a) ${\left(x+2\right)}^2-3x-5=\left(1-x\right)\left(1+x\right)$

b) ${\left(x-1\right)}^3+2x=x^3-x^2-2x+1$

c) $x\left(x^2-6\right)-{\left(x-2\right)}^2={\left(x+1\right)}^3$

d) ${\left(x+5\right)}^2+{\left(x-2\right)}^2$$+\left(x+7\right)\left(x-7\right)=12x-23$

Phương pháp giải:

* Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái đưa phương trình đã cho về dạng $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$.

* Phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$:

+) Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1$= ${\displaystyle \frac{-b+\sqrt{△}}{2a}}$  và $x_2$= ${\displaystyle \frac{-b-\sqrt{△}}{2a}}$

+) Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2={\displaystyle \frac{-b}{2a}}$.

+) Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

a)

${\left(x+2\right)}^2-3x-5=\left(1-x\right)\left(1+x\right)$

$\iff x^2+4x+4-3x-5=1-x^2$

$\iff 2x^2+x-2=0$ 

$\mathrm{\Delta }=1-\mathrm{4.2.}\left(-2\right)=1+16=17>0$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{17}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${\displaystyle x_1=\frac{-1+\sqrt{17}}{2.2}=\frac{\sqrt{17}-1}{4}}$

${\displaystyle x_2=\frac{-1-\sqrt{17}}{2.2}=-\frac{1+\sqrt{17}}{4}}$

 b)

${\left(x-1\right)}^3+2x=x^3-x^2-2x+1$

$\iff x^3-3x^2+3x-1+2x=x^3-x^2$$-2x+1$

$\iff 2x^2-7x+2=0$ 

$\mathrm{\Delta }={\left(-7\right)}^2-\mathrm{4.2.2}=49-16$$=33>0$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{33}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${\displaystyle x_1=\frac{7+\sqrt{33}}{2.2}=\frac{7+\sqrt{33}}{4}}$

${\displaystyle x_2=\frac{7-\sqrt{33}}{2.2}=\frac{7-\sqrt{33}}{4}}$

 c)

$x\left(x^2-6\right)-{\left(x-2\right)}^2={\left(x+1\right)}^3$

$\iff x^3-6x-x^2+4x-4=x^3+3x^2$$+3x+1$ 

$\iff 4x^2+5x+5=0$

$\mathrm{\Delta }=5^2-\mathrm{4.4.5}=25-80$$=-55<0$

Phương trình vô nghiệm.

 d)

${\left(x+5\right)}^2+{\left(x-2\right)}^2+\left(x+7\right)\left(x-7\right)$$=12x-23$

$\iff x^2+10x+25+x^2-4x+4+x^2$$-49-12x+23=0$

$\iff 3x^2-6x+3=0$

$\iff x^2-2x+1=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(-1{)}^2-1.1=1-1=0$

Phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=1$.

a) ${\displaystyle \frac{12}{x-1}-\frac{8}{x+1}=1}$

b) ${\displaystyle \frac{16}{x-3}+\frac{30}{1-x}=3}$

c) ${\displaystyle \frac{x^2-3x+5}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}=\frac{1}{x-3}}$

d) ${\displaystyle \frac{2x}{x-2}-\frac{x}{x+4}=\frac{8x+8}{\left(x-2\right)\left(x+4\right)}}$

e) ${\displaystyle \frac{x^3+7x^2+6x-30}{x^3-1}}$${\displaystyle =\frac{x^2-x+16}{x^2+x+1}}$

f) ${\displaystyle \frac{x^2+9x-1}{x^4-1}=\frac{17}{x^3+x^2+x+1}}$

Phương pháp giải:

* Đặt ĐKXĐ của phương trình, khử mẫu để đưa phương trình về dạng $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$.

* Phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và biệt thức ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b^{\prime 2}-ac$:

+) Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1$= ${\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}$  và $x_2$= ${\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}$

+) Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }}{a}}$.

+) Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

a)

${\displaystyle \frac{12}{x-1}-\frac{8}{x+1}=1}$

ĐKXĐ: $x\ne \pm 1$

$\Rightarrow 12\left(x+1\right)-8\left(x-1\right)$$=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$ 

$\iff 12x+12-8x+8=x^2-1$

$\iff x^2-4x-21=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-2\right)}^2-1.\left(-21\right)=4+21=25$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{25}=5$ 

${\displaystyle x_1=\frac{2+5}{1}=7}$ (thỏa mãn)

${\displaystyle x_2=\frac{2-5}{1}=-3}$  (thỏa mãn)

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1=7;x_2=-3$.

 b)

${\displaystyle \frac{16}{x-3}+\frac{30}{1-x}=3}$

ĐKXĐ: $x\ne 3;x\ne 1$

$\Rightarrow 16\left(1-x\right)+30\left(x-3\right)$$=3\left(x-3\right)\left(1-x\right)$

$\iff 16-16x+30x-90=3x-3x^2$$-9+9x$

$\iff 3x^2+2x-65=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=1^2-3.\left(-65\right)$$=1+195=196>0$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{196}=14$

${\displaystyle x_1=\frac{-1+14}{3}=\frac{13}{3}}$ (thỏa mãn)

${\displaystyle x_2=\frac{-1-14}{3}=-5}$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình có hai nghiệm: ${\displaystyle x_1=\frac{13}{3};x_2=-5}$.

 c)

${\displaystyle \frac{x^2-3x+5}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}=\frac{1}{x-3}}$

ĐKXĐ: $x\ne 3;x\ne -2$

$\Rightarrow x^2-3x+5=x+2$

$\iff x^2-4x+3=0$  (*)

Ta có $a+b+c=1+\left(-4\right)+3=0$

Phương trình (*) có hai nghiệm:

$x_1=1$ (thỏa mãn); $x_2=3$ (loại)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm $x=1$.

 d)

${\displaystyle \frac{2x}{x-2}-\frac{x}{x+4}=\frac{8x+8}{\left(x-2\right)\left(x+4\right)}}$

ĐKXĐ: $x\ne 2;x\ne -4$ 

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow 2x\left(x+4\right)-x\left(x-2\right)=8x+8\\ & \iff 2x^2+8x-x^2+2x=8x+8\\ & \iff x^2+2x-8=0\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=1^2-1.\left(-8\right)=1+8=9>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{9}=3\end{array}$

${\displaystyle x_1=\frac{-1+3}{1}=2}$ (loại)

${\displaystyle x_2=\frac{-1-3}{1}=-4}$ (loại)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

 e)

${\displaystyle \frac{x^3+7x^2+6x-30}{x^3-1}=\frac{x^2-x+16}{x^2+x+1}}$ 

ĐKXĐ: $x\ne 1$

${\displaystyle \iff \frac{x^3+7x^2+6x-30}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}}$${\displaystyle =\frac{x^2-x+16}{x^2+x+1}}$

${\displaystyle \Rightarrow x^3+7x^2+6x-30}$$=\left(x^2-x+16\right)\left(x-1\right)$

$\iff x^3+7x^2+6x-30=x^3-x^2$$+16x-x^2+x-16$

$\iff 9x^2-11x-14=0$ 

$\mathrm{\Delta }={\left(-11\right)}^2-\mathrm{4.9.}\left(-14\right)=625>0$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{625}=25$

${\displaystyle x_1=\frac{11+25}{2.9}=\frac{36}{18}=2}$ (thỏa mãn)

${\displaystyle x_2=\frac{11-25}{2.9}=\frac{-14}{18}=-\frac{7}{9}}$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x_1=2;x_2{\displaystyle =-\frac{7}{9}}$.

 f)

${\displaystyle \frac{x^2+9x-1}{x^4-1}=\frac{17}{x^3+x^2+x+1}}$

ĐKXĐ: $x\ne \pm 1$

${\displaystyle \iff \frac{x^2+9x-1}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)}}$${\displaystyle =\frac{17}{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}}$

$\Rightarrow x^2+9x-1=17\left(x-1\right)$

$\iff x^2+9x-1=17x-17$

$\iff x^2+9x-17x-1+17=0$

$\iff x^2-8x+16=0$   (2*)

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-4\right)}^2-1.16=16-16=0$

Phương trình (2*) có nghiệm kép: $x_1=x_2=4$  (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm $x=4$.

a) $3x^3+6x^2-4x=0$

b) ${\left(x+1\right)}^3-x+1=\left(x-1\right)\left(x-2\right)$

c) ${\left(x^2+x+1\right)}^2={\left(4x-1\right)}^2$

d) ${\left(x^2+3x+2\right)}^2=6\left(x^2+3x+2\right)$

e) ${\left(2x^2+3\right)}^2-10x^3-15x=0$

f) $x^3-5x^2-x+5=0$

Phương pháp giải:

* Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái, sau đó đặt nhân tử chung để đưa phương trình về dạng phương trình tích.

$\begin{array}{l}A\left(x\right).B\left(x\right).C\left(x\right)=0\\ \iff [\begin{array}{l}A\left(x\right)=0\\ B\left(x\right)=0\\ C\left(x\right)=0\end{array}\end{array}$

* Phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và biệt thức ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b^{\prime 2}-ac$:

+) Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1$= ${\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}$  và $x_2$= ${\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}$

+) Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }}{a}}$.

+) Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

a)

$3x^3+6x^2-4x=0$

$\iff x\left(3x^2+6x-4\right)=0$

$\iff x=0$ hoặc $3x^2+6x-4=0$ 

Giải phương trình $3x^2+6x-4=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=3^2-3.\left(-4\right)=9+12=21>0$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{21}$ 

${\displaystyle x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{3};x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{3}}$

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: ${\displaystyle x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{3};x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{3}}$; $x_3=0.$

 b)

${\left(x+1\right)}^3-x+1=\left(x-1\right)\left(x-2\right)$ 

$\iff x^3+3x^2+3x+1-x+1=x^2$$-2x-x+2$

$\iff x^3+2x^2+5x=0$

$\iff x\left(x^2+2x+5\right)=0$

$\iff x=0$ hoặc $x^2+2x+5=0$

Giải phương trình $x^2+2x+5=0$   (*)

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=1-1.5=1-5=-4<0$

Phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm $x=0$.

c)

${\left(x^2+x+1\right)}^2={\left(4x-1\right)}^2$

$\iff {\left(x^2+x+1\right)}^2-{\left(4x-1\right)}^2=0$

$\iff [(x^2+x+1)+(4x-1)].[(x^2+x$$+1)-(4x-1)]=0$

$\iff (x^2+x+1+4x-1)(x^2+x+1$$-4x+1)=0$

$\iff \left(x^2+5x\right)\left(x^2-3x+2\right)=0$

$\iff x\left(x+5\right)\left(x^2-3x+2\right)=0$

$\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x+5=0\\ x^2-3x+2=0\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=-5\\ x^2-3x+2=0\end{array}$

Giải phương trình $x^2-3x+2=0$   (2*)

Ta có $a+b+c=0=1+\left(-3\right)+2=0$

Phương trình (2*) có hai nghiệm: $x_3=1;x_4=2$.

Vậy phương trình đã cho có $4$ nghiệm: $x_1=0;x_2=-5;x_3=1;x_4=2$.

 d)

${\left(x^2+3x+2\right)}^2=6\left(x^2+3x+2\right)$ 

$\iff {\left(x^2+3x+2\right)}^2-6\left(x^2+3x+2\right)$$=0$ 

$\iff \left(x^2+3x+2\right)\left[\left(x^2+3x+2\right)-6\right]$$=0$

$\iff \left(x^2+3x+2\right)\left(x^2+3x-4\right)=0$ 

$\iff [\begin{array}{c}{x}^2+3x+2=0\\ x^2+3x-4=0\end{array}$

Giải phương trình $x^2+3x+2=0$ (3*) có $a-b+c=1-3+2=0$

Phương trình (3*) có hai nghiệm: $x_1=-1;x_2=-2$

Giải phương trình  $x^2+3x-4=0$ (4*) có $a+b+c=1+3+\left(-4\right)=0$

Phương trình (4*) có hai nghiệm: $x_3=1;x_4=-4$.

Vậy phương trình đã cho có $4$ nghiệm: $x_1=-1;x_2=-2;x_3=1;x_4=-4$.

 e)

${\left(2x^2+3\right)}^2-10x^3-15x=0$

$\iff {\left(2x^2+3\right)}^2-5x\left(2x^2+3\right)=0$

$\iff \left(2x^2+3\right)\left(2x^2+3-5x\right)=0$

Ta có: $2x^2\ge 0\Rightarrow 2x^2+3>0$

Do đó $\left(2x^2+3\right)\left(2x^2+3-5x\right)=0$

$\iff 2x^2-5x+3=0$ 

Giải phương trình $2x^2-5x+3=0$  (5*) có $a+b+c=2+\left(-5\right)+3=0$

Phương trình (5*) có hai nghiệm ${\displaystyle x_1=1;x_2=\frac{3}{2}}$

Vậy phương trình đã cho có  $2$ nghiệm: $x_1=1;x_2={\displaystyle \frac{3}{2}}$.

f)

$x^3-5x^2-x+5=0$

$\iff x^2\left(x-5\right)-\left(x-5\right)=0$

$\iff \left(x-5\right)\left(x^2-1\right)=0$

$\iff \left(x-5\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}x-5=0\\ x+1=0\\ x-1=0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=5\\ x=-1\\ x=1\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: $x_1=5;x_2=-1;x_3=1$.

a) $x^4-8x^2-9=0$

b) $y^4-1,16y^2+0,16=0$

c) $z^4-7z^2-144=0$

d) $36t^4-13t^2+1=0$

e) ${\displaystyle \frac{1}{3}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}=0}$

f) $\sqrt{3}{x}^4-\left(2-\sqrt{3}\right)x^2-2=0$

Phương pháp giải:

Giải phương trình trùng phương $a{x}^4+b{x}^2+c=0\left(a\ne 0\right)$

+ Đặt $x^2=t,t\ge 0$.

+ Giải phương trình $a{t}^2+bt+c=0$.

+ Với mỗi giá trị tìm được của $t$ (thỏa mãn $t\ge 0$), lại giải phương trình $x^2=t$.

Lời giải:

a)

$x^4-8x^2-9=0$

Đặt $x^2=t\Rightarrow t\ge 0$

Ta có phương trình: $t^2-8t-9=0$ có $a-b+c=1-\left(-8\right)+\left(-9\right)=0$

Phương trình có hai nghiệm: $t_1=-1;{\displaystyle t_2=-\frac{-9}{1}=9}$

Trong đó $t_1=-1<0$ (loại).

$\Rightarrow x^2=9\iff x=\pm 3$

Vậy phương trình đã cho có  $2$ nghiệm: $x_1=3;x_2=-3$.

 b)

$y^4-1,16y^2+0,16=0$

Đặt $y^2=t\Rightarrow t\ge 0$

Ta có phương trình: $t^2-1,16t+0,16=0$ có $a+b+c=1+\left(-1,16\right)+0,16=0$ 

Phương trình có hai nghiệm:

$t_1=1$ (thỏa mãn); $t_2=0,16$ (thỏa mãn)

- Với $t_1=1$ $\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\pm 1$

- Với $t_2=0,16$ $\Rightarrow y^2=0,16\Rightarrow y=\pm 0,4$

Vậy phương trình có $4$ nghiệm: $y_1=1;y_2=-1;y_3=0,4;y_4=-0,4$

 c)

$z^4-7z^2-144=0$

Đặt $z^2=t\Rightarrow t\ge 0$

Ta có phương trình: $t^2-7t-144=0$

$\mathrm{\Delta }={\left(-7\right)}^2-\mathrm{4.1.}\left(-144\right)$$=49+576=625>0$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{625}=25$

Phương trình có hai nghiệm:

${\displaystyle t_1=\frac{7+25}{2.1}=16}$ (thỏa mãn)

${\displaystyle t_2=\frac{7-25}{2.1}=-9}$ (loại)

- Với $t_1=16$ $\Rightarrow z^2=16\iff z=\pm 4$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $z_1=4;z_2=-4$.

 d)

$36t^4-13t^2+1=0$

Đặt $t^2=u\Rightarrow u\ge 0$

Ta có phương trình: $36u^2-13u+1=0$

$\mathrm{\Delta }={\left(-13\right)}^2-\mathrm{4.36.1}$$=169-144=25>0$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{25}=5$

Phương trình có hai nghiệm:

$u_1={\displaystyle \frac{13+5}{2.36}=\frac{18}{72}=\frac{1}{4}}$ (thỏa mãn)

$u_2={\displaystyle \frac{13-5}{2.36}=\frac{8}{72}=\frac{1}{9}}$ (thỏa mãn)

- Với $u_1={\displaystyle \frac{1}{4}}$ thì $t^2={\displaystyle \frac{1}{4}\iff t=\pm \frac{1}{2}}$

- Với $u_2={\displaystyle \frac{1}{9}}$ thì $t^2={\displaystyle \frac{1}{9}\iff t=\pm \frac{1}{3}}$

Vậy phương trình đã cho có $4$ nghiệm: ${\displaystyle x_1=\frac{1}{2};x_2=-\frac{1}{2};x_3=\frac{1}{3};x_4=-\frac{1}{3}}$

 e)

${\displaystyle \frac{1}{3}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}=0}$

$\iff 2x^4-3x^2+1=0$

Đặt $x^2=t\Rightarrow t\ge 0$

Ta có phương trình: $2t^2-3t+1=0$

Có $a+b+c=2+\left(-3\right)+1=0$

Phương trình có hai nghiệm:

$t_1=1$ (thỏa mãn); ${\displaystyle t_2=\frac{1}{2}}$ (thỏa mãn)

- Với $t_1=1$ $\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$

- Với ${\displaystyle t_2=\frac{1}{2}}$ ${\displaystyle \Rightarrow x^2=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Vậy phương trình đã cho có $4$ nghiệm: $x_1=1;x_2=-1;$ ${\displaystyle x_3=\frac{\sqrt{2}}{2};x_4=-\frac{\sqrt{2}}{2}}$.

 f)

$\sqrt{3}{x}^4-\left(2-\sqrt{3}\right)x^2-2=0$

Đặt $x^2=t\Rightarrow t\ge 0$

Phương trình ẩn $t$: $\sqrt{3}{t}^2-\left(2-\sqrt{3}\right)t-2=0$

Ta có:

$a-b+c$$=\sqrt{3}-\left[-\left(2-\sqrt{3}\right)\right]+\left(-2\right)$

$=\sqrt{3}-\left(\sqrt{3}-2\right)+\left(-2\right)$ 

$=\sqrt{3}-\sqrt{3}+2-2=0$

Phương trình có hai nghiệm:

$t_1=-1$ (loại);

$t_2={\displaystyle -\frac{-2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}}$ (thỏa mãn)

- Với $t_2={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}$ thì ${\displaystyle x^2=\frac{2\sqrt{3}}{3}}$ ${\displaystyle \Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}}=\pm \frac{\sqrt{6\sqrt{3}}}{3}}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: ${\displaystyle x_1=\frac{\sqrt{6\sqrt{3}}}{3};x_2=-\frac{\sqrt{6\sqrt{3}}}{3}}$.

a) ${\left(4x-5\right)}^2-6\left(4x-5\right)+8=0$

b) ${\left(x^2+3x-1\right)}^2+2\left(x^2+3x-1\right)$ $-8=0$

c) ${\left(2x^2+x-2\right)}^2+10x^2$ $+5x-16=0$

d) $\left(x^2-3x+4\right)\left(x^2-3x+2\right)=3$

e) ${\displaystyle \frac{2x^2}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{5x}{x+1}+3=0}$

f) $x-\sqrt{x-1}-3=0$

Phương pháp giải:

- Bước 1: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn (nếu có)

- Bước 2: Giải phương trình tìm ẩn phụ, kiểm tra điều kiện của ẩn.

- Bước 3: Thay lại giải phương trình tìm nghiệm.

Lời giải:

a)

${\displaystyle {\left(4x-5\right)}^2-6\left(4x-5\right)+8=0}$ 

Đặt ${\displaystyle 4x-5=t,}$ ta có phương trình:

${\displaystyle \begin{array}{rl}& t^2-6t+8=0\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-3\right)}^2-1.8=9-8=1>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{1}=1\\ & {\displaystyle t_1=\frac{3+1}{1}=4}\\ & {\displaystyle t_2=\frac{3-1}{1}=2}\end{array}}$

Suy ra:

${\displaystyle [\begin{array}{c}4x-5=4\\ 4x-5=2\end{array}\iff [\begin{array}{c}4x=9\\ 4x=7\end{array}\iff [\begin{array}{c}x={\displaystyle \frac{9}{4}}\\ x={\displaystyle \frac{7}{4}}\end{array}}$

Phương trình có 2 nghiệm: ${\displaystyle x_1=\frac{9}{4};x_2=\frac{7}{4}}$

 b)

${\displaystyle {\left(x^2+3x-1\right)}^2+2\left(x^2+3x-1\right)-8=0}$ 

Đặt ${\displaystyle x^2+3x-1=t}$

Ta có phương trình: ${\displaystyle t^2+2t-8=0}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=1^2-1.\left(-8\right)=1+8=9>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{9}=3\\ & t_1=\frac{-1+3}{1}=2\\ & t_2=\frac{-1-3}{1}=-4\end{array}}$

Với ${\displaystyle t_1=2}$ ta có: ${\displaystyle x^2+3x-1=2\iff x^2+3x-3=0}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }=9-\mathrm{4.1.}\left(-3\right)=9+12=21>0\\ & \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{21}\\ & x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{2}\\ & x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{2}\end{array}}$

Với ${\displaystyle t_2=-4}$ ta có: ${\displaystyle x^2+3x-1=-4\iff x^2+3x+3=0}$

${\displaystyle \mathrm{\Delta }=3^2-\mathrm{4.1.3}=9-12=-3<0}$

Phương trình ${\displaystyle x^2+3x+3=0}$ vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: ${\displaystyle x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{2};x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{2}}$

c)

${\displaystyle \begin{array}{rl}& {\left(2x^2+x-2\right)}^2+10x^2+5x-16=0\\ & \iff {\left(2x^2+x-2\right)}^2+5\left(2x^2+x-2\right)-6=0\end{array}}$

Đặt ${\displaystyle 2x^2+x-2=t}$

Ta có phương trình: ${\displaystyle t^2+5t-6=0}$ có dạng:

${\displaystyle \begin{array}{rl}& a+b+c=0;1+5+\left(-6\right)=0\\ & t_1=1;t_2=-6\end{array}}$

Với ${\displaystyle t_1=1}$ ta có: ${\displaystyle 2x^2+x-2=1\iff 2x^2+x-3=0}$ có dạng: ${\displaystyle a+b+c=0}$

${\displaystyle 2+1+\left(-3\right)=0\Rightarrow x_1=1;x_2=-\frac{3}{2}}$

Với ${\displaystyle t_2=-6}$ ta có: ${\displaystyle 2x^2+x-2=-6\iff 2x^2+x+4=0}$

${\displaystyle \mathrm{\Delta }=1^2-\mathrm{4.2.4}=1-32=-31<0}$

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm: ${\displaystyle x_1=1;x_2=-\frac{3}{2}}$ 

 d)

${\displaystyle \left(x^2-3x+4\right)\left(x^2-3x+2\right)=3}$
$\iff \left[\left(x^2-3x+2\right)+2\right]\left(x^2-3x+2\right)$$=3$ 
$\iff {\left(x^2-3x+2\right)}^2+2\left(x^2-3x+2\right)$$-3=0$

Đặt ${\displaystyle x^2-3x+2=t}$

Ta có phương trình: ${\displaystyle t^2+2t-3=0}$ có dạng:

${\displaystyle \begin{array}{rl}& a+b+c=0;1+2+\left(-3\right)=0\\ & t_1=1;t_2=\frac{-3}{1}=-3\end{array}}$

Với ${\displaystyle t_1=1}$ ta có: ${\displaystyle x^2-3x+2=1\iff x^2-3x+1=0}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }={\left(-3\right)}^2-\mathrm{4.1.1}=9-4=5>0\\ & \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{5}\\ & x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2.1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\ & x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2.1}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{array}}$

Với ${\displaystyle t_2=-3}$ ta có: ${\displaystyle x^2-3x+2=-3\iff x^2-3x+5=0}$

${\displaystyle \mathrm{\Delta }={\left(-3\right)}^2-\mathrm{4.1.5}=9-20=-11<0}$

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm: ${\displaystyle x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2};x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$

e)

Điều kiện: $x\ne -1$

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \frac{2x^2}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{5x}{x+1}+3=0\\ & \iff 2{\left(\frac{x}{x+1}\right)}^2-5\left(\frac{x}{x+1}\right)+3=0\end{array}}$

Đặt ${\displaystyle \frac{x}{x+1}=t,}$ ta có phương trình: ${\displaystyle 2t^2-5t+3=0}$

${\displaystyle 2t^2-5t+3=0}$ có dạng: ${\displaystyle a+b+c=0;2+\left(-5\right)+3=0}$

${\displaystyle t_1=1;t_2=\frac{3}{2}}$

Với ${\displaystyle t_1=1}$ ta có: ${\displaystyle \frac{x}{x+1}=1\Rightarrow x=x+1\Rightarrow 0x=1}$ vô nghiệm

Với  ${\displaystyle t_2=\frac{3}{2}}$ ta có: ${\displaystyle \frac{x}{x+1}=\frac{3}{2}\iff 2x=3x+3\Rightarrow x=-3}$

Nhận thấy ${\displaystyle x=-3}$ thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có 1 nghiệm: ${\displaystyle x=-3}$

f)

${\displaystyle x-\sqrt{x-1}-3=0}$ Điều kiện: ${\displaystyle x\ge 1}$

${\displaystyle \iff \left(x-1\right)-\sqrt{x-1}-2=0}$ 

Đặt ${\displaystyle \sqrt{x-1}=t\Rightarrow t\ge 0}$

Ta có phương trình: ${\displaystyle t^2-t-2=0}$ có dạng: ${\displaystyle a-b+c=0}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}& 1-\left(-1\right)+\left(-2\right)=1+1-2=0\\ & t_1=-1;t_2=-\frac{-2}{1}=2\end{array}}$

${\displaystyle t_1=-1<0}$ loại

Với ${\displaystyle t_2=2}$ ta có: ${\displaystyle \sqrt{x-1}=2\Rightarrow x-1=4\Rightarrow x=5}$

Nhận thấy ${\displaystyle x=5}$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình có 1 nghiệm: ${\displaystyle x=5}$