a) $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{5}{13}}$;

b) $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{15}{17}}$;

c) $\cos \alpha =0,6.$

Phương pháp giải:

Áp dụng kiến thức:

1) ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

2) $tan\alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}$

Lời giải:

a) $cos\alpha ={\displaystyle \frac{5}{13}}$

* Ta có:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

Suy ra: 

$\begin{array}{rl}& {\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2\\ & =1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}\end{array}$

Vì $\sin \alpha >0$ nên $\sin \alpha ={\displaystyle \sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}}$

* $tan\alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}$$={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{12}{13}}}{{\displaystyle \frac{5}{13}}}=\frac{12}{13}.\frac{13}{5}=\frac{12}{5}}$

b) $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{15}{17}}$

* Ta có: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

Suy ra: 

$\begin{array}{rl}& {\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-{\left(\frac{15}{17}\right)}^2\\ & =1-\frac{225}{289}=\frac{64}{289}\end{array}$

Vì $\sin \alpha >0$ nên $\sin \alpha ={\displaystyle \sqrt{\frac{64}{289}}=\frac{8}{17}}$

* $tan\alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }={\displaystyle \frac{\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}}}}$$={\displaystyle \frac{8}{17}.\frac{17}{15}=\frac{8}{15}}$

c) $\cos \alpha =0,6$

* Ta có: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1.$

Suy ra: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$

$=1-(0,6{)}^2=1-0,36=0,64$

Vì $\sin \alpha >0$ nên $\sin \alpha =\sqrt{0,64}=0,8$

* $tan\alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{0,8}{0,6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}}$

a) $1-{\sin }^2\alpha$;

b) $(1-\cos \alpha )(1+\cos \alpha )$;

c) $1+{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha$;

d) $\sin \alpha -\sin \alpha .{\cos }^2\alpha$;

e) ${\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha +2.{\sin }^2\alpha .{\cos }^2\alpha$;

g) $ta{n}^2\alpha -{\sin }^2\alpha .ta{n}^2\alpha$;

h) ${\cos }^2\alpha +ta{n}^2\alpha .c\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\alpha$;

i) $ta{n}^2\alpha (2.{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha -1).$

Phương pháp giải:

Áp dụng các kiến thức:

1) ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

2) $ta{n}^2\alpha ={\displaystyle \frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}$

Lời giải:

a)

 $1-{\sin }^2\alpha =({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )-{\sin }^2\alpha$

$={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha ={\cos }^2\alpha$

b)

$\begin{array}{rl}& (1-\cos \alpha )(1+\cos \alpha )=1-{\cos }^2\alpha \\ & =({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )-{\cos }^2\alpha \end{array}$

$={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha -{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha$

c)

$\begin{array}{rl}& 1+{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \\ & =1+({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )=1+1=2\end{array}$

d)

 $\sin \alpha -\sin \alpha .{\cos }^2\alpha$$=\sin \alpha (1-{\cos }^2\alpha )$

$=\sin \alpha \left[\left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)-{\cos }^2\alpha \right]$

$=\sin \alpha ({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha -{\cos }^2\alpha )$

$=\sin \alpha .{\sin }^2\alpha ={\sin }^3\alpha$

$\begin{array}{rl}& e){\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha +2.{\sin }^2\alpha .{\cos }^2\alpha \\ & =({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha {)}^2=1^2=1\end{array}$

g) $ta{n}^2\alpha -{\sin }^2\alpha .ta{n}^2\alpha$$=ta{n}^2\alpha (1-{\sin }^2\alpha )$

$=ta{n}^2\alpha .\left[\left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)-{\sin }^2\alpha \right]$

$=ta{n}^2\alpha .{\cos }^2\alpha ={\displaystyle \frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }.{\cos }^2\alpha }$$={\sin }^2\alpha$

$\begin{array}{rl}& h){\cos }^2\alpha +ta{n}^2\alpha .c\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\alpha \\ & =c\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\alpha +\frac{{\sin }^2\alpha }{c\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\alpha }.c\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\alpha \\ & =c\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1\end{array}$

i)

$ta{n}^2\alpha (2.{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha -1)$ 
$=ta{n}^2\alpha .$$\left[{\cos }^2\alpha +\left({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha \right)-1\right]$

$=ta{n}^2\alpha .({\cos }^2\alpha +1-1)$$=ta{n}^2\alpha .{\cos }^2\alpha$

$={\displaystyle \frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }.{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha }$

Lời giải:

Gọi độ dài đường cao là $c$, hình chiếu của hai cạnh $6$ và $7$ trên cạnh có độ dài bằng $9$ lần lượt là $a$ và $b$. 

Ta có: $a<b$ ( vì $6<7$)

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

$c^2=6^2-a^2=36-a^2$

$c^2=7^2-b^2=49-b^2$

Suy ra: $36-a^2=49-b^2$

$\iff b^2-a^2=49-36$

$\iff (b+a)(b-a)=13$

Mà $a+b=9$ (*) nên:

$\begin{array}{rl}& 9.(b-a)=13\iff b-a=\frac{13}{9}\\ & \Rightarrow b=a+\frac{13}{9}\end{array}$

Thay vào (*), ta có:

$a+a+{\displaystyle \frac{13}{9}=9}$$\iff 2a+{\displaystyle \frac{13}{9}=9}$ 
$\iff a={\displaystyle \frac{9-{\displaystyle \frac{13}{9}}}{2}=\frac{34}{9}}$

Suy ra: $b=9-a=9-{\displaystyle \frac{34}{9}=\frac{47}{9}}$

$c=\sqrt{49-{\left({\displaystyle \frac{47}{9}}\right)}^2}\approx 4,7$

cạnh bên có độ dài là 6.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất về cạnh và đường cao của tam giác cân.

Vận dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông.

Lời giải:

Giả sử $∆ABC$ cân tại $A$ có $AH\mathrm{\perp }BC,$$AH=5,BK\mathrm{\perp }AC,BK=6.$

Vì AH là đường cao của tam giác ABC cân tại A nên AH cũng là đường trung tuyến. Suy ra $HB=HC={\displaystyle \frac{1}{2}BC}$ (tính chất tam giác cân)

$\begin{array}{rl}& S_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}BK.AC}\\ & =\frac{1}{2}.5.BC=\frac{1}{2}.6.AC\end{array}$

Suy ra: $5BC=6AC\Rightarrow BC={\displaystyle \frac{6}{5}AC(1)}$

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông $ACH$, ta có:

$A{C}^2=A{H}^2+H{C}^2=5^2+{\displaystyle {\left(\frac{BC}{2}\right)}^2}$$=25+{\displaystyle \frac{B{C}^2}{4}(2)}$

Từ (1) và (2) suy ra:

$A{C}^2=25+\frac{{\displaystyle \frac{36A{C}^2}{25}}}{4}$$={\displaystyle \frac{2500}{100}+\frac{36A{C}^2}{100}}$

Suy ra:

$100A{C}^2=2500+36A{C}^2$

$\iff 64A{C}^2=2500\iff 8AC=50$$\Rightarrow AC=6,25$

Vậy $BC={\displaystyle \frac{6}{5}.6,25=7,5.}$

a) Chứng minh: ${\displaystyle \frac{DE}{DB}=\frac{DB}{DC}}$

b) Chứng minh $∆BDE$  đồng dạng  $∆CDB$

c) Tính tổng $\widehat{AEB}+\widehat{BCD}$ bằng hai cách

Cách 1: Sử dụng kết quả ở câu b);

Cách 2: Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác.

Phương pháp giải:

Lời giải:

a) Ta có: $AD=DE=EC={\displaystyle \frac{AC}{3}}=a$

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông $ABD$, ta có:

$B{D}^2=A{D}^2+A{B}^2=a^2+a^2=2a^2$

Suy ra: $BD=a\sqrt{2}$

Ta có: 

$\begin{array}{rl}& \frac{DE}{DB}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2};\\ & \frac{DB}{DC}=\frac{a\sqrt{2}}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$

Vậy ${\displaystyle \frac{DE}{DB}=\frac{DB}{DC}}$

b) Xét $∆BDE$ và $∆CDB$, ta có:

${\displaystyle \frac{DE}{DB}=\frac{DB}{DC}}$        (1)

$\widehat{BDE}=\widehat{BDC}$        (2)

Từ (1) và (2) suy ra $∆BDE$ đồng dạng $∆CDB$ (c-g-c).

c) * Cách 1:

Ta có: $∆BDE$ đồng dạng $∆CDB$ $\Rightarrow \widehat{BED}=\widehat{CBD}$

Mặt khác:

$\widehat{AEB}+\widehat{BCD}=\widehat{BED}+\widehat{BCD}$$=\widehat{CBD}+\widehat{BCD}$         (3)

Trong $∆BCD$, ta có:

$\widehat{ADB}=\widehat{CBD}+\widehat{BCD}$ (tính chất góc ngoài) (4)

Lại có: $\widehat{ADB}={45}^{\circ }$ (vì ∆ABD vuông cân tại A) (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: $\widehat{AEB}+\widehat{BCD}={45}^{\circ }$

*  Cách 2:

Ta có: $AE=AD+DE=2a$ 

Trong tam giác $ABE$, ta có: 

$tan\widehat{AEB}={\displaystyle \frac{AB}{AE}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}}$

Suy ra: $\widehat{AEB}={26}^{\circ }{34}^{\prime }$

Trong tam giác vuông $ABC$, ta có: 

$tan\widehat{ACB}={\displaystyle \frac{AB}{AC}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3}}$

Suy ra: $\widehat{ACB}={18}^{\circ }{26}^{\prime }$

Suy ra $\widehat{AEB}+\widehat{ACB}={26}^{\circ }{34}^{\prime }+{18}^{\circ }{26}^{\prime }={45}^0$

Vậy $\widehat{AEB}+\widehat{ACB}=\widehat{AEB}+\widehat{BCD}={45}^{\circ }$

Lời giải:

Hai mái nhà bằng nhau tạo thành hai cạnh AB, AC của một tam giác cân ABC (hình vẽ). Chiều cao AH của tam giác ABC cũng là đường phân giác của tam giác. Khi đó ta có: $\widehat{BAH}={\displaystyle \frac{\widehat{BAC}}{2}}={\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

$\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}=\frac{AH}{AB}=\frac{0,8}{2,34}\approx 0,3419}$

Bấm máy tính: SHIFT cos 0,3419 = 

Suy ra: ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}\approx {70}^{\circ }}$

Vậy $\alpha \approx {140}^{\circ }$.

Biết:

$AD\mathrm{\perp }DC,\widehat{DAC}={74}^{\circ }$

$\widehat{AXB}={123}^{\circ },AD=2,8cm$; $AX=5,5cm,BX=4,1cm.$

a) Tính $AC$.

b) Gọi $Y$ là điểm trên $AX$ sao cho $DY⁄⁄BX$. Hãy tính $XY$

c) Tính diện tích tam giác $BCX$.

Phương pháp giải:

Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Lời giải:

a) Trong tam giác vuông ACD, ta có:

$AC={\displaystyle \frac{AD}{\cos \widehat{CAD}}=\frac{2,8}{\cos {74}^{\circ }}}$$\approx 10,158(cm)$

b) Kẻ $DN\mathrm{\perp }AC$

Trong tam giác vuông $AND$, ta có:

$\begin{array}{rl}& DN=AD.\sin \widehat{DAN}\\ & =2,8.\sin {74}^{\circ }\approx 2,692(cm)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& AN=AD.\cos \widehat{DAN}\\ & =2,8.\cos {74}^{\circ }\approx 0,772(cm)\end{array}$

Vì $BX//DY$ nên $\widehat{D\mathrm{Y}\mathrm{X}}=\widehat{BXY}={123}^{\circ }$ ( hai góc so le trong)

Mà $\widehat{DYN}+\widehat{D\mathrm{Y}\mathrm{X}}={180}^{\circ }$ (kề bù)

Suy ra:

$\widehat{DYN}={180}^{\circ }-\widehat{D\mathrm{Y}\mathrm{X}}={180}^{\circ }-{123}^{\circ }$$={57}^{\circ }$

Trong tam giác vuông $DYN$, ta có:

$\begin{array}{rl}& NY=DN.\cot \widehat{DYN}\\ & \approx 2,692.\cot {57}^{\circ }\approx 1,748(cm)\end{array}$

Ta có: 

$\begin{array}{rl}& XY=AX-(AN+NY)\\ & =5,5-(0,772+1,748)=2,98cm\end{array}$

c) Ta có:

$CX=AC-AX\approx 10,158-5,5$$=4,658(cm)$

Kẻ $BM\mathrm{\perp }CX$

Ta có:

$\widehat{BXC}={180}^{\circ }-\widehat{BXA}={180}^{\circ }-{123}^{\circ }$$={57}^{\circ }$

Trong tam giác vuông BMX, ta có:

$\begin{array}{rl}& BM=BX.\sin \widehat{BXC}\\ & =4,1.\sin {57}^{\circ }\approx 3,439(cm)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& S_{BCX}=\frac{1}{2}BM.CX\\ & =\frac{1}{2}.3,439.4,658\approx 8,009\left(c{m}^2\right).\end{array}$

Hãy tìm:

a) AP, BP;

b) CP.

Phương pháp giải:

Áp dụng kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông.

cot $\alpha$ = cạnh kề : cạnh đối.

Lời giải:

a) Trong tam giác vuông $ACP$, ta  có:

$AP=CP.\cot \widehat{PAC}(1)$

Trong tam giác vuông $BCP$, ta có:

$BP=CP.\cot \widehat{PBC}(2)$

Từ (1) và (2) suy ra:

$(AP+BP)$$=CP.\cot \widehat{PAC}+CP.\cot \widehat{PBC}$

Hay $AB=CP(\cot \widehat{PAC}+\cot \widehat{PBC})$

Suy ra: 

$\begin{array}{rl}& CP=\frac{AB}{\cot \widehat{PAC}+\cot \widehat{PBC}}\\ & =\frac{AB}{\cot {20}^{\circ }+\cot {30}^{\circ }}\approx 13,394(cm)\end{array}$

b) Thay $CP=13,394$ vào  (1) ta có:

$AP=13,394.\cot {20}^{\circ }\approx 36,801(cm)$

Thay $CP=13,394$ vào  (2) ta có:

$BP=13,394.\cot {30}^{\circ }\approx 23,199(cm)$

Phương pháp giải:

Áp dụng tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối trong tam giác vuông. 

Lời giải:

Gọi $C$ là vị trí của máy bay.

Kẻ $CH\mathrm{\perp }AB$

Trong tam giác vuông $ACH$, ta có: 

$AH=CH.\cot \hat{A}(1)$

Trong tam giác vuông $BCH$, ta có:

$BH=CH.\cot \hat{B}(2)$

Từ (1) và (2) suy  ra: 

$AH+BH$$=CH.\cot \hat{A}+CH.\cot \hat{B}$

Hay $AB=CH.(\cot \hat{A}+\cot \hat{B})$

Suy ra: 

$\begin{array}{rl}& CH=\frac{AB}{\cot \hat{A}+\cot \hat{B}}\\ & =\frac{AB}{\cot {40}^{\circ }+\cot {30}^{\circ }}\approx 102,61(m)\end{array}$

- Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

- Chu vi hình thang bằng tổng độ dài các cạnh bao quanh của hình đó.

- Diện tích hình thang bằng đáy lớn cộng đáy bé (cùng đơn vị đo) chia 2 rồi nhân với chiều cao.

Lời giải:

Giả sử hình thang $ABCD$ có đáy nhỏ $AB=15cm$, cạnh bên $AD=BC$$=25cm$, $\widehat{ABC}=\widehat{BAD}={120}^{\circ }$.

Kẻ $AH\mathrm{\perp }CD,BK\mathrm{\perp }CD$

Ta có: $AB//HK$ và $AH//BK$ (cùng vuông với CD) nên $ABKH$ là hình bình hành.

Suy ra: $HK=AB=15(cm)$ và $AH=BK$ 

Vì AB//CD nên $\widehat{ADC}+\widehat{DAB}={180}^{\circ }$ (hai góc trong cùng phía)

Suy ra:

$\widehat{ADC}={180}^{\circ }-\widehat{DAB}={180}^{\circ }-{120}^{\circ }$$={60}^{\circ }$

Trong tam giác vuông $ADH$, ta có:

$\begin{array}{rl}& DH=AD.\cos \widehat{ADC}\\ & =25.\cos {60}^{\circ }=12,5(cm)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& AH=AD.\sin \widehat{ADC}\\ & =25.\sin {60}^{\circ }=\frac{25\sqrt{3}}{2}(cm)\end{array}$

Ta có: $AH=BK$ (cmt) và $AD=BC$ (gt) nên hai tam giác vuông $∆ADH=∆BCK$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Suy ra: $CK=DH=12,5(cm)$

Ta có: $CD=CK+KH+HD$$=12,5+15+12,5=40cm$

Chu vi hình thang $ABCD$ là:

$AB+BC+CD+DA$

$=15+25+40+25$

$=105(cm)$

Diện tích hình thang $ABCD$ là:

$\begin{array}{rl}& S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}.AH\\ & =\frac{15+40}{2}.\frac{25\sqrt{2}}{2}\approx 595,392\left(c{m}^2\right)\end{array}$

a) Tính $BC,\hat{B},\hat{C}$;

b) Phân giác của góc $A$ cắt $BC$ tại $D$. Tính $BD,CD$.

c) Từ $D$ kẻ $DE$ và $DF$ lần lượt vuông góc với $AB$ và $AC$. Tứ giác $AEDF$ là hình gì?  Tính chu vi và diện tích của tứ giác $AEDF$.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lí Py-ta-go và tỉ số lượng giác.

b) Vận dụng tính chất đường phân giác tìm độ dài cạnh BD.

c) Áp dụng dấu hiệu nhận biết các hình tứ giác đã học.

   Tính chu vi và diện tích của tứ giác.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông $ABC$, ta có: 

$\begin{array}{rl}& B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=6^2+8^2\\ & =36+64=100(cm)\end{array}$

Suy ra: $BC=\sqrt{100}=10(cm)$

Xét tam giác vuông ABC, theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có: $\sin C={\displaystyle \frac{AB}{AC}=\frac{6}{10}=0,6}$

Suy ra: $\hat{C}={36}^{\circ }{52}^{\prime }$

Ta có: $\hat{B}+\hat{C}={90}^{\circ }$ (vì tam giác ABC vuông tại A)

$\Rightarrow \hat{B}={90}^{\circ }-\hat{C}={90}^{\circ }-{36}^{\circ }{52}^{\prime }$$={53}^{\circ }{8}^{\prime }$

b) Vì AD là đường phân giác của tam giác ABC, nên: 

${\displaystyle \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}}$ (tính chất đường phân giác)

Suy ra: ${\displaystyle \frac{BD}{BD+DC}=\frac{AB}{AB+AC}}$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}}$

Suy ra: $BD={\displaystyle \frac{BC.AB}{AB+AC}=\frac{{\displaystyle 10.6}}{6+8}=\frac{30}{7}(cm)}$

$DC=BC-BD$$=10-{\displaystyle \frac{30}{7}}$$={\displaystyle \frac{40}{7}}$

c) Ta có: $\hat{A}=\widehat{AED}=\widehat{AFD}={90}^0$

Suy ra tứ giác $AEDF$ có ba góc vuông nên hình đó là hình chữ nhật.

Mặt khác, $D$ nằm trên tia phân giác của góc $A$ nên $DE=DF$ (tính chất tia phân giác của 1 góc)

Vậy tứ giác $AEDF$ là hình vuông.

 Vì $DE\perp AB,AC\perp AB$ nên $DE//AC$

Theo định lí Ta-lét trong tam giác BAC, ta có:

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{CD}{BC}}={\displaystyle \frac{AE}{AB}}\\ \Rightarrow AE={\displaystyle \frac{CD.AB}{BC}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{40}{7}}.6}{10}}={\displaystyle \frac{24}{7}}\end{array}$

Chu vi tứ giác $AEDF$ bằng: $4AE=4.{\displaystyle \frac{24}{7}=\frac{96}{7}(cm)}$

Diện tích tứ giác $AEDF$ bằng: $A{E}^2={\displaystyle {\left(\frac{24}{7}\right)}^2=\frac{576}{49}\left(c{m}^2\right)}$

a) Tính ${\displaystyle \frac{\sin B+c\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{B}}{\sin B-c\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{B}}.}$

b) Tính chiều cao của hình thang $ABCD$.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lí Py-ta-go và tỉ số lượng giác.

b) Chiều cao hình thang ABCD bằng chiều cao tam giác ABC, áp dụng tỉ số lượng giác, tìm chiều cao của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

$A{B}^2=B{C}^2+A{C}^2=(5a{)}^2+(12a{)}^2$$=169a^2$

Suy ra: $AB=\sqrt{169a^2}=13a$

Xét tam giác vuông ABC, theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$\sin \hat{B}={\displaystyle \frac{AC}{AB}=\frac{12a}{13a}=\frac{12}{13}}$

$\cos \hat{B}={\displaystyle \frac{BC}{AB}=\frac{5a}{13a}=\frac{5}{13}}$

Suy ra: 

${\displaystyle \frac{\sin \hat{B}+\cos \hat{B}}{\sin \hat{B}-\cos \hat{B}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{12}{13}+\frac{5}{13}}}{{\displaystyle \frac{12}{13}-\frac{5}{13}}}}}$$={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{17}{13}}}{{\displaystyle \frac{7}{13}}}=\frac{17}{13}.\frac{13}{7}=\frac{17}{7}}$

b) Kẻ $CH\mathrm{\perp }AB$

Trong tam giác vuông $BCH$, ta có:

$CH=CB.\sin \hat{B}=5a.{\displaystyle \frac{12}{13}=\frac{60a}{13}}$

a) Tính các góc của tam giác $ABC$.

b) Tính diện tích tứ giác $ABCD$.

Phương pháp giải:

Lời giải:

a) Vì tam giác ABC cân tại A có $AH\mathrm{\perp }BC$ nên AH cũng là đường trung tuyến, suy ra: $HB=HC={\displaystyle \frac{BC}{2}=8(cm)}$

Trong tam giác vuông $ABH$, ta có: 

$\cos \hat{B}={\displaystyle \frac{HB}{AB}=\frac{8}{10}=0,8}$

Suy ra: $\hat{B}\approx {36}^{\circ }{52}^{\prime }$

Vì $∆ABC$ cân nên $\hat{B}=\hat{C}={36}^{\circ }{52}^{\prime }$

Ta có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}={180}^{\circ }$ (tổng 3 góc trong tam giác ABC)

$\hat{A}={180}^{\circ }-(\hat{B}+\hat{C})$$={180}^{\circ }-({36}^{\circ }{52}^{\prime }+{36}^{\circ }{52}^{\prime })={106}^{\circ }{16}^{\prime }$

b) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABH, ta có:

$\begin{array}{r}A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2\\ \Rightarrow A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2\\ ={10}^2-8^2=36\end{array}$

Suy ra: $AH=6(cm)$

Ta có: $AI={\displaystyle \frac{1}{3}.AH=\frac{1}{3}.6=2(cm)}$

Suy ra: $IH=AH-AI=6-2=4(cm)$

Vì $IH\mathrm{\perp }BC$ và $DC\mathrm{\perp }BC$ nên $IH//DC$ (1)

Mặt khác: $BH=HC$ (cmt)  (2)

Từ (1) và (2) ta có $IH$ là đường trung bình của tam giác $BCD$.

Suy ra: $IH={\displaystyle \frac{1}{2}CD}$ hay $CD=2.IH$$=2.4=8(cm)$

Ta có:  

$S_{ABH}={\displaystyle \frac{1}{2}AH.BH=\frac{1}{2}.6.8}$$=24\left(c{m}^2\right)$

Vì $AH//DC$ nên AHCD là hình thang và $AH\mathrm{\perp }HC$ nên HC là chiều cao của hình thang AHCD. Từ đó: 

$S_{AHCD}={\displaystyle \frac{AH+CD}{2}.HC=\frac{6+8}{2}.8}$$=56\left(c{m}^2\right)$

Vậy $S_{ABCD}=S{}_{ABH}+S_{AHCD}=24+56$$=80$ (cm2)

a) Chứng minh tam giác $ABC$ vuông.

b) Tính sinB, sinC.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lí Py-ta-go đảo.

b) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Lời giải:

a) Ta có: $A{B}^2={21}^2=441$

$A{C}^2={28}^2=784$

$B{C}^2={35}^2=1225$

Vì $A{B}^2+A{C}^2=441+784$$=1225=B{C}^2$  nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ( theo định lí đảo Pi-ta-go).

b) Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có: 

$\sin \hat{B}={\displaystyle \frac{AC}{BC}=\frac{28}{35}=\frac{4}{5}=0,8}$

$\sin \hat{C}={\displaystyle \frac{AB}{BC}=\frac{21}{35}=\frac{3}{5}=0,6}$

a) Chứng minh $tan\hat{C}=1.$ 

b) Tính tỉ số diện tích tam giác DBC và diện tích hình thang ABCD.

c) Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác BCD.

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức :

- Tứ giác có ba góc vuông và hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

- Công thức tính diện tích tam giác và hình thang. 

- Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Lời giải:

a) Kẻ $BH\mathrm{\perp }CD$ 

Ta có: $AB//CD$ nên $\hat{A}+\widehat{ADC}={180}^0$ (hai góc trong cùng phía bù nhau) và $\hat{A}={90}^{\circ }$ (gt)

Suy ra: $\widehat{ADC}={90}^{\circ }$

Từ đó, tứ giác $ABHD$ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Mà $AB=AD=a$ nên $ABHD$ là hình vuông.

Suy ra: $DH=BH=AB=a$

Ta có: $CD=DH+HC$

Suy ra: $HC=CD–DH=2a–a=a$

Vậy $tan\hat{C}={\displaystyle \frac{BH}{CH}=\frac{a}{a}=1}$

b) Ta có: $S_{BCD}={\displaystyle \frac{1}{2}BH.CD=\frac{1}{2}a.2a=a^2}$ (đvdt)

$S_{ABCD}={\displaystyle \frac{AB+CD}{2}.AD}$$={\displaystyle \frac{a+2a}{2}.a=\frac{3}{2}{a}^2}$ (đvdt)

Vậy ${\displaystyle \frac{S_{BCD}}{S_{ABCD}}={\displaystyle \frac{a^2}{{\displaystyle \frac{3}{2}{a}^2}}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{3}{2}}}=\frac{2}{3}.}}$

c) Diện tích tam giác $ADC$ vuông tại $D$ là: $S_{ADC}={\displaystyle \frac{1}{2}AD.DC}$$={\displaystyle \frac{1}{2}}a.2a=a^2$ (đvdt)

Mà $S_{ABCD}={\displaystyle \frac{3}{2}}{a}^2$ (theo câu b)

Ta có: $S_{ABC}=S_{ABCD}-S_{ADC}={\displaystyle \frac{3}{2}}{a}^2-a^2$$={\displaystyle \frac{1}{2}a.a=\frac{1}{2}{a}^2}$ (đvdt)

Vậy ${\displaystyle \frac{S_{ABC}}{S_{BCD}}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}{a}^2}}{a^2}=\frac{1}{2}}$

(với đvdt: đơn vị diện tích)

a) Tính độ dài đường phân giác $BD$.

b) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $AM\mathrm{\perp }BD.$

Phương pháp giải:

- Vận dụng định lí Ta-lét trong tam giác.

- Chứng minh tam giác $ABM$ cân tại $B$.

Lời giải:

a) Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên: 

$\widehat{ABD}=\widehat{CBD}={\displaystyle \frac{\widehat{ABC}}{2}}$$={\displaystyle \frac{{120}^{\circ }}{2}}$$={60}^{\circ }$

Từ $A$ kẻ đường thẳng song song với $BD$ cắt $CB$ tại $E$.

Lại có:

$\widehat{BAE}=\widehat{ABD}={60}^{\circ }$ (so le trong)

 $\widehat{AEB}=\widehat{CBD}={60}^{\circ }$ (đồng vị)

Suy ra tam giác $ABE$ đều (vì có 2 góc bằng ${60}^0$)

$\Rightarrow AB=BE=EA=6(cm)(1)$

Khi đó: $CE=BC+BE=12+6=18(cm)$

Tam giác $ACE$ có $AE//BD$ nên theo hệ quả định lý Ta-lét ta suy ra:

${\displaystyle \frac{BC}{CE}=\frac{BD}{AE}}$ 
$\Rightarrow BD={\displaystyle \frac{BC.AE}{CE}=\frac{12.6}{18}=4(cm)}$

b) Vì M là trung điểm cạnh BC nên ta có: 

$MB=MC={\displaystyle \frac{1}{2}.BC=\frac{1}{2}.12}$$=6(cm)(2)$

Từ (1) và (2) suy ra:

$BM=AB\Rightarrow$ $∆ABM$ cân tại $B$.

Tam giác cân $ABM$ có $BD$ là đường phân giác nên đồng thời nó cũng là đường cao (tính chất tam giác cân). Vậy $BD\mathrm{\perp }AM$

a) Tính độ dài đoạn thẳng $DE$.

b) Các đường thẳng vuông góc với $DE$ tại $D$ và tại $E$ lần lượt cắt $BC$ tại $M$ và $N$. Chứng minh $M$ là trung điểm của $BH$ và $N$ là trung điểm của $CH$.

c) Tính diện tích tứ giác $DENM$.

Phương pháp giải:

Lời giải:

a) Ta có:

$HD\mathrm{\perp }AB\Rightarrow \widehat{ADH}={90}^{\circ }$

$HE\mathrm{\perp }AC\Rightarrow \widehat{AEH}={90}^{\circ }$

Tứ giác $ADHE$ có $3$ góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Suy ra: $AH=DE$ (tính chất hình chữ nhật)

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có $AH$ là đường cao.

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu ta có:

$\begin{array}{rl}& A{H}^2=HB.HC=4.9=36\\ & \Rightarrow AH=6(cm)\end{array}$

Vậy $DE=6(cm)$

b) * Gọi $G$ là giao điểm của $AH$ và $DE$

Ta có: $GA=GD=GH=GE$ (tính chất hình chữ nhật ADHE)

Suy ra tam giác $GHD$ cân tại $G$

Ta có:

$\widehat{GDH}=\widehat{GHD}(1)$

$\widehat{GDH}+\widehat{MDH}={90}^{\circ }(2)$

$\widehat{GHD}+\widehat{MHD}={90}^{\circ }(3)$

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\widehat{MDH}=\widehat{MHD}(4)$

Suy ra tam giác $MDH$ cân tại $M$ $\Rightarrow MD=MH(5)$

Lại có: $\widehat{MDH}+\widehat{MDB}={90}^{\circ }(6)$

$\widehat{MBD}+\widehat{MHD}={90}^{\circ }$ ($∆BDH$ vuông tại $D$) (7)

Từ (4), (6) và (7) suy ra: $\widehat{MDB}=\widehat{MBD}$

Suy ra tam giác $MBD$ cân tại $M$ $\Rightarrow MB=MD(8)$

 Từ (5) và (8) suy ra: $MB=MH$ hay $M$ là trung điểm của $BH$.

*Tam giác $GHE$ cân tại $G$ (do $GH=GE$ (cmt))

Ta có: $\widehat{GHE}=\widehat{GEH}(9)$

$\widehat{GHE}+\widehat{NHE}={90}^{\circ }$ (10)

$\widehat{GEH}+\widehat{NEH}={90}^{\circ }$ (11)

Từ (9), (10) và (11) suy ra: $\widehat{NHE}=\widehat{NEH}$ (12)

Suy ra tam giác $NEH$ cân tại $N$ $\Rightarrow NE=NH$ (13)

Lại có: $\widehat{NEC}+\widehat{NEH}={90}^{\circ }$ (14)

$\widehat{NHE}+\widehat{NCE}={90}^{\circ }$ ($∆CEH$ vuông tại $E$) (15)

Từ (12), (14) và (15) suy ra: $\widehat{NEC}=\widehat{NCE}$

Suy ra tam giác $NCE$ cân tại $N$ $\Rightarrow NC=NE(16)$

Từ (13) và (16) suy ra: $NC=NH$ hay $N$ là trung điểm của $CH$.