$a)$ Hai đường tròn $(I)$ và $(B)$ nói trên có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau$?$ Vì sao$?$

$b)$ Kẻ một đường thẳng đi qua $A,$ cắt các đường tròn $(I)$ và $(B)$ theo thứ tự tại $M$ và $N.$ So sánh các độ dài $AM$ và $MN.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu $O{O}^{\prime }=R–r$ thì đường tròn $(O)$ và đường tròn $(O^{\prime })$ tiếp xúc trong.

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải:

$a)$ Vì $A,I,B$ thẳng hàng nên:

         $BI=AB–AI$

Vậy đường tròn $(I;IA)$ tiếp xúc với đường tròn $(B;BA)$ tại $A.$

$b)$ Tam giác $AMB$ nội tiếp trong đường tròn $(I)$ có $AB$ là đường kính nên $\widehat{AMB}={90}^{\circ }$

Suy ra: $AM\perp BM$ hay $BM\perp AN$

Xét đường tròn (B) có $BM\perp AN$ mà BM là 1 phần đường kính và AN là dây cung

Suy ra: $AM=MN$ ( đường kính vuông góc dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Trong một đường tròn: 

+) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải:

Kẻ $OI\perp AB.$ Ta có: $OI\perp CD$ 

Trong đường tròn $(O)$ (nhỏ) ta có: $OI\perp AB$

Suy ra: $IA=IB$   $(1)$ ( đường kính vuông góc dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy) 

Trong đường tròn $(O)$ (lớn) ta có: $OI\perp CD$

Suy ra: $IC=ID$ ( đường kính vuông góc dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Hay $IA+AC=IB+BD$     $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $AC=BD.$

$a)$ Tính số đo góc $CAD.$

$b)$ Tính độ dài $CD$ biết $OA=4,5cm,$$O^{\prime }A=2cm.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.

+)  Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

Lời giải:

$a)$ Kẻ tiếp tuyến chung tại $A$ cắt $CD$ tại $M$

Trong đường tròn $(O)$ có MA và MC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên:

$MA=MC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Trong đường tròn $(O^{\prime })$ có MA và MD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên:

$MA=MD$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: $MA=MC=MD={\displaystyle \frac{1}{2}CD}$

Tam giác $ACD$ có đường trung tuyến $AM$ ứng với cạnh $CD$ và bằng nửa cạnh $CD$ nên tam giác $ACD$ vuông tại $A$

Suy ra: $\widehat{CAD}={90}^{\circ }$

b) Trong đường tròn $(O)$ có MA và MC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên:

$MO$ là tia phân giác của $\widehat{CMA}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Trong đường tròn $(O^{\prime })$ có MA và MD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên:

$M{O}^{\prime }$ là tia phân giác của $\widehat{DMA}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà $\widehat{CMA}$ và $\widehat{DMA}$ là 2 góc kề bù

Suy ra: $MO\perp M{O}^{\prime }$ (tính chất về tia phân giác của hai góc kề bù)

Tam giác $MO{O}^{\prime }$ vuông tại $M$ có $MA\perp O{O}^{\prime }$ ( tính chất tiếp tuyến)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$M{A}^2=OA.O^{\prime }A=4,5.2=9$$\Rightarrow MA=3(cm)$

Mà $MA={\displaystyle \frac{1}{2}CD}$$\Rightarrow CD=2.MA=2.3=6(cm)$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là trung trực của dây chung.

Lời giải:

Vì đường tròn $(O^{\prime })$ cắt đường tròn $(O;OA)$ tại $A$ và $B$ nên $O{O}^{\prime }$ là đường trung trực của $AB$

Suy ra: $O{O}^{\prime }\perp AB(1)$

Vì đường tròn $(O^{\prime })$ cắt đường tròn $(O;OC)$ tại $C$ và $D$ nên $O{O}^{\prime }$ là đường trung trực của $CD$

Suy ra: $O{O}^{\prime }\perp CD(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $AB//CD.$

$a)$ Tính số đo góc $BAC.$

$b)$ Gọi $I$ là giao điểm của $BC$ và $O{O}^{\prime }.$ Tính độ dài $OI.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thi  tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

+) Hệ quả định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Lời giải:

$a)$ Ta có: $OB//O^{\prime }C(gt)$

Suy ra:     $\widehat{AOB}+\widehat{A{O}^{\prime }C}={180}^{\circ }$ (hai góc trong cùng phía)

Xét đường tròn (O) ta có: $OA=OB(=3cm)$

$\Rightarrow$ Tam giác $AOB$ cân tại $O.$

$\Rightarrow \widehat{BAO}=\widehat{OBA}$ và $\widehat{BAO}+\widehat{OBA}+\widehat{BOA}={180}^0$ (tổng ba góc trong tam giác) 

Suy ra:    $\widehat{BAO}={\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-\widehat{AOB}}{2}}$

Xét đường tròn (O') ta có: $O^{\prime }A=O^{\prime }C(=1cm)$

$\Rightarrow$ Tam giác $A{O}^{\prime }C$ cân tại $O^{\prime }$

$\Rightarrow \widehat{CA{O}^{\prime }}=\widehat{O^{\prime }CA}$ và $\widehat{CA{O}^{\prime }}+\widehat{O^{\prime }CA}+\widehat{C{O}^{\prime }A}={180}^0$ (tổng ba góc trong tam giác) 

Suy ra: $\widehat{CA{O}^{\prime }}={\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-\widehat{A{O}^{\prime }C}}{2}}$

Ta có: ${\displaystyle \widehat{BAO}+\widehat{CA{O}^{\prime }}}$${\displaystyle =\frac{{180}^{\circ }-\widehat{AOB}}{2}+\frac{{180}^{\circ }-\widehat{A{O}^{\prime }C}}{2}}$

${\displaystyle =\frac{{180}^{\circ }+{180}^{\circ }-(\widehat{AOB}+\widehat{A{O}^{\prime }C})}{2}}$

${\displaystyle =\frac{{180}^{\circ }+{180}^{\circ }-{180}^{\circ }}{2}={90}^{\circ }}$

Lại có:   $\widehat{BAO}+\widehat{BAC}+\widehat{CA{O}^{\prime }}={180}^{\circ }$

Suy ra:   $\widehat{BAC}={180}^{\circ }-(\widehat{BAO}+\widehat{CA{O}^{\prime }})$

$={180}^{\circ }-{90}^{\circ }={90}^{\circ }$

$b)$ Trong tam giác $IBO,$ ta có: $OB//O^{\prime }C$

Suy ra: ${\displaystyle \frac{I{O}^{\prime }}{IO}=\frac{O^{\prime }C}{OB}}$ ( hệ quả định lí Ta-lét)

Suy ra: ${\displaystyle \frac{I{O}^{\prime }}{IO}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{IO-I{O}^{\prime }}{IO}}$

${\displaystyle =\frac{3-1}{3}\Rightarrow \frac{O{O}^{\prime }}{IO}=\frac{2}{3}}$

Mà $O{O}^{\prime }=OA+O^{\prime }A=3+1=4(cm)$

Suy ra: ${\displaystyle \frac{4}{IO}=\frac{2}{3}}$${\displaystyle \Rightarrow IO=\frac{4.3}{2}=6(cm).}$

$a)$ Tính số đo góc $DAE.$

$b)$ Tứ giác $ADME$ là hình gì$?$ Vì sao$?$

$c)$ Chứng minh rằng $MA$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

+) Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Lời giải:

$a)$ Kẻ tiếp tuyến chung tại $A$ cắt $DE$ tại $I$

Trong đường tròn $(O)$ ta có:

$IA=ID$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Trong đường tròn $(O^{\prime })$ ta có:

$IA=IE$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: $IA=ID=IE={\displaystyle \frac{1}{2}DE}$

Tam giác $ADE$ có đường trung tuyến $AI$ ứng với cạnh $DE$ và bằng nửa cạnh $DE$ nên tam giác $ADE$ vuông tại $A.$

Suy ra: $\widehat{EAD}={90}^{\circ }$

$b)$ Tam giác $ABD$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ có $AB$ là đường kính nên $\widehat{ADB}={90}^{\circ }$ hay $AD\mathrm{\perp }BM$, suy ra $\widehat{ADM}={90}^{\circ }$

Tam giác $AEC$ nội tiếp trong đường tròn $(O^{\prime })$ có $AC$ là đường kính nên $\widehat{AEC}={90}^{\circ }$ hay $AE\mathrm{\perp }CM$, suy ra $\widehat{AEM}={90}^{\circ }$

Mặt khác: $\widehat{EAD}={90}^{\circ }$ (chứng minh trên)

Tứ giác $ADME$ có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

$c)$ Tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật và $ID=IE$ (chứng minh trên) nên đường chéo $AM$ của hình chữ nhật phải đi qua trung điểm $I$ của $DE.$ Suy ra: $A,I,M$ thẳng hàng.

Ta có: $IA\perp O{O}^{\prime }$ ( vì $IA$ là tiếp tuyến của $(O)$)

Suy ra: $AM\perp O{O}^{\prime }$

Vậy $MA$ là tiếp tuyến chung của đường tròn $(O)$ và $(O^{\prime }).$

$a)$ $MNQP$ là hình thang cân.

$b)$ $PQ$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(O)$ và $(O^{\prime }).$

$c)$ $MN+PQ=MP+NQ.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Tứ giác có hai cạnh đối song song là hình thang.

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Lời giải:

$a)$ Vì $M$ và $P$ đối xứng qua trục $O{O}^{\prime }$ nên $O{O}^{\prime }$ là đường trung trực của $MP.$

Suy ra: $OP=OM$

Khi đó $P$ thuộc $(O)$ và $MP\perp O{O}^{\prime }(1)$

Vì $N$ và $Q$ đối xứng qua trục $O{O}^{\prime }$ nên $O{O}^{\prime }$ là đường trung trực của $NQ$

Suy ra: $O^{\prime }N=O^{\prime }Q$

Khi đó $Q$ thuộc $(O^{\prime })$ và $NQ\perp O{O}^{\prime }(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $MP//NQ$

Tứ giác $MNQP$ là hình thang.

Vì $O{O}^{\prime }$ là đường trung trực của $MP$ và $NQ$ nên $O{O}^{\prime }$ đi qua trung điểm hai đáy hình thang $MNQP,$ $O{O}^{\prime }$ đồng thời cũng là trục đối xứng của hình thang $MNQP$ nên $MNQP$ là hình thang cân.

$b)$ Ta có: $MN\perp OM$ ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra:  $\widehat{OMN}={90}^{\circ }$ hay $\widehat{OMP}+\widehat{PMN}={90}^{\circ }$    (3)

Vì $OM=OP$ (= bán kính đường tròn (O)) nên tam giác $OMP$ cân tại $O$

Suy ra: $\widehat{OPM}=\widehat{OMP}$                    $(4)$

Lại có $MNQP$ là hình thang cân nên $\widehat{PMN}=\widehat{QPM}$ $(5)$

Từ $(3),$ $(4)$ và $(5)$ suy ra: $\widehat{OPM}+\widehat{QPM}={90}^{\circ }$

Suy ra: $QP\perp OP$ tại $P$

Vậy $PQ$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O).$

Ta có: $MN\perp O^{\prime }N$ ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: $\widehat{O^{\prime }NM}={90}^{\circ }$

Mà $\widehat{O^{\prime }NM}=\widehat{MNQ}-\widehat{O^{\prime }NQ}={90}^{\circ }$   $(6)$

Vì $O^{\prime }N=O^{\prime }Q$ (= bán kính đường tròn (O')) nên tam giác $O^{\prime }NQ$ cân tại $O^{\prime }$

Suy ra: $\widehat{O^{\prime }NQ}=\widehat{O^{\prime }QN}$   $(7)$

Lại có $MNQP$ là hình thang cân nên $\widehat{MNQ}=\widehat{PQN}$  $(8)$

Từ $(6),(7)$ và $(8)$ suy ra: $\widehat{PQN}-\widehat{O^{\prime }QN}={90}^{\circ }$ hay $\widehat{O^{\prime }QP}={90}^{\circ }$

Suy ra:   $QP\perp O^{\prime }Q$ tại $Q$

Vậy $PQ$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O^{\prime }).$

$c)$ Kẻ tiếp tuyến chung tại $A$ cắt $MN$ tại $E$ và $PQ$ tại $F$

Trong đường tròn $(O),$ theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

$EM=EA$ và $FP=FA$

Trong đường tròn $(O^{\prime }),$ theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:    

   $EN=EA$ và $FQ=FA$

Suy ra:   $EM=EA=EN={\displaystyle \frac{1}{2}MN}$

$FP=FA=FQ={\displaystyle \frac{1}{2}PQ}$

Suy ra: $MN+PQ=2EA+2FA$$=2(EA+FA)=2EF(9)$

Vì $EF$ là đường trung bình của hình thang $MNQP$ nên:

$EF={\displaystyle \frac{MP+NQ}{2}}$ hay $MP+NQ=2EF(10)$

Từ $(9)$ và $(10)$ suy ra: $MN+PQ=MP+NQ.$

$a)$ Hai đường tròn $(O),(O^{\prime })$ có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau$?$

$b)$ Vẽ đường tròn $(O^{\prime },1cm)$ rồi kẻ tiếp tuyến $OA$ với đường tròn đó ( $A$ là tiếp điểm). Tia $O^{\prime }A$ cắt đường tròn $(O^{\prime };3cm)$ ở $B.$ Kẻ bán kính $OC$ của đường tròn $(O)$ song song với $O^{\prime }B,B$ và $C$ thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ $O{O}^{\prime }.$ Chứng minh rằng $BC$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ($O;2cm)$ và $(O^{\prime };3cm).$

$c)$ Tính độ dài $BC.$

$d)$ Gọi $I$ là giao điểm của $BC$ và $O{O}^{\prime }.$ Tính độ dài $IO.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu $O{O}^{\prime }>R+r$ thì đường tròn $(O)$ và đường tròn $(O^{\prime })$ ở ngoài nhau.

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

+) Sử dụng định lí Py-ta-go: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

+) Hệ quả định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Lời giải:

$a)$ Vì $O{O}^{\prime }=6>2+3$ hay $O{O}^{\prime }>R+R^{\prime }$ nên hai đường tròn $(O)$ và $(O^{\prime })$ ở ngoài nhau.

$b)$ Xét tứ giác $ABCO$  ta có:

         $AB//CO(gt)(1)$

Mà:       $AB=O^{\prime }B–O^{\prime }A=3–1=2(cm)$

Suy ra:   $AB=OC=2(cm)(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $ABCO$ là hình bình hành.

Lại có: $OA\perp O^{\prime }A$ ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: $\widehat{OA{O}^{\prime }}={90}^{\circ }$ hay $\widehat{OAB}={90}^{\circ }$

Tứ giác $ABCO$ là hình chữ nhật

Suy ra: $\widehat{OCB}=\widehat{ABC}={90}^{\circ }$

Suy ra: $BC\perp OC$ và $BC\perp O^{\prime }B$

Vậy $BC$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(O)$ và $(O^{\prime }).$

$c)$ Vì tứ giác $ABCO$ là hình chữ nhật nên $OA=BC$

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông $OA{O}^{\prime },$ ta có:

$O{O}^{\prime 2}=O{A}^2+O^{\prime }{A}^2$

$\Rightarrow O{A}^2=O{O}^{\prime 2}-O^{\prime }{A}^2$$=6^2-1^2=35$

$\Rightarrow OA=\sqrt{35}(cm)$

Vậy $BC=\sqrt{35}(cm)$

$d)$ Trong tam giác $O^{\prime }BI$ có $OC//O^{\prime }B$

Suy ra: ${\displaystyle \frac{IO}{I{O}^{\prime }}=\frac{OC}{O^{\prime }B}}$ (hệ quả định lí Ta-lét)

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{IO}{I{O}^{\prime }-IO}={\displaystyle \frac{OC}{O^{\prime }B-OC}}}$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{IO}{O^{\prime }O}=\frac{2}{3-2}}$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{IO}{6}=\frac{2}{1}}$

Vậy $OI={\displaystyle \frac{6.2}{1}=12(cm)}$

$a)$ Hai đường tròn $(O)$ và $(A)$ có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau$?$

$b)$ Gọi $B$ là một giao điểm của hai đường tròn trên. Vẽ đường kính $BOC$ của đường tròn $(O).$ Gọi $D$ là giao điểm ( khác $C$) của  $AC$ và đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng $AD=DC.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu $R–r<O{O}^{\prime }<R+r$ thì đường tròn $(O)$ và đường tròn $(O^{\prime })$ cắt nhau.

+) Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy cũng là đường phân giác, trung tuyến, trung trực.

Lời giải:

$a)$ Ta có: $R<OA<3R$$\iff 2R-R<OA<2R+R$

Suy ra hai đường tròn $(O;R)$ và $(A;2R)$ cắt nhau.

$b)$ Tam giác $BCD$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ có $BC$ là đường kính nên $\widehat{BDC}={90}^{\circ }$

Suy ra: $BD\perp AC$

Ta có: $AB=2R$ và $BC=2OB=2R$

Suy ra tam giác $ABC$ cân tại  $B$

Vì tam giác ABC cân tại B có BD là đường cao (do $BD\perp AC$) nên BD cũng là đường trung tuyến.

Suy ra: $AD=DC.$

* Phân tích: 

     +) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán

     +) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,...)

     +) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)

* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài

Lời giải:

* Phân tích

− Giả sử dựng được đường tròn $(O^{\prime };1cm)$ tiếp xúc với đường thẳng $d$ và tiếp xúc ngoài với đường tròn $(O;2cm).$

− Đường tròn $(O;1cm)$ tiếp xúc với $d$ nên $O^{\prime }$ cách $d$ một khoảng bằng $1cm.$ Khi đó $O^{\prime }$ nằm trên hai đường thẳng $d_1,d_2$ song song với $d$ và cách $d$ một khoảng $1cm.$

− Đường tròn $(O^{\prime };1cm)$ tiếp xúc với đường tròn $(O;2cm)$ nên suy ra $O{O}^{\prime }=3cm.$ Khi đó $O^{\prime }$ là giao điểm của $(O;3cm)$ với $d_1$ và $d_2.$

* Cách dựng

− Dựng hai đường thẳng $d_1$  và $d_2$  song song với $d$ và cách $d$ một khoảng bằng $1cm.$

− Dựng đường tròn $(O;3cm)$ cắt tại $d_1$  tại $O_1^{\prime }.$  Vẽ $(O_1^{\prime };1cm)$ ta có đường tròn cần dựng. 

* Chứng minh

Theo cách dựng, $O_1^{\prime }$  cách d một khoảng bằng $1cm$ nên $(O_1^{\prime };1cm)$ tiếp xúc với $d.$

Vì $O{O}_1^{\prime }=3cm$ $=1cm+2cm$ nên $(O_1^{\prime };1cm)$ tiếp xúc với $(O;2cm)$

*  Biện luận: $O$ cách $d_1$ một khoảng bằng $1cm$ nên $(O;3cm)$ cắt $d_1$ tại hai điểm phân biệt.

Và $(O;3cm)$ tiếp xúc với $d_2$ tại 1 điểm nên bài toán có 3 nghiệm hình (như hìnhh vẽ)

Bài tập bổ sung (trang 170 SBT Toán 9)

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu $R–r<O{O}^{\prime }<R+r$ thì đường tròn $(O)$ và đường tròn $(O^{\prime })$ cắt nhau.

+) Nếu $O{O}^{\prime }=R–r$ thì đường tròn $(O)$ và đường tròn $(O^{\prime })$ tiếp xúc trong.

+) Nếu $O{O}^{\prime }=R+r$ thì đường tròn $(O)$ và đường tròn $(O^{\prime })$ tiếp xúc ngoài.

+) Nếu $O{O}^{\prime }>R+r$ thì đường tròn $(O)$ và đường tròn $(O^{\prime })$ ở ngoài nhau.

+) Nếu $O{O}^{\prime }=R+r$ thì đường tròn $(O)$ đựng đường tròn $(O^{\prime })$.

Lời giải:

$a)$ Hai đường tròn $(O)$ và $(O^{\prime })$ có vị trí tương đối nào $?$

$b)$ Tính độ dài dây chung của hai đường tròn.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu hai đường tròn $(O)$ và $(O^{\prime })$  cắt nhau nhau thì $R-r<O{O}^{\prime }<R+r.$

+) Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung. 

Lời giải:

$a)$ Ta có $4-1<O{O}^{\prime }=5<4+3$ $\Rightarrow (O)$ và $(O^{\prime })$ cắt nhau.

$b)$ Gọi $A$ và $B$ là giao điểm của hai đường tròn $(O)$ và $(O^{\prime }),$ $H$ là giao điểm của $AB$ và $O{O}^{\prime }.$

Ta có: $5^2=3^2+4^2$ $(=25)$

hay $O{O}^{\prime 2}=O{A}^2+O^{\prime }{A}^2$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }AO{O}^{\prime }$ vuông tại $A$ (định lý Pytago đảo)

Vì hai đường tròn $(O)$ và $(O^{\prime })$ cắt nhau nên OO' là đường trung trực của AB.

Hay H là trung điểm của AB $\Rightarrow AB=2AH.$

Xét $\mathrm{\Delta }AO{O}^{\prime }$ vuông tại $A$ có AH là chiều cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$AH.O{O}^{\prime }=OA.O^{\prime }A$

$AH={\displaystyle \frac{OA.O^{\prime }A}{O{O}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{3.4}{5}}$

$\Rightarrow AH=2,4cm$

Suy ra $AB=2AH=4,8cm.$

$a)$ Chứng minh rằng trung điểm $M$ của $AB$ chuyển động trên một đường tròn $(O^{\prime }).$

$b)$ Đường tròn $(O^{\prime })$ có vị trí tương đối nào đó đối với đường tròn $(O)?$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

+) Nếu $O{O}^{\prime }=R–r$ thì đường tròn $(O)$ và đường tròn $(O^{\prime })$ tiếp xúc trong.

+) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.

Lời giải:

$a)$ Xét đường tròn (O) có M là trung điểm của dây AB nên $OM\mathrm{\perp }AB$ (quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Suy ra $\widehat{AMO}={90}^{\circ }$ hay tam giác AMO vuông tại M.

Do đó, điểm $M$ chuyển động trên đường tròn $(O^{\prime })$ đường kính $AO.$

$b)$ Ta có: $O{O}^{\prime }=OA-O^{\prime }A$

Vậy đường tròn $(O^{\prime })$ tiếp xúc trong với đường tròn $(O).$