$a)$ Từ $1$ giờ đến $3$ giờ kim giờ quay được $1$ góc ở tâm bằng bao nhiêu độ$?$

$b)$ Cũng hỏi như thế từ $3$ giờ đến $6$ giờ$?$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Góc ở có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Lời giải:

Vì trên đồng hồ có 12 chữ số nên mặt đồng hồ được chia ra thành $12$ cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn tương ứng với góc ở tâm bằng ${360}^0:12={30}^o.$

$a)$ Từ $1$ giờ đến $3$ giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm bằng ${2.30}^0={60}^o.$

$b)$ Từ $3$ giờ đến $6$ giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm bằng ${3.30}^0={90}^o.$

Lời giải:

Một vòng quay của kim phút là 60 phút tương ứng với 360°. Như vậy mỗi phút tương ứng với ${360}^0:60=6^0.$ Đồng hồ chạy chậm 25 phút thì phải quay kim phút một góc ở tâm là $6^0.25={150}^0.$

Muốn cắt chỉ bằng một nhát kéo thì phải gấp tờ giấy đó thành một hình có góc ở tâm bằng bao nhiều độ$?$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm. 

Lời giải:

Đầu tiên ta gấp đôi tờ giấy, ta chọn điểm làm tâm rồi chia tờ giấy ra thành $5$ phần với $5$ góc ở tâm bằng nhau, mỗi góc bằng ${180}^o:5={36}^o.$

Tính số đo góc ở tâm $\widehat{AOB}$$?$

Phương pháp giải:

Lời giải:

Xét đường trong $(O)$ có: $MA\mathrm{\perp }OA$ (tính chất tiếp tuyến)

Trong $∆MAO$ có $\widehat{OAM}={90}^0,$ ta có:

$\cos \widehat{AOM}={\displaystyle \frac{OA}{OM}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}}$

$\Rightarrow \widehat{AOM}={60}^0$

Lại có $OM$ là tia phân giác của góc $AOB$ (tính chất $2$ tiếp tuyến MA, MB cắt nhau nhau tại M)

Suy ra $\widehat{AOM}={\displaystyle \frac{1}{2}\widehat{AOB}}$ 

$\Rightarrow \widehat{AOB}=2\widehat{AOM}={120}^0$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

+) Trong tam giác đều mỗi góc bằng ${60}^o$.

+) Số đo của nửa đường tròn bằng ${180}^o.$

Lời giải:

Điểm $D$ có 2 trường hợp :

$\ast )$ Nếu điểm $D$ nằm giữa $C$ và $B$

Ta có $C$ điểm chính giữa của cung $AB$ nên:

$sđ\stackrel{⏜}{BC}=sđ\stackrel{⏜}{AC}={90}^o$

Ta lại có $CD=R$ $(gt)$

Suy ra : $OC=OD=CD=R$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }OCD$ đều $\Rightarrow \widehat{COD}={60}^o$

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{CD}=\widehat{COD}={60}^o$

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{BD}=sđ\stackrel{⏜}{BC}-sđ\stackrel{⏜}{CD}$$={90}^o-{60}^o={30}^o$

Suy ra $\widehat{BOD}=sđ\stackrel{⏜}{BD}={30}^o$

$\ast )$ Nếu $D$ nằm giữa $C$ và $A$ ta có : $CD=OC=OD=R$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }OCD$ đều $\Rightarrow \widehat{COD}={60}^o$

$sđ\stackrel{⏜}{CD}=\widehat{COD}={60}^o$

$sđ\stackrel{⏜}{BD}=sđ\stackrel{⏜}{BC}+sđ\stackrel{⏜}{CD}$$={90}^o+{60}^o={150}^o$

Suy ra $\widehat{BOD}=sđ\stackrel{⏜}{BD}={150}^o$

$a)$ Số đo cung nhỏ $AB$ của $(O;R)$ lớn hơn số đo cung nhỏ $AB$ của $(O^{\prime };R^{\prime }).$

$b)$ Số đo cung lớn $AB$ của $(O;R)$ nhỏ hơn số đo cung lớn $AB$ của $(O;R^{\prime }).$

$c)$ Số đo hai cung nhỏ bằng nhau.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa ${360}^o$ và số đo cung nhỏ(có chung hia mút với cung lớn).

+) Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.

+) Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn.

+) Hai cung được là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.

Lời giải:

$a)$ Trong $(O;R)$ ta có: $\widehat{AOB}=sđ\stackrel{⏜}{AB}$ (nhỏ)

Trong $(O^{\prime };R)$ ta có: $\widehat{A{O}^{\prime }B}=sđ\stackrel{⏜}{AB}$ (nhỏ)

Vì số đo cung $AB$ nhỏ của $(O;R)$ lớn hơn số đo cung $AB$ nhỏ của $(O^{\prime };R^{\prime })$

Suy ra: $\widehat{AOB}>\widehat{A{O}^{\prime }B}$                   $(1)$

Xét hai tam giác $\mathrm{\Delta }AO{O}^{\prime }$ và $\mathrm{\Delta }BO{O}^{\prime }$ có:

+) $O^{\prime }A=O^{\prime }B=R^{\prime }$

+) $OA=OB=R$

+) $O{O}^{\prime }$ cạnh chung

Nên $\mathrm{\Delta }AO{O}^{\prime }=\mathrm{\Delta }BO{O}^{\prime }$ $(c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{AO{O}^{\prime }}=\widehat{BO{O}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{2}\widehat{AOB}}$          $(2)$

$\widehat{A{O}^{\prime }O}=\widehat{B{O}^{\prime }O}={\displaystyle \frac{1}{2}\widehat{A{O}^{\prime }B}}$          $(3)$

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra: $\widehat{AO{O}^{\prime }}>\widehat{A{O}^{\prime }O}$

Trong $\mathrm{\Delta }AO{O}^{\prime }$ ta có:  $\widehat{AO{O}^{\prime }}>\widehat{A{O}^{\prime }O}$

Suy ra: $O^{\prime }A>OA$ (bất đẳng thức tam giác) hay $R^{\prime }>R$ 

Chú ý: Nếu các em vẽ hình như dưới đây thì ta lấy đối xứng đường tròn $(O)$ qua trục $AB$ để chứng minh như trên.

$b)$ Trong $(O;R)$ số đo cung lớn $AB$ cộng với số đo cung nhỏ $AB$ bằng ${360}^o$

Mà số đo cung lớn $AB$ của $(O;R)$ nhỏ hơn số đo cung lớn $AB$ của $(O^{\prime };R^{\prime })$

Suy ra số đo cung nhỏ $AB$ của $(O;R)$ lớn hơn số đo cung nhỏ của $(O^{\prime };R^{\prime })$

Chứng minh tương tự câu $a)$ ta có: $R>R^{\prime }.$

$c)$ Số đo hai cung nhỏ của $(O;R)$ và $(O^{\prime };R^{\prime })$ bằng nhau

$\Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{A{O}^{\prime }B}$

Suy ra: $\widehat{AO{O}^{\prime }}=\widehat{A{O}^{\prime }O}\Rightarrow \mathrm{\Delta }AO{O}^{\prime }$ cân tại $A$ nên $OA=O{A}^{\prime }$ hay $R=R^{\prime }.$

Hãy so sánh các góc ở tâm $BOC$ và $B{O}^{\prime }D.$

Hướng dẫn. Sử dụng các tam giác cân $OBC,$ $O^{\prime }BD.$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

+) Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn gọi là góc ở tâm.

Lời giải:

Trong $(O)$ ta có:

$\mathrm{\Delta }OBC$ cân tại $O$ (vì $OB=OC=$ bán kính)

$\Rightarrow \widehat{BOC}={180}^0-2.\widehat{OBC}(1)$

Trong $(O^{\prime })$ ta có:

$\mathrm{\Delta }B{O}^{\prime }D$ cân tại $O^{\prime }$ (vì $O^{\prime }D=O^{\prime }D=$ bán kính)

$\Rightarrow \widehat{B{O}^{\prime }D}={180}^0-2.\widehat{O^{\prime }BD}(2)$

Lại có $\widehat{OBC}=\widehat{O^{\prime }BD}$ $(3)$ (vì $BC$ là phân giác của $\widehat{OB{O}^{\prime }}$)

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra: $\widehat{BOC}=\widehat{B{O}^{\prime }D}$.

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

+) Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa  ${360}^o$ và số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).

Lời giải:

Vì  cung $AD$ nhận $B$ làm điểm chính giữa, cung $CB$ nhận $A$ là điểm chính giữa nên $\stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{BD}=\stackrel{⏜}{AC}$

$\Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{BOD}=\widehat{AOC}={140}^0$ 

Kẻ đường kính $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime }$ ta có:

$\widehat{AOB}+\widehat{AO{B}^{\prime }}={180}^0$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{AO{B}^{\prime }}={180}^0-\widehat{AOB}$$={180}^0-{140}^0={40}^0$

Suy ra: $\widehat{BO{A}^{\prime }}=\widehat{AO{B}^{\prime }}={40}^0$ (hai góc đối đỉnh)

$\widehat{B^{\prime }OD}+\widehat{BOD}={180}^0$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{B^{\prime }OD}={180}^0-\widehat{BOD}$$={180}^0-{140}^0={40}^0$

$\widehat{AOC}=\widehat{AO{B}^{\prime }}+\widehat{B^{\prime }OD}+\widehat{DOC}$

$\Rightarrow \widehat{DOC}=\widehat{AOC}-\widehat{AO{B}^{\prime }}-\widehat{B^{\prime }OD}$$={140}^0-{40}^0-{40}^0={60}^0$

$sđ\stackrel{⏜}{CD}(nhỏ)=\widehat{COD}={60}^0$

$sđ\stackrel{⏜}{CD}(lớn)={360}^o-sđ\stackrel{⏜}{CD}(nhỏ)$$={360}^o-{60}^o={300}^o$

Hướng dẫn: Xét $3$ trường hợp:

$a)$ Tia $OC$ nằm trong góc đối đỉnh của góc ở tâm $\widehat{AOB}.$

$b)$ Tia $OC$ trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm $\widehat{AOB}.$

$c)$ Tia $OC$ nằm trong một góc kề bù với góc ở tâm $\widehat{AOB}.$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Nếu $C$ là một điểm trên cung $AB$ thì: $sđ\stackrel{⏜}{AB}=sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{CB}.$

+) Số đo của nửa đường tròn bằng ${180}^o.$

+) Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa  ${360}^o$ và số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Lời giải:

$a)$ Trường hợp tia $OC$ nằm trong góc đối đỉnh với $\widehat{AOB}$ 

Kẻ đường kính $CD$

Suy ra: $OD$ nằm giữa $OA$ và $OB$ nên điểm $D$ nằm trên cung nhỏ cung $\stackrel{⏜}{AB}$

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{AD}(nhỏ)+sđ\stackrel{⏜}{BD}(nhỏ)$$=sđ\stackrel{⏜}{AB}(nhỏ)$ $(1)$

Vì $OA$ nằm giữa $OC$ và $OD$ nên điểm $A$ nằm trên cung nửa đường tròn $CD.$

$\Rightarrow$$sđ\stackrel{⏜}{AD}(nhỏ)+sđ\stackrel{⏜}{AC}(nhỏ)$$={180}^o$ $(2)$

Vì $OB$ nằm giữa $OC$ và $OD$ nên điểm $B$ nằm trên cung nửa đường tròn $CD.$

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{BD}(nhỏ)+sđ\stackrel{⏜}{BC}(nhỏ)$$={180}^o$ $(3)$

Cộng từng vế $(2)$ và $(3):$

$sđ\stackrel{⏜}{AD}(nhỏ)+sđ\stackrel{⏜}{AC}(nhỏ)$$+sđ\stackrel{⏜}{BD}(nhỏ)+sđ\stackrel{⏜}{BC}(nhỏ)$$={360}^o$ $(4)$

Từ $(1)$ và $(4)$ suy ra: $sđ\stackrel{⏜}{AC}(nhỏ)+sđ\stackrel{⏜}{BC}(nhỏ)$$+sđ\stackrel{⏜}{AB}(nhỏ)={360}^o$

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{AC}(nhỏ)+sđ\stackrel{⏜}{BC}(nhỏ)$$={360}^o-sđ\stackrel{⏜}{AB}(nhỏ)$

Mà ${360}^o-sđ\stackrel{⏜}{AB}(nhỏ)=sđ\stackrel{⏜}{AD}(lớn)$

Vậy với cung lớn $\stackrel{⏜}{AB}$ ta có: $sđ\stackrel{⏜}{AB}=sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{BC}$

b) Trường hợp tia $OC$ trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm $\widehat{AOB}$

Do tia $OC$ trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm $\widehat{AOB}$, ta có:

$\widehat{AOB}+\widehat{BOC}={180}^o$; $\widehat{AOC}={180}^o$

$\Rightarrow \widehat{AOB}+\widehat{BOC}+\widehat{AOC}={360}^o$

$\Rightarrow \widehat{AOC}+\widehat{BOC}={360}^o-\widehat{AOB}$

Suy ra: $sđ\stackrel{⏜}{AB}+sđ\stackrel{⏜}{BC}(nhỏ)$$={360}^o-sđ\stackrel{⏜}{AB}(nhỏ)$

Vậy với cung lớn $\stackrel{⏜}{AB}$ ta có: $sđ\stackrel{⏜}{AB}=sđ\stackrel{⏜}{AC}(nhỏ)+sđ\stackrel{⏜}{BC}$

c) Trong hợp tia $OC$ nằm trong góc kề bù với góc ở tâm $\widehat{AOB}$

Kẻ đường kính $AE.$

Theo trường hợp $b)$ ta có:

$sđ\stackrel{⏜}{AB}(lớn)$$=sđ\stackrel{⏜}{AE}(nhỏ)+sđ\stackrel{⏜}{BE}(nhỏ)$

Ta xét trường hợp $C$ nằm trên cung nhỏ $\stackrel{⏜}{EB}:$

$sđ\stackrel{⏜}{EB}(nhỏ)$$=sđ\stackrel{⏜}{EC}(nhỏ)+sđ\stackrel{⏜}{CB}(nhỏ)$

$\Rightarrow$ $sđ\stackrel{⏜}{AB}(lớn)=sđ\stackrel{⏜}{AE}$$+sđ\stackrel{⏜}{EC}(nhỏ)+sđ\stackrel{⏜}{CB}(nhỏ)$

Theo kết quả trường hợp $b)$ ta có:

$sđ\stackrel{⏜}{AE}+sđ\stackrel{⏜}{EC}(nhỏ)=sđ\stackrel{⏜}{AC}(lớn)$

Vậy với cung $\stackrel{⏜}{AB}$ lớn ta có: $sđ\stackrel{⏜}{AB}=sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{CB}$

Trong trường hợp $OC$ nằm trên góc đối với góc ở tâm $\widehat{BOE}$ chứng minh tương tự.

Trong trường hợp $OC$ nằm trên góc đối đỉnh với góc ở tâm $\widehat{AOB}$ chứng minh ở trường hợp $a).$

Bài tập bổ sung (trang 100 SBT Toán 9)

$a)$ Đọc tên các góc ở tâm có số đo nhỏ hơn ${180}^o.$

$b)$ Cho biết số đo của mỗi góc ở tâm tìm được ở câu trên.

$c)$ Cho biết tên của các cặp cung có số đo bằng nhau (nhỏ hơn ${180}^o$).

$d)$ So sánh hai cung nhỏ $AB$ và $BC.$ 

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

+) Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn ${180}^o.$

+) Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

Lời giải:

$a)$ Các góc ở tâm có số đo nhỏ hơn ${180}^o$ là:

$\widehat{AOB},\widehat{AOC},\widehat{AOD},\widehat{BOC},\widehat{BOD},\widehat{COD}$

$b)$ $OA\mathrm{\perp }OC\Rightarrow \widehat{AOC}={90}^0$

$OB\mathrm{\perp }OD\Rightarrow \widehat{BOD}={90}^0$

$\widehat{AOB}+\widehat{BOD}=\widehat{AOD}$

$\Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{AOD}-\widehat{BOD}$$={120}^0-{90}^0={30}^0$

$\widehat{AOC}+\widehat{COD}=\widehat{AOD}$

$\Rightarrow \widehat{COD}=\widehat{AOD}-\widehat{AOC}$$={120}^0-{90}^0={30}^0$

$\widehat{AOB}+\widehat{BOC}=\widehat{AOC}$

$\Rightarrow \widehat{BOC}=\widehat{AOC}-\widehat{AOB}$$={90}^0-{30}^0={60}^0$

$c)$ Các cung có số đo bằng nhau nhỏ hơn ${180}^o$ là:

$\stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{CD};$ $\stackrel{⏜}{AC}=\stackrel{⏜}{BD}$

$d)$ $sđ\stackrel{⏜}{AB}=\widehat{AOB}={30}^0$

$sđ\stackrel{⏜}{BC}$$=\widehat{BOC}={60}^0$

Suy ra: $sđ\stackrel{⏜}{BC}$ gấp đôi $sđ\stackrel{⏜}{AB}$

$a)$ Đọc tên các góc ở tâm có số đo không lớn hơn ${180}^o.$

$b)$ Cho biết số đo của mỗi góc ở tâm tìm được ở câu trên.

$c)$ Cho biết tên của các cặp cung có số đo bằng nhau (nhỏ hơn ${180}^o$).

$d)$ So sánh hai cung nhỏ $AE$ và $BC.$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

+) Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

+) Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn ${180}^o.$

Lời giải:

$a)$ Các góc ở tâm có số đo không quá ${180}^o$ là:

$\widehat{AOB},\widehat{AOC},\widehat{AOD},\widehat{AOE},\widehat{BOC},$$\widehat{BOD},$$\widehat{BOE},\widehat{COD},\widehat{COE},\widehat{DOE}$

$b)$ Ta có: $\widehat{AOB}={180}^0$

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{AB}={180}^o$

Ta có: $sđ\stackrel{⏜}{BC}={\displaystyle \frac{1}{6}sđ\stackrel{⏜}{AB}}$

$={\displaystyle \frac{1}{6}{.180}^0={30}^o}$

$\Rightarrow \widehat{BOC}=sđ\stackrel{⏜}{BC}={30}^o$

Ta có: sđ $\stackrel{⏜}{BD}={\displaystyle \frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{AB}}$

$={\displaystyle \frac{1}{2}{.180}^0={90}^0}$

$\Rightarrow \widehat{BOD}=sđ\stackrel{⏜}{BD}={90}^0$

Ta có: $sđ\stackrel{⏜}{BE}={\displaystyle \frac{2}{3}sđ\stackrel{⏜}{BA}}$

$={\displaystyle \frac{2}{3}{.180}^0={120}^0}$

$\Rightarrow \widehat{BOE}=sđ\stackrel{⏜}{BE}={120}^o$

$\widehat{BOC}+\widehat{COE}=\widehat{BOE}$

$\Rightarrow \widehat{COE}=\widehat{BOE}-\widehat{BOC}$

$={120}^0-{30}^0={90}^0$

$\widehat{AOE}+\widehat{BOE}=\widehat{AOB}$

$\Rightarrow \widehat{AOE}=\widehat{AOB}-\widehat{BOE}$

$={180}^0-{120}^0={60}^0$

$\widehat{AOD}=\widehat{BOD}={\displaystyle \frac{1}{2}\widehat{AOB}={90}^0}$

$\widehat{BOC}+\widehat{COD}=\widehat{BOD}$

$\Rightarrow \widehat{COD}=\widehat{BOD}-\widehat{BOC}$

$={90}^0-{30}^0={60}^0$

$\widehat{COD}+\widehat{DOE}=\widehat{COE}$

$\Rightarrow \widehat{DOE}=\widehat{COE}-\widehat{COD}$

$={90}^0-{60}^0={30}^0$

$\widehat{COA}+\widehat{BOC}={180}^0$

$\Rightarrow \widehat{AOC}={180}^0-\widehat{BOC}$

$={180}^0-{30}^0={150}^0$

$c)$ Các cung có số đo nhỏ hơn ${180}^o$ bằng nhau.

$\stackrel{⏜}{BC}=\stackrel{⏜}{DE}$; $\stackrel{⏜}{AE}=\stackrel{⏜}{CD}$; $\stackrel{⏜}{AD}=\stackrel{⏜}{BD}$; $\stackrel{⏜}{AD}=\stackrel{⏜}{CE}$; $\stackrel{⏜}{CE}=\stackrel{⏜}{BD}$.

$d)$ $sđ\stackrel{⏜}{AE}=\widehat{AOE}={60}^0$

$sđ\stackrel{⏜}{BC}=\widehat{BOC}={30}^0$

Ta có số đo của cung $\stackrel{⏜}{AE}$ gấp đôi số đo của cung $\stackrel{⏜}{BC}$.