 cm

Đường cong $b$ có độ dài $l_2=3.{\displaystyle \frac{1}{2}\pi .4=6\pi }$ (cm)

Đường cong $c$ gồm hai nửa đường tròn đường kính $6cm.$

Đường cong $c$ có độ dài $l_3=2.{\displaystyle \frac{1}{2}\pi .6=6\pi }$ (cm)

Vậy $3$ đường cong có độ dài bằng nhau.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Độ dài $C$ của một đường tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $C=2\pi R.$ Nếu gọi $d$ là đường kính đường tròn $(d=2R)$ thì $C=\pi d.$

Lời giải:

Hình $7$ có $2$ nửa đường tròn đường kính $4cm$ và có 4 cung có độ dài là ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ đường tròn bán kính $4cm$ 

$\stackrel{⏜}{AmI}$ là nửa đường tròn đường kính $4cm$, gọi độ dài cung này là $l_1$, có 2 cung như thế. 

$l_1={\displaystyle \frac{1}{2}\pi .4=2\pi }$ (cm)

$\stackrel{⏜}{AnJ}$ là cung ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ đường tròn bán kính $4cm$ (trên hình 7 có $4$ cung bằng nhau (vì $4$ đường tròn đó có cùng bán kính)) 

Gọi $\stackrel{⏜}{AnJ}$ có độ dài $l_2$

$l_2={\displaystyle \frac{1}{6}.2\pi .4=\frac{4}{3}\pi }$ $(cm)$

Chu vi hình $7$ là: $2.l_1+4.l_2$$=2\pi .2+{\displaystyle \frac{4}{3}\pi .4={\displaystyle \frac{28}{3}\pi }}$ $(cm)$

Hình $8$ có hai nửa đường tròn đường kính $4cm$ và hai cung ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ đường tròn bán kính $8cm$

Cung $\stackrel{⏜}{CpS}$ là nửa đường tròn đường kính $4cm$ có độ dài $l_1$

$l_1={\displaystyle \frac{1}{2}.\pi .4=2\pi }$ (cm)

Cung $\stackrel{⏜}{CqT}$ là ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ đường tròn bán kính $8cm$ có độ dài $l_2$

$l_2={\displaystyle \frac{1}{6}.2\pi .8=\frac{8}{3}\pi }$ $(cm)$

Chu vi hình $8$ bằng: $2.l_1+2.l_2=2.2\pi +2.{\displaystyle \frac{8}{3}\pi ={\displaystyle \frac{28}{3}\pi }}$ $(cm)$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Độ dài $C$ của một đường tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $C=2\pi R$

Lời giải:

Cách vẽ:

- Vẽ đoạn thẳng $AB=3$ cm 

- Vẽ đường tròn tâm $A$ bán kính $3cm$

- Vẽ đường tròn tâm $B$ bán kính $3cm$

Đường tròn $(A)$ và đường tròn $(B)$ cắt nhau tại $C$ và $D.$

- Vẽ cung tròn tâm $C$ bán kính $6cm$ cắt đường tròn $(A)$ và $(B)$ tại $F$ và $H$

- Vẽ cũng tròn tâm $D$ bán kính $6cm$ cắt đường tròn $(A)$ và $(B)$ tại $E$ và $G.$

Tính chu vi:

Theo cách vẽ, ta có $∆ABD$ đều, $∆ACD$ đều.

$\Rightarrow \widehat{CAD}=\widehat{CBD}={120}^0$

$\stackrel{⏜}{FmE}$ = $\stackrel{⏜}{HG}$; $\stackrel{⏜}{FnH}$ = $\stackrel{⏜}{EG}$

Cung $\stackrel{⏜}{FmE}$ bằng ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ đường tròn đường kính $3cm$ nên có độ dài là:

$l_1={\displaystyle \frac{1}{3}.2\pi .3=2\pi }$ $(cm)$

Cung $\stackrel{⏜}{FnH}$ bằng ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ đường tròn bán kính $6cm$ nên có độ dài là: 

$l_2={\displaystyle \frac{1}{6}.2\pi .6=2\pi }$ $(cm)$

Chu vi quả trứng bằng:

$2l_1+2l_2=2.2\pi +2.2\pi =8\pi$$(cm)$

Ta sử dụng kiến thức: Trong đường tròn $R,$ độ dài $l$ của một cung $n^{\circ }$ được tính theo công thức: $l={\displaystyle \frac{\pi Rn}{180}}.$ 

Lời giải:

Đổi ${36}^{\circ }{45}^{\prime }={\displaystyle \frac{{147}^{\circ }}{4}}$

$l={\displaystyle \frac{\pi R.n}{180}}$ $\Rightarrow l={\displaystyle \frac{\pi R.{\displaystyle \frac{147}{4}}}{180}=\frac{49}{240}\pi R}$

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

+) Trong giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.

+) Trong một đường tròn, góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng ${90}^{\circ }$) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

+) Độ dài $C$ của một đường tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $C=2\pi R$

Lời giải:

Vẽ đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ 

$∆ABC$ cân có $\hat{B}={120}^{\circ }$ nên $∆ABC$ cân tại $B$ 

$\Rightarrow \hat{A}=\hat{C}={\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-{\displaystyle {120}^{\circ }}}{2}={30}^0}$

Kẻ $BH\mathrm{\perp }AC$$\Rightarrow AH=HC={\displaystyle \frac{1}{2}AC=3}$ $(cm)$

Trong tam giác vuông $BHA$ ta có $\widehat{BHA}={90}^0$ có:

$AB={\displaystyle \frac{AH}{\cos A}}$$={\displaystyle \frac{3}{\cos {30}^0}}$$={\displaystyle \frac{3}{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}}$$=2\sqrt{3}(cm)$

Xét đường tròn $(O)$ có: $\hat{C}={\displaystyle \frac{1}{2}\widehat{AOB}}$ (hệ quả góc nội tiếp)

$\Rightarrow \widehat{AOB}=2\hat{C}={2.30}^0={60}^0$

$OA=OB$ (bán kính)

Suy ra $∆AOB$ đều nên $OA=OB=2\sqrt{3}(cm)$

Độ dài đường tròn ngoại tiếp $∆ABC$

$C=2\pi R$$=2\pi .2\sqrt{3}=4\pi \sqrt{3}$ $(cm)$

$a)$ Theo quy tắc đó thì số $\pi$ được lấy gần đúng là bao nhiêu$?$

$b)$ Hãy áp dụng quy tắc trên để tính đường kính của một thân cây gần tròn bằng cách dùng dây quấn quanh thân cây.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Độ dài $C$ của một đường tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $C=2\pi R.$ Nếu gọi $d$ là đường kính đường tròn $(d=2R)$ thì $C=\pi d.$

Lời giải:

$a)$ Gọi $C$ là độ dài đường tròn, $d$ là đường kính $\Rightarrow \pi ={\displaystyle \frac{C}{d}}$

Theo quy tắc trên ta tìm được đường kính $d$ như sau:

Lấy $C$ chia làm $8$ phần, bỏ đi $3$ và phần còn lại chia $2.$

Ta có: $d=\left({\displaystyle \frac{C}{8}-\frac{3}{8}C}\right):2$

            $={\displaystyle \frac{5}{8}C:2=\frac{5C}{16}}$

$\pi ={\displaystyle \frac{C}{d}=\frac{C}{{\displaystyle \frac{5C}{16}}}=\frac{16}{5}=3,2}$

$b)$ Lấy dây quấn quanh thân cây được độ dài đường tròn là $C.$

Suy ra đường kính thân cây là ${\displaystyle \frac{5}{16}C}$

Ta sử dụng kiến thức: Độ dài $C$ của một đường tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $C=2\pi R$

Lời giải:

Quãng đường đi của Trái Đất trong một năm là:

$2\pi R=2.3,14.150000000$ $km$

Quãng đường đi của Trái Đất trong $1$ ngày là:

${\displaystyle \frac{2.3,14.150000000}{365}\approx 2580822}$

$\approx 2580000km$

Bài tập bổ sung (trang 111 SBT Toán 9)

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Độ dài $C$ của một đường tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $C=2\pi R$

Lời giải:

Hình đó gồm một nửa đường tròn bán kính $3R$ và $3$ nửa đường tròn bán kính $R$

Chu vi của hình đó là:

$l={\displaystyle \frac{1}{2}.2\pi .3R+3.\frac{1}{2}.2\pi .R=6\pi R}$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

+) Trong đường tròn $R,$ độ dài $l$ của một cung $n^{\circ }$ được tính theo công thức: $l={\displaystyle \frac{\pi Rn}{180}}.$

Lời giải:

Hình vẽ có $6$ cung tròn bằng nhau có bán kính bằng $R$

$\stackrel{⏜}{BOF}$ của đường tròn $(A;R)$

$\stackrel{⏜}{AOC}$ của đường tròn $(B;R)$

$\stackrel{⏜}{BOD}$ của đường tròn $(C;R)$

$\stackrel{⏜}{COE}$ của đường tròn $(D;R)$

$\stackrel{⏜}{DOF}$ của đường tròn $(E;R)$

$\stackrel{⏜}{EOA}$ của đường tròn $(F;R)$

Vì ABCDEF là lục giác đều nội tiếp đường tròn tâm O (theo cách vẽ hình cánh hoa) nên $AB=BC=CD=DE=EF$

Từ đó suy ra các tam giác OAB, OBC, OCD, ODE, OEF, OFA bằng nhau (c-c-c)

Nên: $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}$$=\widehat{DOE}=\widehat{EOF}=\widehat{FOA}={\displaystyle \frac{{360}^0}{6}}={60}^0$

Vì OA=OB và $\widehat{AOB}={60}^0$ nên $∆AOB$ đều, tương tự ta có $∆AOF$ đều nên $\widehat{BAF}={120}^{\circ }$ 

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{BOF}={120}^{\circ }$

$l={\displaystyle \frac{\pi R.120}{180}=\frac{2\pi R}{3}}$

Chu vi cánh hoa: ${\displaystyle \frac{2\pi R}{3}.6=4\pi R}$